8.1 “式”的规律（同步练习）-2025-2026学年六年级上册数学人教版（含答案、解析）
文档属性
| 名称 | 8.1 “式”的规律（同步练习）-2025-2026学年六年级上册数学人教版（含答案、解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-05 00:00:00 | ||
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文档简介
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8.1 “式”的规律
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 仓山区期中）根据算式：88.2÷9＝9.8；88.83÷9＝9.87；88.884÷9＝9.876；可以知道88.88886÷9＝（ ）
A．9.8765 B．9.87654 C．9.876543 D．9.8765432
2．（2025秋 龙岗区期中）9×9＝81、98×9＝882、987×9＝8883……9876543×9＝？根据你发现的规律，“？”处应填（ ）
A．8888887 B．88888887 C．888887 D．888888887
3．（2024秋 头屯河区期末）不计算，请你根据规律选出得数。
6×0.7＝4.2
6.6×6.7＝44.22
6.66×66.7＝444.222
6.6666×6666.7＝（ ）
A．4444.2222 B．4444.22222
C．44444.22222 D．44444.2222
4．（2025春 巩义市期末）已知15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×45＝2025……请根据前面的规律，直接写出65×65＝（ ）
A．3025 B．4225 C．5625
5．（2025春 诸城市期末）有这样一组运算：1×2+3＝5，2×3+4＝10，3×4+5＝17，4×5+6＝26，按照规律，第10个式子的运算结果是（ ）
A．111 B．122 C．133 D．144
二．填空题（共3小题）
6．（2025秋 子洲县期中）观察左边的算式，直接写出右边算式的得数。
3×9＝27 33333×9＝
33×9＝297 333333×9＝
333×9＝2997 3333333×9＝
3333×9＝29997 33333333×9＝
7．（2025秋 开平区期中）运用规律直接填得数。
3×0.7＝2.1
3.3×6.7＝22.11
3.33×66.7＝222.111
3.333×666.7＝2222.1111
3.3333×6666.7＝
8．（2025秋 吐鲁番市期中）不计算，运用规律直接写出后面两个算式的得数。
81÷9＝9 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87
88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝ 88.88886÷9＝
三．判断题（共4小题）
9．（2025春 阎良区期末）有趣的算式：37037×3＝111111，37037×6＝222222，37037×9＝333333，37037×12＝444444，根据这样的规律可以直接写出算式37037×27＝777777。（ ）
10．（2019秋 沈阳期末）根据33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332．
11．（2008秋 陕西期末）一串珠子按三颗白珠一颗红珠的规律串成，第25颗是红色的． ．
12．（2018秋 北票市期末）3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222根据前三题的得数，33333×33334＝11112222．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 南京）分数运算中存在许多有意思的规律，如：
因为 所以 因为 所以 因为 所以
（1）小强仿照其中的规律也写出了一道等式，请你帮他判断一下，这个等式成立吗？如果成立在横线里打“√”，不成立打“×”。
。
（2）请再写出一个符合以上规律的等式： 。
14．（2025 渝北区）我们把“n个相同的数a相乘”记为an，例如23＝2×2×2＝8。
（1）请计算：26＝ ，54＝ 。
（2）观察下列等式：
（x﹣1）×（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）×（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）×（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
由以上规律，我们可以猜：
（x﹣1）×（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ 。
（3）计算：32011+32010+……+3+1。
15．（2025春 沈北新区期末）淘气在做分数运算时，发现了一个有趣的现象。
他又举了下面三个例子，发现其中蕴含着规律。
（1）笑笑找到了两个分数和，它们的运算是否符合上面的规律？ （填“是”或“否”）。
