四川省成都实验外国语学校融通班2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2025九上·成都开学考）关于x的方程有两个根为、，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系，两根之和为：．
故答案为：D ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系“”即可求解.
2．（2025九上·成都开学考）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，，，
，
∴原方程无实数根．
故答案为：C．
【分析】由题意，先计算一元二次方程的根的判别式的值，然后根据一元二次方程的根的判别式，"当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出"即可判断求解．
3．（2025九上·成都开学考）若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：解方程得：
，
∵三角形为等腰三角形，
∴当5为腰时，三边长为5，5，2，
∴周长为，
当2为腰时，三边长为5，2，2，
2+2＜5，不能构成三角形，
∴应舍去.
故答案为：B．
【分析】由题意，先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求解．
4．（2025九上·成都开学考）《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得方程为；
故答案为：D．
【分析】根据“增长率问题”并结合相等关系“ 第一天的播放量 + 第二天的播放量 + 第三天的播放量 =8.9”列出关于x的方程，结合各选项可求解．
5．（2025九上·成都开学考）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得，，
令，则，，
∴关于x的一元二次方程是．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合方程的解，可求出正确的一次项系数和常数项，再结合各选项即可求解．
6．（2025九上·成都开学考）已知是实数，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或6 D．6
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
原方程变为：．
∴．
∴，．
当时，方程的判别式，存在实数解．
当时，方程的判别式，无实数解．
∴满足条件．
故答案为：A．
【分析】由题意，设，原方程变形为关于y的一元二次方程，用因式分解法求出y的值，即可得出的值，再用一元二次方程的根的判别式即可判断求解．
7．（2025九上·成都开学考）设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设，
依题意，
解不等式①得：或，
解不等式②得：，
解不等式③得：，
解不等式④得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：D．
【分析】根据题意可得与的交点在范围内，且有2个不同交点，可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
8．（2025九上·成都开学考）在中，于点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示：
∴，
设，则长度为，
∴，，
∵，
∴整理得
设，则，代入得：，
整理得：，
关于b的方程有实数解，
∴，
∴，
∴或，
∴，
∴的最小值为8，
故答案为：C.
【分析】以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得，设，则长度为，用勾股定理可将PM、PN用含a、b的代数式表示出来，设，则，根据一元二次方程的根的判别式即可求解.
9．（2025九上·成都开学考）下列关于函数（为常数）的说法正确的是（ ）
A．该函数的图象与轴始终有两个交点
B．该函数的图象与轴有一个或两个交点
C．该函数的图象过一定点
D．该函数的图象的对称轴为直线
【答案】B,C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：A、当时，
一元二次方程中，，
该一元二次方程有两个不等实数根，
函数的图象与轴始终有两个交点；
当时，
函数，即为一次函数，
则该函数的图象与轴只有一个交点，
函数（为常数）的图象与轴有一个或两个交点，
∴此选项不符合题意；
、由A可得：函数（为常数）的图象与轴有一个或两个交点，
∴此选项符合题意；
C、无论为何值，当时，，
函数（为常数）过定点；
∴此选项符合题意；
D、当时，
函数是一次函数，无对称轴，
∴此选项不符合题意．
故选：．
【分析】分两种情况考虑：时、时，结合一元二次方程与二次函数综合、根的判别式、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质对各选项进行判断即可求解．
10．（2025九上·成都开学考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，为方程的两个根，则
D．若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则
【答案】A,C,D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴此选项符合题意；
B、由A可得：，
∴此选项B不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间，
∴另一个交点在，之间，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，为方程的两个根，
∴，
∴，
∴此选项符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为，
∴顶点纵坐标为，
∵抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，如图，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入得，
整理得，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴此选项符合题意.
故答案为：ACD．
【分析】A、由抛物线的开口方向向下可得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴左侧可得a、b同号，于是可得b＜0，由抛物线与y轴交于正半轴可得c＞0，然后根据有理数的乘法的符号法则可判断求解；
B、根据抛物线的对称轴为直线可判断求解；
C、根据抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间可得另一个交点在，之间，把x=1代入抛物线的解析式并结合一元二次方程的根与系数的关系即可判断求解；
D、根据抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形可求解.
