6.3.2 二项式系数的性质-教学设计

6.3.2二项式系数的性质
一、设计思路
指导思想
本节是二项式定理的第二课时，是换个角度研究二项式定理，从而加深对二项式定理的理解。在本节课的学习过程中，教师要始终体现以学生为主体，培养“四能”，聚焦核心素养。本节课采用由特殊到一般的研究思想，先把二项式系数与杨辉三角建立联系，让学生观察、抽象出一般结论，形成猜想，引导学生联系组合等知识给出必要的证明。通过二项式系数的性质的简单应用，查找学生存在的问题。在猜想的证明过程中，根据学情启发学生思考，通过合作交流，形成合力解决问题。
教学目标
（1）通过建立二项式系数与杨辉三角的关系，观察、归纳和抽象出二项式系数的性质。
（2）学会利用赋值法解决二项式系数和的相关问题。
（3）在推导二项式系数性质过程中，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养。
教学内容
二项式系数的有关性质.
4.教学重点、难点
重点：二项式系数性质的推导与应用.
难点：二项式系数的增减性和最大值的证明.
教学准备
学情分析
我带两个班数学课，属于平行班。大多数学生具备一定的数学基础，每个班有10个左右学生基础较差，听课比较吃力，学习习惯较差。对于这些学生，本节课难点不做要求。对于班级内思维灵活、基础较好的学生，启发他们独立思考，引领大家解决本节课要证明的性质。根据学生特点，讲课应该着眼基础，适度拔高。
教学资源
本节课选用人教A版选择性必修第三册第六章计数原理二项式系数的性质，结合课程标准进行教学设计。
教学技术
本节课需要计算组合数，学生准备计算器。借助GeoGebra软件画函数图像
教学方法
探究式 启发式 合作交流
三、教学过程
（一）复习引入
复习二项式定理：……，.其中
的展开式的二项式系数
，，，…，，…，
有很多有趣的性质，利用这些性质可以解决很多数学问题。而且我们可以从不同角度进行研究。
设计意图：通过提问学生方式，复习引入，调动学生已有的相关知识，为本节课的学习做好铺垫。
（二）新知探究
探究1：用计算工具计算的展开式的二项式系数，
并填入表6.3-1．
n 的展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
通过计算、填表，你发现了什么规律？
1.学生独立填表，先用组合数表示，再计算数值。
2.上表还可以写成如图6.3-1所示的形式．
…………………… 1 1
…………………… 1 2 1
…………………1 3 3 1
………………1 4 6 4 1
……………1 5 10 10 5 1
…………1 6 15 20 15 6 1
图6.3-1
数学文化普及
该表为杨辉三角。最早现于1261年南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早600年左右
设计意图：学生通过填表的活动，巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算，并发现二项式系数具有的一些规律；同时引导学生发现这样的表格不利于观察二项式系数的更多规律，进而引发思考：哪种表示形式更方便观察呢？借此引出算术三角形-杨辉三角，介绍杨辉三角的数学文化，增强学生文化自豪感。为进一步观察、归纳出二项式系数的性质作准备。
4.观察图6.3-1，你还能发现哪些规律？
(1)每行两端的数都是1；
(2)系数呈对称分布，与首末两端“等距离”的两个系数相等，
即
(3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大.
(4)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即.
设计意图：让学生充分展示自己，说出发现的规律。老师可以引导学生先逐行观察寻找规律，再两行两行观察规律，然后共同总结出二项式系数的性质。在交流中，增强了学生自信心，培养了学生发现问题与分析问题的能力。
探究2：对于的展开式的二项式系数，我们还可以从函数的角度分析它们，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是.你能画出它的图像吗？它又有哪些性质？
对于确定的，我们还可以画出它的图象.能否画出时，函数的图象？
当时，函数的图象如图6.3-2所示．
追问1：观察函数
图象，当时，你发现二项式系数什么规律？
函数图象由7个离散的点构成，它们关于直线对称；
当时，随r的增大而增大；当时，随r的增大而减小；中间项取得最大值。
追问2：能否画出时函数的图象，比较它们的异同，你又发现了什么规律？
函数图象由8个离散的点构成，它们关于直线对称；当时，随r的增大而增大；当时，随r的增大而减小；中间两项和相等且同时取得最大值。其余让学生回答。
由此归纳出：
（1）函数图象由n+1个离散的点构成，它们关于直线对称。
（2）当时，随r的增大而增大，当时，随r的增大而减小。
（3）当n为偶数时，中间项取得最大值，
当n为奇数时，中间项两项与相等且同时取得最大值。
追问3：你能对上面（2）和（3）这两个猜想给予证明吗？
联系函数与数列单调性定义，我们只需证明和的大小，由组合数公式得 ，.通过比较公式，发现作差法与作商法都可以解答。
因为，.