（2）请你再找出两个符合上面规律的分数，并写出等式。
（3）结合上面的研究，你一定发现了规律或产生了新的猜想，把它写下来。我发现的规律或我的猜想： 。
8.1 “式”的规律
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 仓山区期中）根据算式：88.2÷9＝9.8；88.83÷9＝9.87；88.884÷9＝9.876；可以知道88.88886÷9＝（ ）
A．9.8765 B．9.87654 C．9.876543 D．9.8765432
【考点】“式”的规律．
【专题】运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】这几个算式共同的特征是被除数整数部分都是88，除数都是9，由①～③商的整数部分都是9。被除数小数部分尾数分别是2、3、4……小数位数分别是一位、两位、三位……除尾数外各数位上都是8；商的小数部分从8开始依次递减1，商的小数位数与被除数小数位数相同。据此做题即可。
【解答】解：根据算式：88.2÷9＝9.8；88.83÷9＝9.87；88.884÷9＝9.876；可以知道88.88886÷9＝9.87654。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是根据通过前三个算式长出各算式被除数、除数、商之间的变化规律，这也是本题的难点，然后根据规律求出后面算式的商。
2．（2025秋 龙岗区期中）9×9＝81、98×9＝882、987×9＝8883……9876543×9＝？根据你发现的规律，“？”处应填（ ）
A．8888887 B．88888887 C．888887 D．888888887
【考点】“式”的规律．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】观察题目中的算式，可以发现，算式中的其中一个因数都是9，另一个因数是从9开始，依次增多一位（倒数结果8、7、6……），所得的积位数是两个因数之和，其中积数字“8”的个数与最高因数的位数相同，积最后一位数与积中“8”的个数相同。据此解答。
【解答】解：9×9＝81
98×9＝882
987×9＝8883……
由分析可知，9876543是一个七位数，得数中应该有7个连续的“8”，且最后一位数是7，因此9876543×9＝88888887，选项B正确。
故选：B。
【点评】本题主要考查算式的规律，正确找到几个算式间积与因数之间的关系是解答此题的关键。
3．（2024秋 头屯河区期末）不计算，请你根据规律选出得数。
6×0.7＝4.2
6.6×6.7＝44.22
6.66×66.7＝444.222
6.6666×6666.7＝（ ）
A．4444.2222 B．4444.22222
C．44444.22222 D．44444.2222
【考点】“式”的规律．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】C
【分析】积由4和2组成，4和2的个数与第一个因数中6的个数相同，两个因数共有几位小数，积就有几位小数。
【解答】解：6.6666×6666.7＝44444.22222
故选：C。
【点评】探索算式的规律，运用发现规律解决问题。
4．（2025春 巩义市期末）已知15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×45＝2025……请根据前面的规律，直接写出65×65＝（ ）
A．3025 B．4225 C．5625
【考点】“式”的规律．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】观察前面几个算式可知，两个相同的两位数相乘，两位数的个位上都是5。它们积的十位与个位上的数是25，两位数的十位上的数字×（十位上的数字+1）所得的积为25前面的数字，依此解答。
【解答】解：6×（6+1）
＝6×7
＝42
即65×65＝4225。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
5．（2025春 诸城市期末）有这样一组运算：1×2+3＝5，2×3+4＝10，3×4+5＝17，4×5+6＝26，按照规律，第10个式子的运算结果是（ ）
A．111 B．122 C．133 D．144
【考点】“式”的规律．
【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】仔细观察算式1×2+3＝5，2×3+4＝10，3×4+5＝17，4×5+6＝26可知，每个式子的三个数是连续的自然数。第1个式子的第一个数是1，三个连续的自然数依次是1，2，3；第2个式子的第一个数是2，三个连续的自然数依次是2，3，4……第10个式子的第一个数是10，三个连续的自然数依次是10，11，12，式子为：10×11+12。
【解答】解：由分析得，第10个式子是：
10×11+12
＝110+12
＝122
所以第10个式子的运算结果是122。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
二．填空题（共3小题）
6．（2025秋 子洲县期中）观察左边的算式，直接写出右边算式的得数。
3×9＝27 33333×9＝ 299997
33×9＝297 333333×9＝ 2999997
