广东省中山市第一中学（丰山部）2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．（2025高一上·中山期末）已知集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：∵集合，
∴解不等式，可得或，即或，
∵，
∴解不等式，可得，即，
所以．
故选：C.
【分析】结合已知，解不等式即可确定集合，再利用交集定义即可求解.．
2．（2025高一上·中山期末）集合，，的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合的表示方法；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】解：任取，
∵ ，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，即，，
∴，
同理，任取，则，，即，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
任取，
∵ ，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，即，，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
故选：C.
【分析】
利用集合的定义，集合间的基本关系及集合相等的定义即可得出结论.
3．（2025高一上·中山期末）已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：∵ 全集，
∴.
故选：A.
【分析】结合已知，根据利用集合的交、并、补运算即可求解.
4．（2025高一上·中山期末）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为，所以a-b＞0，ab＞0，所以，但与1的大小不确定，所以无法比较大小，故选项A错误；
对于选项B，因为，所以a-b＞0，ab＞0，所以，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以b-a＜0，ab＞0，所以，故选项C错误；
对于选项D，因为，所以b-a＜0，a+b＞0，a+2b＞0，
所以，故选项D错误；
故选：B.
【分析】结合已知条件，利用作差法即可判断求解.
5．（2025高一上·中山期末）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】D
【知识点】充要条件；全称量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于选项A，
若，则，则充分性成立；若，则或，则必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，故选项A错误；
对于选项B，
命题“若，则“的否定为“存在，则“，故选项B错误；
对于选项C，
若，则，充分性成立；
当时，可以取，，则必要性不成立，
所以，是的充分不必要条件，故选项C错误；
对于选项D，
若，时，，则充分性不成立，若，则，则必要性成立，
所以是的必要不充分条件，故选项D正确.
故选：D.
【分析】根据充分性和必要性的定义逐一判断即可.
6．（2025高一上·中山期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设集合，集合，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以Q是P的真子集，所以，即，解得.
故选：B.
【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的定义，从集合的角度推出集合P和集合Q的关系即可求解.
7．（2025高一上·中山期末）已知，，，均为实数，有下列命题：
（1）若，，则；
（2）若，，则；
（3）若，，则，
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于（1），
，，
，故（1）正确；
对于（2），
，，
，故（2）正确；
对于（3），
，
，
又，
，故（3）正确；
综上可知，正确的命题为（1）（2）（3），有3个.
故选：．
【分析】利用不等式的基本性质即可逐一判断.
8．（2025高一上·中山期末）设，则的最小值是
A．2 B．4 C． D．5
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
∴，当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
∵，
，
当且仅当取等号，即，取等号，
∴的最小值是4.
故选B.
【分析】观察代数式的特点，化简整理可得，多次利用基本不等式和偶次幂的非负性计算可得答案.利用基本不等式应注意：一正、二定、三相等.
二、多选题
9．（2025高一上·中山期末）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】集合的表示方法；交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知阴影部分所表示的集合为，故选项C正确，选项B、D错误；
∵，，
∴，
又∵，
∴，故选项A正确.
故选：AC.
【分析】根据韦恩图易得阴影部分所表示的集合为，即可判断B，C，D选项；利用集合的交、并、补运算即可判断A选项.
10．（2025高一上·中山期末）已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于选项A，
∵，，，
∴，即，
当且仅当，即，时等号成立，故选项A正确；
对于选项B，
∵，
∴， 当且仅当，即，时等号成立，故选项B正确；
对于选项C，
∵，，，
∴，即，
当且仅当，即，时等号成立，故选项C错误；
对于选项D，
∵，，，
∴x=1-2y＞0，即，
∴，
当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】结合已知条件，利用基本不等式的常见变形逐项判断即可得答案.
11．（2025高一上·中山期末）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：对于选项A，
若，
则，故选项A错误；
对于选项B，
若，则，易得，故选项B错误；
对于选项C，
若，则，
，，易得，故选项C错误；
对于选项D，
对，则且，即且，
则且，即，
反之， 对，则且，
因此，且，即且，
所以，即，故选项D正确.
故选：ABC.
【分析】
举例分析判断即可判断选项A、B、C，对于选项D，利用直积的定义分析判断即可.
三、填空题
12．（2025高一上·中山期末）已知，求的取值范围 ．
【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：令 ，得，求得，，，.
故答案为： .
【分析】令 ，求出，再根据不等式性质求解的取值范围.
13．（2025高一上·中山期末）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】存在量词命题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：“，”为假命题，则“”为真命题，
当时，由，解得，不符合题意，
当时，
∵，
∴，解得.