11．（2025九上·成都开学考）若函数的图象过点和．则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下、与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
∴，，，
∴，
∴，
∴此结论不符合题意，
②由图像可知，当时，，
∴，
∴，
∴此结论符合题意，
③∵函数的图象过点和，
∴和是一元二次方程的两个根，
∴，，，
∴，
∴此结论符合题意，
④∵，
∴，
∴
故正确，符合题意，
故答案为：BCD．
【分析】①根据抛物线开口方向、与的交点位置及对称轴的位置可得、、的符号，再根据多个有理数相乘的符号法则可判断求解；
②由图可知：当时，，于是把x=-2代入解析式计算即可判断求解；
③根据和是一元二次方程的两个根，并结合根与系数的关系可判断求解；
④同③可求解．
12．（2025九上·成都开学考）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，，再整体代入所求式子计算即可求解．
13．（2025九上·成都开学考）如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或0（舍去），
∴．
故答案为：.
【分析】由可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，设，在中由勾股定理即可求解．
14．（2025九上·成都开学考）阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为．
请你在下列两个问题中任选一个作答．
问题①：方程的正整数解是 ；
问题②：方程的正整数解是 ．
【答案】；，
【知识点】因式分解的应用；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
则，
∴，
∴，
∴，
∵时，，
∴没有正整数根，
∴的正整数根是，
则方程的正整数解是；
∵，
∴，
∴，
由是正整数，则是3的倍数，
∴设（为正整数），
∴，
∴，
∵为正整数，
∴，且为正整数，
当时，得，得，得（负值舍），则；
当时，得，得，得（负值舍），则；
方程的正整数解是，，
故答案为：；，．
【分析】①将方程用因式分解可求得正整数解；
②将方程变形为，设（为正整数），得，可得，且为正整数，代入计算即可求解．
15．（2025九上·成都开学考）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
，，，
，
，
即，；
（2），
两边同除以2，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得，；
（3），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
，，，
，
所以，；
（4）设，
则原方程可化为，
去括号，得，
即，
所以，
所以或，
解得：或，
所以，，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由题意，用一元二次方程的求根公式“”计算即可求解；
（2）由题意，用因式分解法将一元二次方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（3）由题意，先将一元二次方程化为一般形式，再用公式法即可求解；
（4）由题意，用换元法即可求解．
（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
，，，
，
，
即，；
（2），
两边同除以2，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得，；
（3），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
，，，
，
所以，；
（4）设，
则原方程可化为，
去括号，得，
即，
所以，
所以或，
解得：或，
所以，，
解得：，．
16．（2025九上·成都开学考）阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
（1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
（2）已知实数、满足，求的值．
（3）解方程．
【答案】（1），，，
（2）解：设．
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
∴，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；含绝对值的一元二次方程
【解析】【解答】
（1）
解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
【分析】
（1）根据题意设最小数为，根据“ 四个连续正整数的积为 ”列出关于x的方程，用换元法即可求解；
（2）设．由已知等式得出，结合可求解；
（3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质可求解.
（1）解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
（2）设．
，
，
，
，
，
；
（3），
，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
17．（2025九上·成都开学考）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”________；
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________；
（3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
【答案】（1）
（2），，互为倒数；
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
那么的两个根分别是，，
将整理为：，
那么有或，
即，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】
（1）
解：一元二次方程与称为一对“友好方程”，
一元二次方程的“友好方程”为；
故答案为：；
（2）
解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为，
解，得到，
解得，，
观察可知，，；
所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数．
故答案为：，，互为倒数.