333×9＝2997 3333333×9＝ 29999997
3333×9＝29997 33333333×9＝ 299999997
【考点】“式”的规律．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】299997，2999997，29999997，299999997。
【分析】规律：第二个因数都是9，第一个因数的每个数位上的数字都是3，得到的积的首、末尾数字都是2和7，中间9的个数比数字3的个数少1；据此解答即可。
【解答】解：
3×9＝27 33333×9＝299997
33×9＝297 333333×9＝2999997
333×9＝2997 3333333×9＝29999997
3333×9＝29997 33333333×9＝299999997
故答案为：299997，2999997，29999997，299999997。
【点评】本题考查了式的规律，关键是根据已知算式找出规律。
7．（2025秋 开平区期中）运用规律直接填得数。
3×0.7＝2.1
3.3×6.7＝22.11
3.33×66.7＝222.111
3.333×666.7＝2222.1111
3.3333×6666.7＝ 22222.11111
【考点】“式”的规律．
【专题】应用意识．
【答案】22222.11111。
【分析】前一个因数有n个3，后一个因数有（n﹣1）个6，1个7；得数的整数部分就有n个2，小数部分就有n个1，据此解答。
【解答】解：因为3×0.7＝2.1
3.3×6.7＝22.11
3.33×66.7＝222.111
3.333×666.7＝2222.1111
所以3.3333×6666.7＝22222.11111
故答案为：22222.11111。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
8．（2025秋 吐鲁番市期中）不计算，运用规律直接写出后面两个算式的得数。
81÷9＝9 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87
88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝ 9.8765 88.88886÷9＝ 9.87654
【考点】“式”的规律．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】9.8765；9.87654。
【分析】除第一个算式外，被除数的整数部分都是88，小数点后面的数字8的个数分别为逐渐递增的连续自然数，8后面分别是2、3、4……的连续自然数，得数分别为9，9.8，9.87，即小数点前面是数字9，后面从数字8开始逐渐递减的自然数，据此解答。
【解答】解：
81÷9＝9 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87
88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝9.8765 88.88886÷9＝9.87654
故答案为：9.8765；9.87654。
【点评】本题考查了式的规律，关键是根据已知算式找出规律。
三．判断题（共4小题）
9．（2025春 阎良区期末）有趣的算式：37037×3＝111111，37037×6＝222222，37037×9＝333333，37037×12＝444444，根据这样的规律可以直接写出算式37037×27＝777777。（ × ）
【考点】“式”的规律．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】×。
【分析】观察可知，37037这个数乘3、乘6、乘9、乘12，积中所有数字都一样，且积的位数都是六位数，6是3的2倍，9是3的3倍，12是3的4倍，第一个乘数37037不变，第二个乘数是3的几倍，积中所有的数就是几。据此解答。
【解答】解：37037×27＝999999
综上可知，题目“根据这样的规律可以直接写出算式37037×27＝777777”的说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题
10．（2019秋 沈阳期末）根据33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332． √
【考点】“式”的规律．
【专题】探索数的规律；推理能力．
【答案】√
【分析】根据观察知：第2个因数都是4，其结果最高位都是1、最低位都是2、中间都是3，3的个数比第一个因数中3的个数少1，据此解答．
【解答】解：33×4＝132，
333×4＝1332，
3333×4＝13332，
可知：33333×4＝133332．
原题说法正确。
故答案为：√．
【点评】找出算式中各个因数的变化规律是解题的关键．
11．（2008秋 陕西期末）一串珠子按三颗白珠一颗红珠的规律串成，第25颗是红色的． × ．
【考点】“式”的规律．
【专题】探索数的规律．
【答案】见试题解答内容
【分析】珠子周期性的排列规律是：把“3颗白珠1颗红珠”4个珠子看成一组，求出25里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数推算．
【解答】解：1+3＝4（个）；
25÷4＝6（组）…1（个）；