故答案为：
【分析】由已知分析得到命题“”为真命题，通过对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.
14．（2025高一上·中山期末）已知集合，若，则的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】因为 ，则，
又因为 ，可得，
可得，即的最小值为 5.
故答案为：5.
【分析】根据题意可知，结合包含关系分析求解.
四、解答题
15．（2025高一上·中山期末）设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由“”是“”的充分不必要条件，得，
又因为，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，所以，不等式无解集，
所以实数的取值范围.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出集合间的包含关系，再借助数轴得出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
（2）利用全称命题的真假性，将问题转化为，再分空集和非空集合讨论，再根据集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）由“”是“”的充分不必要条件，得 ，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，无解，
所以实数的取值范围.
16．（2025高一上·中山期末）已知集合，集合，集合．
（1）若，求实数a的值；
（2）若，，求实数a的值．
【答案】（1）解：∵集合，
集合，且，
∴，
将x=2代入，可得，解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
综上可知，实数a的值为．
（2）解：由题意易得，，，
∵，，，
∴，
将x=3代入，可得，解得或，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
综上可知，实数a的值为．
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）易得集合，由，得到，得到关于a的方程，求解方程可得或，将a的值代入集合A，检验保证即可；
（2）易得集合，由，，得， 得到关于a的方程 ，求解方程可得或， 将a的值代入集合A，检验保证即可.
（1）因为集合，
集合，且，
所以，所以，即，
解得或．
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
综上，实数a的值为．
（2）因为，，
，且，，
所以，
所以，即，解得或．
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
综上，实数a的值为．
17．（2025高一上·中山期末）已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立.
（1）若命题p真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1） 解：∵p为真命题，∴，
∵，∴，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴，即p为真命题的实数m的取值范围是.
（2）解：∵q为真，则，
∵，，，
∴，当且仅当，即时取等号.
∴，即q为真命题的实数m的取值范围是，
①若p为真命题，q为假命题，则且，即；
②若p为假命题，q为真命题，则且，即.
综上可知， 若命题p和命题q有且仅有一个真命题， 则实数m的取值范围是.
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据p为真命题，将问题转化为求的最小值，运用基本不等式求最值——凑配法即可求解；（2）根据命题q为真命题，将问题转化为求的最小值，运用基本不等式求最值——“1”的代换即可求出的取值范围，再根据两个命题一真一假，分类讨论即可求解.
（1）∵p为真命题，∴，
∵，∴，∴，
当且仅当，即时取等号.
所以.
（2）若q为真，则，
∵，，，
∴，
当且仅当，即时取等号.
所以.
①若p为真，q为假，则且，即；
②若p为假，q为真，则且，即.
综上，或.
18．（2025高一上·中山期末）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.
（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
【答案】（1）解：由题意可得，，
∵，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立，
∴，当时，等号成立，
∴当高邮政府的专项补贴为万元时，取最大值万元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出函数关系式，结合已知，化简即可得到；
（2）在（1）的基础上，变形配凑后，利用基本不等式即可求解.运用基本不等式需注意：一正、二定、三相等.
（1），
因为，所以；
（2），
又因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故当高邮政府的专项补贴为万元时，取最大值万元.
19．（2025高一上·中山期末）已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质M．
（1）判断集合是否具有性质M；
（2）已知集合A具有性质M，求证：；
（3）已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由．
【答案】（1）解： 集合是否具有性质.理由如下：
，
集合具有性质.
（2）证明：∵集合A具有性质M，
∴，
又∵， 集合中的元素都是正整数，
∴，即，
∴，
∴，即证.
（3）解：A中元素个数的最大值 9，理由如下：
由(2)知，
∵
∴，解得，
∵，
∴.
又，
∴，即也均成立.
当时，取，则，可知.
又当时，，所以.
∴集合中元素个数的最大值为9.
【知识点】基本不等式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据性质M的定义及所给集合，验证全部元素即可得解；
（2）由所给性质变形，利用不等式的性质可得，利用累加相消法即可得解；
（3）利用所给性质先放缩法得到，确定，同理可得，假设，可推出矛盾，当时，利用基本不等式证明成立，即可得出的最大值.
（1） 集合具有性质.
（2）由题意，，
又，
所以，
可得：，
所以.
即.
（3）由（2）知，，可得，
因此，同理，可得，.
又，可得，所以也均成立.
当时，取，则，可知.
又当时，，所以.
因此集合中元素个数的最大值为9.