【分析】
（1）根据“友好方程”的定义，即可求解；
（2）根据“友好方程”的定义写出的友好方程，然后解友好方程，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系；
（3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，于是可得方程或，解这两个方程即可求解．
（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”，
一元二次方程的“友好方程”为；
故答案为：；
（2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为，
解，得到，
解得，，
观察可知，，；
所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数．
故答案为：，，互为倒数；
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
那么的两个根分别是，，
将整理为：，
那么有或，
即，；
故答案为：，．
18．（2025九上·成都开学考）定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”．
（1）有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）；
（2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式；
（3）若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值．
【答案】（1）①③
（2）解：设交点为，
∵交点在上，
∴，
解得，则交点为．
将代入，得，即．
联立，消去得，
将代入得．
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴，
，
，
解得，则．
所以抛物线的函数表达式为．
（3）解：将代入，
得：，
整理得：．
∵抛物线有且只有一个“纵三倍点”，
∴，
，
；
将代入，得．
对于二次函数，其中二次项系数，对称轴为．
当时，，无最大值．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【解答】
（1）
解：对于①，将代入，
，
，
；
此时，有一个解，所以①有一个“纵三倍点”．
对于②，将代入，
，
，
，
解得，，有两个解，所以②有两个“纵三倍点”．
对于③，将代入，
，
，
，
解得，有一个解，所以③有一个“纵三倍点”．
综上可得：答案为①③．
【分析】
（1）对于每个函数，根据“纵三倍点”的定义可知：点的纵坐标是横坐标的三倍，即，代入函数解析式可得关于的方程，根据判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数；
（2）首先根据“纵三倍点”的定义，设交点坐标为，因为该点在直线上，所以可以求出的值，得到交点坐标．然后将交点坐标代入抛物线解析式，再结合抛物线与直线只有一个交点可知：联立解方程组后的判别式得关于m的方程，解方程求出和的值即可求解；
（3）根据“纵三倍点”的定义，将代入抛物线解析式可得关于的一元二次方程．根据题意并结合一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得和的关系式．然后将用这个关系式进行转化可得关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：对于①，将代入，
，
，
；
此时，有一个解，所以①有一个“纵三倍点”．
对于②，将代入，
，
，
，
解得，，有两个解，所以②有两个“纵三倍点”．
对于③，将代入，
，
，
，
解得，有一个解，所以③有一个“纵三倍点”．
综上，答案为①③．
（2）解：设交点为，
∵交点在上，
∴，
解得，则交点为．
将代入，得，即．
联立，消去得，
将代入得．
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴，
，
，
解得，则．
所以抛物线的函数表达式为．
（3）解：将代入，得，
整理得．
∵抛物线有且只有一个“纵三倍点”，
∴，
，
；
将代入，得．
对于二次函数，其中二次项系数，对称轴为．
当时，，无最大值．
19．（2025九上·成都开学考）我们约定；我们将关于x的二次函数（，a，b，c为常数）与称为“匀称二次函数”，根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，求a，b，c的值；
（2）二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，请求出线段的长度：
（3）二次函数，二次函数与互为“匀称二次函数”，过的顶点作直线，在直线l上任意取一点G，过点G作x轴的垂线，与、分别交于点E、F（点G，E，F不重合），的最大值为4，求a的值．
【答案】（1）解：∵关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴，，，
∴，b为任意实数，；
（2）解：∵二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴二次函数
∴二次函数与二次函数关于x轴对称，
∵二次函数
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵直线与、有且只有3个交点，
①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
令，解得：，
∵直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，
∴，，
∴
∴
∴，
②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
同理可得，
综上，线段的长度为．
（3）解：设，则，，∵点G，E，F不重合
∴且，，
①当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
②当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
③当时，
∴
∵，
∴无最大值，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
④当时，如图，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的最大值为4，
∴
解得：；
⑤当时，如图，
由图可知：
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
综上，当的最大值为4时，a的值为．
【知识点】二次函数的最值；轴对称的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据新定义可得，，，解之即可求解；
（2）根据“匀称二次函数”的定义得到二次函数，由直线与、有且只有3个交点，分两种情况：①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；分别求出的长即可；
（3）设，则，，根据点G，E，F不重合，则且，，分①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时；分别求解即可．
（1）解：∵关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴，，，
∴，b为任意实数，；
（2）解：∵二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴二次函数
∴二次函数与二次函数关于x轴对称，
∵二次函数
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵直线与、有且只有3个交点，
①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
令，解得：，
∵直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，
∴，，
∴
∴
∴，
②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
同理可得，
综上，线段的长度为．
（3）解：设，则，，
∵点G，E，F不重合
∴且，，
①当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
②当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
③当时，
∴
∵，
∴无最大值，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
④当时，如图，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的最大值为4，
∴
解得：；
⑤当时，如图，
由图可知：
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
综上，当的最大值为4时，a的值为．
1 / 1四川省成都实验外国语学校融通班2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2025九上·成都开学考）关于x的方程有两个根为、，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2025九上·成都开学考）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