余数是1，第25个就和第1个的颜色相同，是白色．
答：第25颗是白色的．
故答案为：×．
【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．
12．（2018秋 北票市期末）3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222根据前三题的得数，33333×33334＝11112222． ×
【考点】“式”的规律．
【专题】探索数的规律；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222，可得规律是：积的各位数字是由1和2组成，1在2的前面；因数的位数都相同，积中1和2的个数等于其中一个因数的位数；然后据此规律解答即可．
【解答】解：根据分析可得：
33333×33334＝1111122222；
所以，原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题关键是找到积的规律和积与因数的位数的关系，然后再利用这个规律去解答问题．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 南京）分数运算中存在许多有意思的规律，如：
因为 所以 因为 所以 因为 所以
（1）小强仿照其中的规律也写出了一道等式，请你帮他判断一下，这个等式成立吗？如果成立在横线里打“√”，不成立打“×”。
× 。
（2）请再写出一个符合以上规律的等式： （答案不唯一） 。
【考点】“式”的规律．
【专题】运算能力；模型思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过观察题目中的例子，发现当两个分数的分子相等且等于两个分母之和时，乘积与和相等。因此，判断小强的等式是否成立，只需验证其分数是否满足分子等于两个分母之和。
（2）根据规律写出一个等式即可。（答案不唯一）
【解答】解：（1）由分析可知，当两个分数的分子相等且等于两个分母之和时，乘积与和相等。
11≠5+7，
所以，不成立。
（2）。（答案不唯一）
故答案为：×；。（答案不唯一）
【点评】本题主要考查分数运算中的特殊规律，即两个分数相乘等于它们的和的情况。关键在于发现分子与分母之间的关系。
14．（2025 渝北区）我们把“n个相同的数a相乘”记为an，例如23＝2×2×2＝8。
（1）请计算：26＝ 2×2×2×2×2×2＝64 ，54＝ 5×5×5×5＝625 。
（2）观察下列等式：
（x﹣1）×（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）×（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）×（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
由以上规律，我们可以猜：
（x﹣1）×（xn+xn﹣1+……+x+1）＝xn+1﹣1 。
（3）计算：32011+32010+……+3+1。
【考点】“式”的规律．
【专题】有规律性排列的数的求和与推导问题；运算能力．
【答案】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625，（2）xn+1﹣1，（3）32012﹣1。
【分析】（1）“n个相同的数a相乘”记为an，则26写成6个2相乘，54写成4个5相乘，再计算；
（2）观察可知算式左边为（x﹣1）乘xn到1的连续次方的数，结果为（xn+1﹣1）；
（3）利用（2）的规律的逆规律，计算即可。
【解答】解：（1）26＝2×2×2×2×2×2＝64，54＝5×5×5×5＝625。
（2）（x﹣1）×（xn+xn﹣1+ +x+1）＝xn+1﹣1
（3）根据分析，可得：
（3﹣1）（32011+32010+ +3+1）＝32012﹣1
故答案为：2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625，xn+1﹣1。
【点评】仔细观察，总结出规律是解决本题的关键。
15．（2025春 沈北新区期末）淘气在做分数运算时，发现了一个有趣的现象。
他又举了下面三个例子，发现其中蕴含着规律。
（1）笑笑找到了两个分数和，它们的运算是否符合上面的规律？ 否 （填“是”或“否”）。
（2）请你再找出两个符合上面规律的分数，并写出等式。
（3）结合上面的研究，你一定发现了规律或产生了新的猜想，把它写下来。我发现的规律或我的猜想： 两个分数的分子相同，分母的和等于分子，且分子互质，则两个分数的积等于这两个分数的和 。
【考点】“式”的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】（1）否；
（2）（合理即可）
（3）我发现：两个分数的分子相同，分母的和等于分子，且分子互质，则两个分数的积等于这两个分数的和。（合理即可）
【分析】（1）计算和的积和和，判断是否符合上面的规律即可。
（2）例子合理即可，无固定答案。
（3）根据所给算式中各部分的关系，写出发现的规律即可。
【解答】解：（1）
答：它们的运算不符合上面的规律。
（2）（合理即可）
（3）我发现：两个分数的分子相同，分母的和等于分子，且分子互质，则两个分数的积等于这两个分数的和。（合理即可）