1 / 1广东省中山市第一中学（丰山部）2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．（2025高一上·中山期末）已知集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高一上·中山期末）集合，，的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·中山期末）已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·中山期末）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·中山期末）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
6．（2025高一上·中山期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·中山期末）已知，，，均为实数，有下列命题：
（1）若，，则；
（2）若，，则；
（3）若，，则，
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2025高一上·中山期末）设，则的最小值是
A．2 B．4 C． D．5
二、多选题
9．（2025高一上·中山期末）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·中山期末）已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11．（2025高一上·中山期末）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2025高一上·中山期末）已知，求的取值范围 ．
13．（2025高一上·中山期末）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
14．（2025高一上·中山期末）已知集合，若，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（2025高一上·中山期末）设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
16．（2025高一上·中山期末）已知集合，集合，集合．
（1）若，求实数a的值；
（2）若，，求实数a的值．
17．（2025高一上·中山期末）已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立.
（1）若命题p真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.
18．（2025高一上·中山期末）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.
（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
19．（2025高一上·中山期末）已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质M．
（1）判断集合是否具有性质M；
（2）已知集合A具有性质M，求证：；
（3）已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：∵集合，
∴解不等式，可得或，即或，
∵，
∴解不等式，可得，即，
所以．
故选：C.
【分析】结合已知，解不等式即可确定集合，再利用交集定义即可求解.．
2．【答案】C
【知识点】集合的表示方法；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】解：任取，
∵ ，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，即，，
∴，
同理，任取，则，，即，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
任取，
∵ ，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，即，，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
故选：C.
【分析】
利用集合的定义，集合间的基本关系及集合相等的定义即可得出结论.
3．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：∵ 全集，
∴.
故选：A.
【分析】结合已知，根据利用集合的交、并、补运算即可求解.
4．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为，所以a-b＞0，ab＞0，所以，但与1的大小不确定，所以无法比较大小，故选项A错误；
对于选项B，因为，所以a-b＞0，ab＞0，所以，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以b-a＜0，ab＞0，所以，故选项C错误；
对于选项D，因为，所以b-a＜0，a+b＞0，a+2b＞0，
所以，故选项D错误；
故选：B.
【分析】结合已知条件，利用作差法即可判断求解.
5．【答案】D
【知识点】充要条件；全称量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于选项A，
若，则，则充分性成立；若，则或，则必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，故选项A错误；
对于选项B，
命题“若，则“的否定为“存在，则“，故选项B错误；
对于选项C，
若，则，充分性成立；
当时，可以取，，则必要性不成立，
所以，是的充分不必要条件，故选项C错误；
对于选项D，
若，时，，则充分性不成立，若，则，则必要性成立，
所以是的必要不充分条件，故选项D正确.
故选：D.
【分析】根据充分性和必要性的定义逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设集合，集合，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以Q是P的真子集，所以，即，解得.
故选：B.
【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的定义，从集合的角度推出集合P和集合Q的关系即可求解.
7．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于（1），
，，
，故（1）正确；
对于（2），
，，
，故（2）正确；
对于（3），
，
，
又，
，故（3）正确；
综上可知，正确的命题为（1）（2）（3），有3个.
故选：．
【分析】利用不等式的基本性质即可逐一判断.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
∴，当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
∵，
，
当且仅当取等号，即，取等号，
∴的最小值是4.
故选B.
【分析】观察代数式的特点，化简整理可得，多次利用基本不等式和偶次幂的非负性计算可得答案.利用基本不等式应注意：一正、二定、三相等.
9．【答案】A,C
【知识点】集合的表示方法；交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知阴影部分所表示的集合为，故选项C正确，选项B、D错误；
∵，，
∴，
又∵，
∴，故选项A正确.
故选：AC.
【分析】根据韦恩图易得阴影部分所表示的集合为，即可判断B，C，D选项；利用集合的交、并、补运算即可判断A选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于选项A，
∵，，，
∴，即，
当且仅当，即，时等号成立，故选项A正确；
对于选项B，
∵，
∴， 当且仅当，即，时等号成立，故选项B正确；
对于选项C，
∵，，，
∴，即，
当且仅当，即，时等号成立，故选项C错误；
对于选项D，
∵，，，
∴x=1-2y＞0，即，
∴，
当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】结合已知条件，利用基本不等式的常见变形逐项判断即可得答案.
11．【答案】A,B,C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：对于选项A，
若，
则，故选项A错误；
对于选项B，
若，则，易得，故选项B错误；
对于选项C，
若，则，
，，易得，故选项C错误；
对于选项D，
对，则且，即且，
则且，即，
反之， 对，则且，
因此，且，即且，
所以，即，故选项D正确.