所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小．当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
设计意图：学生自己画出时函数的图象，观察图像的对称性、增减性和最值，总结归纳出二项式系数的性质，并且对增减性和最值给出证明。由特殊到一般、由具体到抽象的思想方法帮助学生进一步理解二项式系数的性质，也培养了直观想象、逻辑推理和数学运算的素养。
探究3：根据上图的杨辉三角，逐行计算各二项式的系数之和，你能发现什么规律？
引导学生猜想出：
你能对上式进行证明吗？
如何利用的展开式证明上式？
已知 ，
令，得 ．
这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于．
设计意图：引导学生先猜想，再证明，加深学生的理解。
（三）新知应用
例1：求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析：奇数项的二项式系数的和为 ，
偶数项的二项式系数的和为 ．
由于
中的，可以取任意实数，因此我们可以通过对，适当赋值来得到上述两个系数和．
②实际上，，既可以取任意实数，也可以取任意多项式，还可以是别的．我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
证明：在展开式中，
令，，则得
．
即 ．
因此，，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
设计意图：利用赋值法求各二项式系数的和，使学生体会赋值法的好处，提升学生的逻辑推理素养.
课堂练习：
1.填空题
______；（2）_______．
2.在的展开式中，求各项系数的和。
3.在的展开式中，含项的系数是多少？
（四）课堂小结
通过本节课的学习，你知道二项式系数有哪些性质？
一般地，展开式的二项式系数有如下性质：
（1）对称性：,函数图象由n+1个离散的点构成，它们关于直线对称
（2）
（3）当时，随r的增大而增大，当时，随r的增大而减小。
（4）当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，，且同时取得最大值
（5），.
（五）作业布置
教材第34页练习第1,2,3,4题.
教学反思
本节课在两个班上的比较成功，都按照课前预设有条不紊的推进，顺利的完成了教学目标。但是，也存在一些瑕疵。我对教学过程进行了深入的反思，总结经验与不足，期望对后续教学提供帮助。
教学亮点
以问题为驱动，引导学生自己发现问题，解决问题。通过学生实践、观察和独立思考、合作交流，得到猜想的整个过程，都是以问题为导向。从函数角度研究二项式系数，从简单问题入手，逐渐深入，直到推出一般性结论。整个过程培养了“四能”提升了学生的数学抽象和逻辑推理的素养。
由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法，帮助学生快速掌握知识与技能。把二项式的系数与杨辉三角建立联系，归纳抽象出一般性结论，特别是组合数的两个性质，建立了知识间的联系。从函数角度研究二项式系数，由特例的的研究展开，接着又研究了n=7,8,9的情况，抽象概括出一般性结论。
对于二项式系数的增减性与最大值的证明，建立了组合数与不等式知识间联系，开拓了学生视野，激发学生学习数学的兴趣。从比较两个组合数的大小开始，联系了数列的增减性及判断方法，到比较大小中的作差法与作商法。体现了知识间的联系，也增加了课堂的深度与厚度，激发学生学习的动力。
分层教学，让每位学生都有获得感。通过杨辉三角找规律时，首先，我鼓励后进生大胆讲出他们发现的规律，比如说左右两端都是1，对称性等，最后，其他学生补充。在增减性与最大值的证明时，由于字母比较多，学生们都哑口无言时，我鼓励基础好、思维敏捷的学生大胆说出想法。让他们带动大家向前进步。
二、存在的问题及改进措施
一个难点没有考虑到。在用赋值法证明二项式系数和，偶数项系数和与奇数项系数和相等时，我感觉问题很简单，很快处理完，没想到做课堂练习时很多学生直接不会做，学生没有思路，赋值法不会应用。问题硬生生的摆在那里，我还在课堂上埋怨学生听讲不认真。课后仔细一想，发现是自己的问题，不要在备课环节或课堂上想当然了，自己认为简单的知识对学生不一定容易，自己认为有难度的知识对学生不一定难。这里的难易标准应由学生制定，不应该是老师。老师对学情没有充分过的把握，这也是一个原因。对课堂敏锐的观察力不足，经验还差点火候。既然都说出症结所在，以后在教学中要吸取教训。
二项式系数的性质是培养学生数学抽象与逻辑思维素养的重要载体，通过本次教学反思，我深刻认识到在定理课教学中需要平衡直观感知与逻辑推理的严谨性，在课堂中应该更注意分层与互动，更审视课堂中的突发情况。未来的教学中，我将持续优化教学策略，以学生为中心，助力学生在数学学习中实现思维的进阶与素养的提升。