故答案为：否；两个分数的分子相同，分母的和等于分子，且分子互质，则两个分数的积等于这两个分数的和。（合理即可）
【点评】本题主要考查“式”的规律，关键根据所给算式，发现其中的规律，并利用规律做题。
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8.1 “式”的规律
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 仓山区期中）根据算式：88.2÷9＝9.8；88.83÷9＝9.87；88.884÷9＝9.876；可以知道88.88886÷9＝（ ）
A．9.8765 B．9.87654 C．9.876543 D．9.8765432
2．（2025秋 龙岗区期中）9×9＝81、98×9＝882、987×9＝8883……9876543×9＝？根据你发现的规律，“？”处应填（ ）
A．8888887 B．88888887 C．888887 D．888888887
3．（2024秋 头屯河区期末）不计算，请你根据规律选出得数。
6×0.7＝4.2
6.6×6.7＝44.22
6.66×66.7＝444.222
6.6666×6666.7＝（ ）
A．4444.2222 B．4444.22222
C．44444.22222 D．44444.2222
4．（2025春 巩义市期末）已知15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×45＝2025……请根据前面的规律，直接写出65×65＝（ ）
A．3025 B．4225 C．5625
5．（2025春 诸城市期末）有这样一组运算：1×2+3＝5，2×3+4＝10，3×4+5＝17，4×5+6＝26，按照规律，第10个式子的运算结果是（ ）
A．111 B．122 C．133 D．144
二．填空题（共3小题）
6．（2025秋 子洲县期中）观察左边的算式，直接写出右边算式的得数。
3×9＝27 33333×9＝
33×9＝297 333333×9＝
333×9＝2997 3333333×9＝
3333×9＝29997 33333333×9＝
7．（2025秋 开平区期中）运用规律直接填得数。
3×0.7＝2.1
3.3×6.7＝22.11
3.33×66.7＝222.111
3.333×666.7＝2222.1111
3.3333×6666.7＝
8．（2025秋 吐鲁番市期中）不计算，运用规律直接写出后面两个算式的得数。
81÷9＝9 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87
88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝ 88.88886÷9＝
三．判断题（共4小题）
9．（2025春 阎良区期末）有趣的算式：37037×3＝111111，37037×6＝222222，37037×9＝333333，37037×12＝444444，根据这样的规律可以直接写出算式37037×27＝777777。（ ）
10．（2019秋 沈阳期末）根据33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332．
11．（2008秋 陕西期末）一串珠子按三颗白珠一颗红珠的规律串成，第25颗是红色的． ．
12．（2018秋 北票市期末）3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222根据前三题的得数，33333×33334＝11112222．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 南京）分数运算中存在许多有意思的规律，如：
因为 所以 因为 所以 因为 所以
（1）小强仿照其中的规律也写出了一道等式，请你帮他判断一下，这个等式成立吗？如果成立在横线里打“√”，不成立打“×”。
。
（2）请再写出一个符合以上规律的等式： 。
14．（2025 渝北区）我们把“n个相同的数a相乘”记为an，例如23＝2×2×2＝8。
（1）请计算：26＝ ，54＝ 。
（2）观察下列等式：
（x﹣1）×（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）×（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）×（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
由以上规律，我们可以猜：
（x﹣1）×（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ 。
（3）计算：32011+32010+……+3+1。
15．（2025春 沈北新区期末）淘气在做分数运算时，发现了一个有趣的现象。
他又举了下面三个例子，发现其中蕴含着规律。
（1）笑笑找到了两个分数和，它们的运算是否符合上面的规律？ （填“是”或“否”）。
（2）请你再找出两个符合上面规律的分数，并写出等式。
（3）结合上面的研究，你一定发现了规律或产生了新的猜想，把它写下来。我发现的规律或我的猜想： 。
8.1 “式”的规律