3．（2025九上·成都开学考）若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
4．（2025九上·成都开学考）《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·成都开学考）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·成都开学考）已知是实数，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或6 D．6
7．（2025九上·成都开学考）设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·成都开学考）在中，于点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2025九上·成都开学考）下列关于函数（为常数）的说法正确的是（ ）
A．该函数的图象与轴始终有两个交点
B．该函数的图象与轴有一个或两个交点
C．该函数的图象过一定点
D．该函数的图象的对称轴为直线
10．（2025九上·成都开学考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，为方程的两个根，则
D．若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则
11．（2025九上·成都开学考）若函数的图象过点和．则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025九上·成都开学考）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
13．（2025九上·成都开学考）如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则 ．
14．（2025九上·成都开学考）阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为．
请你在下列两个问题中任选一个作答．
问题①：方程的正整数解是 ；
问题②：方程的正整数解是 ．
15．（2025九上·成都开学考）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
16．（2025九上·成都开学考）阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
（1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
（2）已知实数、满足，求的值．
（3）解方程．
17．（2025九上·成都开学考）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”________；
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________；
（3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
18．（2025九上·成都开学考）定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”．
（1）有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）；
（2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式；
（3）若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值．
19．（2025九上·成都开学考）我们约定；我们将关于x的二次函数（，a，b，c为常数）与称为“匀称二次函数”，根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，求a，b，c的值；
（2）二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，请求出线段的长度：
（3）二次函数，二次函数与互为“匀称二次函数”，过的顶点作直线，在直线l上任意取一点G，过点G作x轴的垂线，与、分别交于点E、F（点G，E，F不重合），的最大值为4，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系，两根之和为：．
故答案为：D ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系“”即可求解.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，，，
，
∴原方程无实数根．
故答案为：C．
【分析】由题意，先计算一元二次方程的根的判别式的值，然后根据一元二次方程的根的判别式，"当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出"即可判断求解．
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：解方程得：
，
∵三角形为等腰三角形，
∴当5为腰时，三边长为5，5，2，
∴周长为，
当2为腰时，三边长为5，2，2，
2+2＜5，不能构成三角形，
∴应舍去.
故答案为：B．
【分析】由题意，先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求解．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得方程为；
故答案为：D．
【分析】根据“增长率问题”并结合相等关系“ 第一天的播放量 + 第二天的播放量 + 第三天的播放量 =8.9”列出关于x的方程，结合各选项可求解．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得，，
令，则，，
∴关于x的一元二次方程是．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合方程的解，可求出正确的一次项系数和常数项，再结合各选项即可求解．
6．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
原方程变为：．
∴．
∴，．
当时，方程的判别式，存在实数解．
当时，方程的判别式，无实数解．
∴满足条件．
故答案为：A．
【分析】由题意，设，原方程变形为关于y的一元二次方程，用因式分解法求出y的值，即可得出的值，再用一元二次方程的根的判别式即可判断求解．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设，
依题意，
解不等式①得：或，
解不等式②得：，
解不等式③得：，
解不等式④得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：D．
【分析】根据题意可得与的交点在范围内，且有2个不同交点，可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示：
∴，
设，则长度为，
∴，，
∵，
∴整理得
设，则，代入得：，
整理得：，
关于b的方程有实数解，
∴，
∴，
∴或，
∴，
∴的最小值为8，
故答案为：C.
【分析】以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得，设，则长度为，用勾股定理可将PM、PN用含a、b的代数式表示出来，设，则，根据一元二次方程的根的判别式即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：A、当时，
一元二次方程中，，
该一元二次方程有两个不等实数根，
函数的图象与轴始终有两个交点；
当时，
函数，即为一次函数，
则该函数的图象与轴只有一个交点，
函数（为常数）的图象与轴有一个或两个交点，
∴此选项不符合题意；
、由A可得：函数（为常数）的图象与轴有一个或两个交点，
∴此选项符合题意；
C、无论为何值，当时，，
函数（为常数）过定点；
∴此选项符合题意；
D、当时，
函数是一次函数，无对称轴，
∴此选项不符合题意．
故选：．
【分析】分两种情况考虑：时、时，结合一元二次方程与二次函数综合、根的判别式、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质对各选项进行判断即可求解．
10．【答案】A,C,D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴此选项符合题意；
B、由A可得：，
∴此选项B不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间，
∴另一个交点在，之间，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，为方程的两个根，
∴，
∴，
∴此选项符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为，
∴顶点纵坐标为，
∵抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，如图，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入得，
整理得，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴此选项符合题意.