故选：ABC.
【分析】
举例分析判断即可判断选项A、B、C，对于选项D，利用直积的定义分析判断即可.
12．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：令 ，得，求得，，，.
故答案为： .
【分析】令 ，求出，再根据不等式性质求解的取值范围.
13．【答案】
【知识点】存在量词命题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：“，”为假命题，则“”为真命题，
当时，由，解得，不符合题意，
当时，
∵，
∴，解得.
故答案为：
【分析】由已知分析得到命题“”为真命题，通过对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.
14．【答案】5
【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】因为 ，则，
又因为 ，可得，
可得，即的最小值为 5.
故答案为：5.
【分析】根据题意可知，结合包含关系分析求解.
15．【答案】（1）解：由“”是“”的充分不必要条件，得，
又因为，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，所以，不等式无解集，
所以实数的取值范围.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出集合间的包含关系，再借助数轴得出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
（2）利用全称命题的真假性，将问题转化为，再分空集和非空集合讨论，再根据集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）由“”是“”的充分不必要条件，得 ，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，无解，
所以实数的取值范围.
16．【答案】（1）解：∵集合，
集合，且，
∴，
将x=2代入，可得，解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
综上可知，实数a的值为．
（2）解：由题意易得，，，
∵，，，
∴，
将x=3代入，可得，解得或，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
综上可知，实数a的值为．
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）易得集合，由，得到，得到关于a的方程，求解方程可得或，将a的值代入集合A，检验保证即可；
（2）易得集合，由，，得， 得到关于a的方程 ，求解方程可得或， 将a的值代入集合A，检验保证即可.
（1）因为集合，
集合，且，
所以，所以，即，
解得或．
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
综上，实数a的值为．
（2）因为，，
，且，，
所以，
所以，即，解得或．
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
综上，实数a的值为．
17．【答案】（1） 解：∵p为真命题，∴，
∵，∴，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴，即p为真命题的实数m的取值范围是.
（2）解：∵q为真，则，
∵，，，
∴，当且仅当，即时取等号.
∴，即q为真命题的实数m的取值范围是，
①若p为真命题，q为假命题，则且，即；
②若p为假命题，q为真命题，则且，即.
综上可知， 若命题p和命题q有且仅有一个真命题， 则实数m的取值范围是.
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据p为真命题，将问题转化为求的最小值，运用基本不等式求最值——凑配法即可求解；（2）根据命题q为真命题，将问题转化为求的最小值，运用基本不等式求最值——“1”的代换即可求出的取值范围，再根据两个命题一真一假，分类讨论即可求解.
（1）∵p为真命题，∴，
∵，∴，∴，
当且仅当，即时取等号.
所以.
（2）若q为真，则，
∵，，，
∴，
当且仅当，即时取等号.
所以.
①若p为真，q为假，则且，即；
②若p为假，q为真，则且，即.
综上，或.
18．【答案】（1）解：由题意可得，，
∵，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立，
∴，当时，等号成立，
∴当高邮政府的专项补贴为万元时，取最大值万元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出函数关系式，结合已知，化简即可得到；
（2）在（1）的基础上，变形配凑后，利用基本不等式即可求解.运用基本不等式需注意：一正、二定、三相等.
（1），
因为，所以；
（2），
又因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故当高邮政府的专项补贴为万元时，取最大值万元.
19．【答案】（1）解： 集合是否具有性质.理由如下：
，
集合具有性质.
（2）证明：∵集合A具有性质M，
∴，
又∵， 集合中的元素都是正整数，
∴，即，
∴，
∴，即证.
（3）解：A中元素个数的最大值 9，理由如下：
由(2)知，
∵
∴，解得，
∵，
∴.
又，
∴，即也均成立.
当时，取，则，可知.
又当时，，所以.
∴集合中元素个数的最大值为9.
【知识点】基本不等式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据性质M的定义及所给集合，验证全部元素即可得解；
（2）由所给性质变形，利用不等式的性质可得，利用累加相消法即可得解；
（3）利用所给性质先放缩法得到，确定，同理可得，假设，可推出矛盾，当时，利用基本不等式证明成立，即可得出的最大值.
（1） 集合具有性质.
（2）由题意，，
又，
所以，
可得：，
所以.
即.
（3）由（2）知，，可得，
因此，同理，可得，.
又，可得，所以也均成立.
当时，取，则，可知.
又当时，，所以.
因此集合中元素个数的最大值为9.
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