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 仓山区期中）根据算式：88.2÷9＝9.8；88.83÷9＝9.87；88.884÷9＝9.876；可以知道88.88886÷9＝（ ）
A．9.8765 B．9.87654 C．9.876543 D．9.8765432
【考点】“式”的规律．
【专题】运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】这几个算式共同的特征是被除数整数部分都是88，除数都是9，由①～③商的整数部分都是9。被除数小数部分尾数分别是2、3、4……小数位数分别是一位、两位、三位……除尾数外各数位上都是8；商的小数部分从8开始依次递减1，商的小数位数与被除数小数位数相同。据此做题即可。
【解答】解：根据算式：88.2÷9＝9.8；88.83÷9＝9.87；88.884÷9＝9.876；可以知道88.88886÷9＝9.87654。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是根据通过前三个算式长出各算式被除数、除数、商之间的变化规律，这也是本题的难点，然后根据规律求出后面算式的商。
2．（2025秋 龙岗区期中）9×9＝81、98×9＝882、987×9＝8883……9876543×9＝？根据你发现的规律，“？”处应填（ ）
A．8888887 B．88888887 C．888887 D．888888887
【考点】“式”的规律．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】观察题目中的算式，可以发现，算式中的其中一个因数都是9，另一个因数是从9开始，依次增多一位（倒数结果8、7、6……），所得的积位数是两个因数之和，其中积数字“8”的个数与最高因数的位数相同，积最后一位数与积中“8”的个数相同。据此解答。
【解答】解：9×9＝81
98×9＝882
987×9＝8883……
由分析可知，9876543是一个七位数，得数中应该有7个连续的“8”，且最后一位数是7，因此9876543×9＝88888887，选项B正确。
故选：B。
【点评】本题主要考查算式的规律，正确找到几个算式间积与因数之间的关系是解答此题的关键。
3．（2024秋 头屯河区期末）不计算，请你根据规律选出得数。
6×0.7＝4.2
6.6×6.7＝44.22
6.66×66.7＝444.222
6.6666×6666.7＝（ ）
A．4444.2222 B．4444.22222
C．44444.22222 D．44444.2222
【考点】“式”的规律．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】C
【分析】积由4和2组成，4和2的个数与第一个因数中6的个数相同，两个因数共有几位小数，积就有几位小数。
【解答】解：6.6666×6666.7＝44444.22222
故选：C。
【点评】探索算式的规律，运用发现规律解决问题。
4．（2025春 巩义市期末）已知15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×45＝2025……请根据前面的规律，直接写出65×65＝（ ）
A．3025 B．4225 C．5625
【考点】“式”的规律．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】观察前面几个算式可知，两个相同的两位数相乘，两位数的个位上都是5。它们积的十位与个位上的数是25，两位数的十位上的数字×（十位上的数字+1）所得的积为25前面的数字，依此解答。
【解答】解：6×（6+1）
＝6×7
＝42
即65×65＝4225。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
5．（2025春 诸城市期末）有这样一组运算：1×2+3＝5，2×3+4＝10，3×4+5＝17，4×5+6＝26，按照规律，第10个式子的运算结果是（ ）
A．111 B．122 C．133 D．144
【考点】“式”的规律．
【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】仔细观察算式1×2+3＝5，2×3+4＝10，3×4+5＝17，4×5+6＝26可知，每个式子的三个数是连续的自然数。第1个式子的第一个数是1，三个连续的自然数依次是1，2，3；第2个式子的第一个数是2，三个连续的自然数依次是2，3，4……第10个式子的第一个数是10，三个连续的自然数依次是10，11，12，式子为：10×11+12。
【解答】解：由分析得，第10个式子是：
10×11+12
＝110+12
＝122
所以第10个式子的运算结果是122。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
二．填空题（共3小题）
6．（2025秋 子洲县期中）观察左边的算式，直接写出右边算式的得数。
3×9＝27 33333×9＝ 299997
33×9＝297 333333×9＝ 2999997
333×9＝2997 3333333×9＝ 29999997
3333×9＝29997 33333333×9＝ 299999997
【考点】“式”的规律．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】299997，2999997，29999997，299999997。