故答案为：ACD．
【分析】A、由抛物线的开口方向向下可得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴左侧可得a、b同号，于是可得b＜0，由抛物线与y轴交于正半轴可得c＞0，然后根据有理数的乘法的符号法则可判断求解；
B、根据抛物线的对称轴为直线可判断求解；
C、根据抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间可得另一个交点在，之间，把x=1代入抛物线的解析式并结合一元二次方程的根与系数的关系即可判断求解；
D、根据抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形可求解.
11．【答案】B,C,D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下、与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
∴，，，
∴，
∴，
∴此结论不符合题意，
②由图像可知，当时，，
∴，
∴，
∴此结论符合题意，
③∵函数的图象过点和，
∴和是一元二次方程的两个根，
∴，，，
∴，
∴此结论符合题意，
④∵，
∴，
∴
故正确，符合题意，
故答案为：BCD．
【分析】①根据抛物线开口方向、与的交点位置及对称轴的位置可得、、的符号，再根据多个有理数相乘的符号法则可判断求解；
②由图可知：当时，，于是把x=-2代入解析式计算即可判断求解；
③根据和是一元二次方程的两个根，并结合根与系数的关系可判断求解；
④同③可求解．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，，再整体代入所求式子计算即可求解．
13．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或0（舍去），
∴．
故答案为：.
【分析】由可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，设，在中由勾股定理即可求解．
14．【答案】；，
【知识点】因式分解的应用；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
则，
∴，
∴，
∴，
∵时，，
∴没有正整数根，
∴的正整数根是，
则方程的正整数解是；
∵，
∴，
∴，
由是正整数，则是3的倍数，
∴设（为正整数），
∴，
∴，
∵为正整数，
∴，且为正整数，
当时，得，得，得（负值舍），则；
当时，得，得，得（负值舍），则；
方程的正整数解是，，
故答案为：；，．
【分析】①将方程用因式分解可求得正整数解；
②将方程变形为，设（为正整数），得，可得，且为正整数，代入计算即可求解．
15．【答案】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
，，，
，
，
即，；
（2），
两边同除以2，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得，；
（3），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
，，，
，
所以，；
（4）设，
则原方程可化为，
去括号，得，
即，
所以，
所以或，
解得：或，
所以，，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由题意，用一元二次方程的求根公式“”计算即可求解；
（2）由题意，用因式分解法将一元二次方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（3）由题意，先将一元二次方程化为一般形式，再用公式法即可求解；
（4）由题意，用换元法即可求解．
（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
，，，
，
，
即，；
（2），
两边同除以2，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得，；
（3），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
，，，
，
所以，；
（4）设，
则原方程可化为，
去括号，得，
即，
所以，
所以或，
解得：或，
所以，，
解得：，．
16．【答案】（1），，，
（2）解：设．
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
∴，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；含绝对值的一元二次方程
【解析】【解答】
（1）
解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
【分析】
（1）根据题意设最小数为，根据“ 四个连续正整数的积为 ”列出关于x的方程，用换元法即可求解；
（2）设．由已知等式得出，结合可求解；
（3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质可求解.
（1）解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
（2）设．
，
，
，
，
，
；
（3），
，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
17．【答案】（1）
（2），，互为倒数；
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
那么的两个根分别是，，
将整理为：，
那么有或，
即，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】
（1）
解：一元二次方程与称为一对“友好方程”，
一元二次方程的“友好方程”为；
故答案为：；
（2）
解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为，
解，得到，
解得，，
观察可知，，；
所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数．
故答案为：，，互为倒数.