【分析】规律：第二个因数都是9，第一个因数的每个数位上的数字都是3，得到的积的首、末尾数字都是2和7，中间9的个数比数字3的个数少1；据此解答即可。
【解答】解：
3×9＝27 33333×9＝299997
33×9＝297 333333×9＝2999997
333×9＝2997 3333333×9＝29999997
3333×9＝29997 33333333×9＝299999997
故答案为：299997，2999997，29999997，299999997。
【点评】本题考查了式的规律，关键是根据已知算式找出规律。
7．（2025秋 开平区期中）运用规律直接填得数。
3×0.7＝2.1
3.3×6.7＝22.11
3.33×66.7＝222.111
3.333×666.7＝2222.1111
3.3333×6666.7＝ 22222.11111
【考点】“式”的规律．
【专题】应用意识．
【答案】22222.11111。
【分析】前一个因数有n个3，后一个因数有（n﹣1）个6，1个7；得数的整数部分就有n个2，小数部分就有n个1，据此解答。
【解答】解：因为3×0.7＝2.1
3.3×6.7＝22.11
3.33×66.7＝222.111
3.333×666.7＝2222.1111
所以3.3333×6666.7＝22222.11111
故答案为：22222.11111。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
8．（2025秋 吐鲁番市期中）不计算，运用规律直接写出后面两个算式的得数。
81÷9＝9 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87
88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝ 9.8765 88.88886÷9＝ 9.87654
【考点】“式”的规律．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】9.8765；9.87654。
【分析】除第一个算式外，被除数的整数部分都是88，小数点后面的数字8的个数分别为逐渐递增的连续自然数，8后面分别是2、3、4……的连续自然数，得数分别为9，9.8，9.87，即小数点前面是数字9，后面从数字8开始逐渐递减的自然数，据此解答。
【解答】解：
81÷9＝9 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87
88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝9.8765 88.88886÷9＝9.87654
故答案为：9.8765；9.87654。
【点评】本题考查了式的规律，关键是根据已知算式找出规律。
三．判断题（共4小题）
9．（2025春 阎良区期末）有趣的算式：37037×3＝111111，37037×6＝222222，37037×9＝333333，37037×12＝444444，根据这样的规律可以直接写出算式37037×27＝777777。（ × ）
【考点】“式”的规律．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】×。
【分析】观察可知，37037这个数乘3、乘6、乘9、乘12，积中所有数字都一样，且积的位数都是六位数，6是3的2倍，9是3的3倍，12是3的4倍，第一个乘数37037不变，第二个乘数是3的几倍，积中所有的数就是几。据此解答。
【解答】解：37037×27＝999999
综上可知，题目“根据这样的规律可以直接写出算式37037×27＝777777”的说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题
10．（2019秋 沈阳期末）根据33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332． √
【考点】“式”的规律．
【专题】探索数的规律；推理能力．
【答案】√
【分析】根据观察知：第2个因数都是4，其结果最高位都是1、最低位都是2、中间都是3，3的个数比第一个因数中3的个数少1，据此解答．
【解答】解：33×4＝132，
333×4＝1332，
3333×4＝13332，
可知：33333×4＝133332．
原题说法正确。
故答案为：√．
【点评】找出算式中各个因数的变化规律是解题的关键．
11．（2008秋 陕西期末）一串珠子按三颗白珠一颗红珠的规律串成，第25颗是红色的． × ．
【考点】“式”的规律．
【专题】探索数的规律．
【答案】见试题解答内容
【分析】珠子周期性的排列规律是：把“3颗白珠1颗红珠”4个珠子看成一组，求出25里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数推算．
【解答】解：1+3＝4（个）；
25÷4＝6（组）…1（个）；
余数是1，第25个就和第1个的颜色相同，是白色．
答：第25颗是白色的．
故答案为：×．
【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．