【分析】
（1）根据“友好方程”的定义，即可求解；
（2）根据“友好方程”的定义写出的友好方程，然后解友好方程，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系；
（3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，于是可得方程或，解这两个方程即可求解．
（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”，
一元二次方程的“友好方程”为；
故答案为：；
（2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为，
解，得到，
解得，，
观察可知，，；
所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数．
故答案为：，，互为倒数；
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
那么的两个根分别是，，
将整理为：，
那么有或，
即，；
故答案为：，．
18．【答案】（1）①③
（2）解：设交点为，
∵交点在上，
∴，
解得，则交点为．
将代入，得，即．
联立，消去得，
将代入得．
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴，
，
，
解得，则．
所以抛物线的函数表达式为．
（3）解：将代入，
得：，
整理得：．
∵抛物线有且只有一个“纵三倍点”，
∴，
，
；
将代入，得．
对于二次函数，其中二次项系数，对称轴为．
当时，，无最大值．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【解答】
（1）
解：对于①，将代入，
，
，
；
此时，有一个解，所以①有一个“纵三倍点”．
对于②，将代入，
，
，
，
解得，，有两个解，所以②有两个“纵三倍点”．
对于③，将代入，
，
，
，
解得，有一个解，所以③有一个“纵三倍点”．
综上可得：答案为①③．
【分析】
（1）对于每个函数，根据“纵三倍点”的定义可知：点的纵坐标是横坐标的三倍，即，代入函数解析式可得关于的方程，根据判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数；
（2）首先根据“纵三倍点”的定义，设交点坐标为，因为该点在直线上，所以可以求出的值，得到交点坐标．然后将交点坐标代入抛物线解析式，再结合抛物线与直线只有一个交点可知：联立解方程组后的判别式得关于m的方程，解方程求出和的值即可求解；
（3）根据“纵三倍点”的定义，将代入抛物线解析式可得关于的一元二次方程．根据题意并结合一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得和的关系式．然后将用这个关系式进行转化可得关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：对于①，将代入，
，
，
；
此时，有一个解，所以①有一个“纵三倍点”．
对于②，将代入，
，
，
，
解得，，有两个解，所以②有两个“纵三倍点”．
对于③，将代入，
，
，
，
解得，有一个解，所以③有一个“纵三倍点”．
综上，答案为①③．
（2）解：设交点为，
∵交点在上，
∴，
解得，则交点为．
将代入，得，即．
联立，消去得，
将代入得．
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴，
，
，
解得，则．
所以抛物线的函数表达式为．
（3）解：将代入，得，
整理得．
∵抛物线有且只有一个“纵三倍点”，
∴，
，
；
将代入，得．
对于二次函数，其中二次项系数，对称轴为．
当时，，无最大值．
19．【答案】（1）解：∵关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴，，，
∴，b为任意实数，；
（2）解：∵二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴二次函数
∴二次函数与二次函数关于x轴对称，
∵二次函数
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵直线与、有且只有3个交点，
①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
令，解得：，
∵直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，
∴，，
∴
∴
∴，
②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
同理可得，
综上，线段的长度为．
（3）解：设，则，，∵点G，E，F不重合
∴且，，
①当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
②当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
③当时，
∴
∵，
∴无最大值，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
④当时，如图，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的最大值为4，
∴
解得：；
⑤当时，如图，
由图可知：
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
综上，当的最大值为4时，a的值为．
【知识点】二次函数的最值；轴对称的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据新定义可得，，，解之即可求解；
（2）根据“匀称二次函数”的定义得到二次函数，由直线与、有且只有3个交点，分两种情况：①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；分别求出的长即可；
（3）设，则，，根据点G，E，F不重合，则且，，分①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时；分别求解即可．
（1）解：∵关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴，，，
∴，b为任意实数，；
（2）解：∵二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴二次函数
∴二次函数与二次函数关于x轴对称，
∵二次函数
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵直线与、有且只有3个交点，
①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
令，解得：，
∵直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，
∴，，
∴
∴
∴，
②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
同理可得，
综上，线段的长度为．
（3）解：设，则，，
∵点G，E，F不重合
∴且，，
①当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
②当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
③当时，
∴
∵，
∴无最大值，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
④当时，如图，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的最大值为4，
∴
解得：；
⑤当时，如图，
由图可知：
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
综上，当的最大值为4时，a的值为．
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