12．（2018秋 北票市期末）3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222根据前三题的得数，33333×33334＝11112222． ×
【考点】“式”的规律．
【专题】探索数的规律；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222，可得规律是：积的各位数字是由1和2组成，1在2的前面；因数的位数都相同，积中1和2的个数等于其中一个因数的位数；然后据此规律解答即可．
【解答】解：根据分析可得：
33333×33334＝1111122222；
所以，原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题关键是找到积的规律和积与因数的位数的关系，然后再利用这个规律去解答问题．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 南京）分数运算中存在许多有意思的规律，如：
因为 所以 因为 所以 因为 所以
（1）小强仿照其中的规律也写出了一道等式，请你帮他判断一下，这个等式成立吗？如果成立在横线里打“√”，不成立打“×”。
× 。
（2）请再写出一个符合以上规律的等式： （答案不唯一） 。
【考点】“式”的规律．
【专题】运算能力；模型思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过观察题目中的例子，发现当两个分数的分子相等且等于两个分母之和时，乘积与和相等。因此，判断小强的等式是否成立，只需验证其分数是否满足分子等于两个分母之和。
（2）根据规律写出一个等式即可。（答案不唯一）
【解答】解：（1）由分析可知，当两个分数的分子相等且等于两个分母之和时，乘积与和相等。
11≠5+7，
所以，不成立。
（2）。（答案不唯一）
故答案为：×；。（答案不唯一）
【点评】本题主要考查分数运算中的特殊规律，即两个分数相乘等于它们的和的情况。关键在于发现分子与分母之间的关系。
14．（2025 渝北区）我们把“n个相同的数a相乘”记为an，例如23＝2×2×2＝8。
（1）请计算：26＝ 2×2×2×2×2×2＝64 ，54＝ 5×5×5×5＝625 。
（2）观察下列等式：
（x﹣1）×（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）×（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）×（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
由以上规律，我们可以猜：
（x﹣1）×（xn+xn﹣1+……+x+1）＝xn+1﹣1 。
（3）计算：32011+32010+……+3+1。
【考点】“式”的规律．
【专题】有规律性排列的数的求和与推导问题；运算能力．
【答案】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625，（2）xn+1﹣1，（3）32012﹣1。
【分析】（1）“n个相同的数a相乘”记为an，则26写成6个2相乘，54写成4个5相乘，再计算；
（2）观察可知算式左边为（x﹣1）乘xn到1的连续次方的数，结果为（xn+1﹣1）；
（3）利用（2）的规律的逆规律，计算即可。
【解答】解：（1）26＝2×2×2×2×2×2＝64，54＝5×5×5×5＝625。
（2）（x﹣1）×（xn+xn﹣1+ +x+1）＝xn+1﹣1
（3）根据分析，可得：
（3﹣1）（32011+32010+ +3+1）＝32012﹣1
故答案为：2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625，xn+1﹣1。
【点评】仔细观察，总结出规律是解决本题的关键。
15．（2025春 沈北新区期末）淘气在做分数运算时，发现了一个有趣的现象。
他又举了下面三个例子，发现其中蕴含着规律。
（1）笑笑找到了两个分数和，它们的运算是否符合上面的规律？ 否 （填“是”或“否”）。
（2）请你再找出两个符合上面规律的分数，并写出等式。
（3）结合上面的研究，你一定发现了规律或产生了新的猜想，把它写下来。我发现的规律或我的猜想： 两个分数的分子相同，分母的和等于分子，且分子互质，则两个分数的积等于这两个分数的和 。
【考点】“式”的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】（1）否；
（2）（合理即可）
（3）我发现：两个分数的分子相同，分母的和等于分子，且分子互质，则两个分数的积等于这两个分数的和。（合理即可）
【分析】（1）计算和的积和和，判断是否符合上面的规律即可。
（2）例子合理即可，无固定答案。
（3）根据所给算式中各部分的关系，写出发现的规律即可。
【解答】解：（1）
答：它们的运算不符合上面的规律。
（2）（合理即可）
（3）我发现：两个分数的分子相同，分母的和等于分子，且分子互质，则两个分数的积等于这两个分数的和。（合理即可）
故答案为：否；两个分数的分子相同，分母的和等于分子，且分子互质，则两个分数的积等于这两个分数的和。（合理即可）
【点评】本题主要考查“式”的规律，关键根据所给算式，发现其中的规律，并利用规律做题。
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