期末复习 第3章 不等式（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 不等式
一．选择题（共6小题）
1．设a＞0，b＞0，且a+2b＝2ab，则2a+b的最小值为（　　）
A． B．9 C．3 D．4
2．若a＞b＞0，m＜0，下列结论正确的是（　　）
A．b2＞ab B． C．a﹣m＜b﹣m D．
3．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|0＜x≤2}，则 AB＝（　　）
A．{x|﹣1≤x≤0或2≤x≤3} B．{x|﹣1≤x≤0或2＜x≤3}
C．{x|﹣1≤x＜0或2≤x≤3} D．{x|﹣1≤x＜0或2＜x≤3}
4．若x＞3，则函数取得最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知x＞0，y＞0，则“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6．已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
D．若a＞b，则
（多选）8．若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则（　　）
A．a＜0 B．b＝﹣a C．c＝﹣2a D．bc＜0
（多选）9．下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则a＜b
B．若a2＞b2，ab＞0，则
C．若b＞a＞0，m＞0，则
D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
三．填空题（共4小题）
10．若不等式ax2﹣5x+c＜0的解集是（2，3），则不等式cx2+5x+a≥0的解集是　 　 ．
11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集为　 　 ．
12．函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[，0]，则m的取值范围是　 　 ．
13．已知函数y＝a4﹣x（a＞0且a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3．
（1）已知f（x）在[3，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）求f（x）在[﹣1，2]上的最大值．
15．设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为，求实数a的值；
（2）若不等式f（x）≤﹣2对于任意实数x恒成立，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1．
期末复习 不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．设a＞0，b＞0，且a+2b＝2ab，则2a+b的最小值为（　　）
A． B．9 C．3 D．4
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】A
【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求解．
【解答】解：由a+2b＝2ab，可得：，a＞0，b＞0，
∵，
当且仅当，即时取等号．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最求解中的应用，属于基础题．
2．若a＞b＞0，m＜0，下列结论正确的是（　　）
A．b2＞ab B． C．a﹣m＜b﹣m D．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质分析BC选项，根据作差法判断AD选项．
【解答】解：对于A，a＞b＞0时，由不等式性质可得，b2＜ab，A错误；
对于B，由a＞b＞0，则，而m＜0，因此，B正确；
对于C，若a＞b＞0，m＜0，则a﹣m＞b﹣m，C错误；
对于D，若a＞b＞0，m＜0，，
所以，D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
3．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|0＜x≤2}，则 AB＝（　　）
A．{x|﹣1≤x≤0或2≤x≤3} B．{x|﹣1≤x≤0或2＜x≤3}
C．{x|﹣1≤x＜0或2≤x≤3} D．{x|﹣1≤x＜0或2＜x≤3}
【考点】解一元二次不等式；求集合的补集．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先解不等式得集合A，再根据补集的概念计算即可．
【解答】解：已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|0＜x≤2}，
由x2﹣2x﹣3≤0可得﹣1≤x≤3，
所以 AB＝{x|﹣1≤x≤0或2＜x≤3}．
故选：B．
【点评】本题考查集合间的运算以及一元二次不等式相关知识，属于基础题．
4．若x＞3，则函数取得最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【答案】D
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞3，∴函数x﹣33≥23＝7，当且仅当x＝5时取等号．
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知x＞0，y＞0，则“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由x≥4，y≥6，可得xy≥24，而xy≥24得不出x≥4，y≥6，可得结论．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，则“x≥4，y≥6，所以xy≥24，
所以“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的充分条件；
当x＝2，y＝13，可满足xy≥24，必要性不成立，
所以“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
6．已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】A
【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，直接求解即可．
【解答】解：因为，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
D．若a＞b，则
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】AB
【分析】结合不等式的性质检验各选项即可求解．
【解答】解：若ac2＞bc2，则c2＞0，所以a＞b，A正确；
若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，B正确；
当a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2时，C显然错误；
当a＝1，b＝﹣1时，D显然错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）8．若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则（　　）
A．a＜0 B．b＝﹣a C．c＝﹣2a D．bc＜0
【考点】解一元二次不等式．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据一元二次不等式以及根与系数的关系相关知识可解．
【解答】解：若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
则a＜0且，则b＝﹣a，c＝﹣2a，bc＝2a2＞0，故A，B，C正确，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查一元二次不等式以及根与系数的关系相关知识，属于基础题．
（多选）9．下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则a＜b
B．若a2＞b2，ab＞0，则
C．若b＞a＞0，m＞0，则
D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；作差确定正负判断C．
【解答】解：对于A，由，得c2＞0，则a＜b，A正确；
对于B，取a＝﹣2，b＝﹣1，B显然错误；
对于C，由b＞a＞0，m＞0，得，则，C正确；
对于D，由c＜d，得﹣c＞﹣d，而a＞b，则a﹣c＞b﹣d，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．若不等式ax2﹣5x+c＜0的解集是（2，3），则不等式cx2+5x+a≥0的解集是　（]∪[）　 ．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（]∪[）．
【分析】根据根与系数的关系以及一元二次不等式相关知识可解．
【解答】解：若不等式ax2﹣5x+c＜0的解集是（2，3），
则a＞0且，则a＝1，c＝6，
则不等式cx2+5x+a≥0可化为6x2+5x+1≥0，则或x，
则不等式的解集为（]∪[）．
故答案为：（]∪[）．
【点评】本题考查根与系数的关系以及一元二次不等式相关知识，属于基础题．
11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集为　（﹣∞，0）∪（2，+∞）　 ．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【分析】根据一元二次不等式以及二次函数相关知识可解．
【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
则1和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，且f（0）＝3，则c＝﹣3，
则，则a＝﹣1，b＝4，
则不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0等价于﹣（x+1）2+4（x+1）﹣3＜0，
即x2﹣2x＞0，则x＜0或x＞2，
则不等式的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查一元二次不等式相关知识，属于基础题．
12．函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[，0]，则m的取值范围是　　 ．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】y＝x2﹣3x﹣4的图象是开口朝上，且以x为对称的抛物线，故当x时，函数取最小值，又由f（﹣1）＝f（4）＝0，可得当函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[，0]时，实数m的范围．
【解答】解：∵y＝x2﹣3x﹣4的图象是开口朝上，且以x为对称的抛物线，
∴当x时，函数取最小值，
又∵f（﹣1）＝f（4）＝0，
∴当函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[，0]时，m∈，
∴m的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
13．已知函数y＝a4﹣x（a＞0且a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为　8　 ．
【考点】运用基本不等式求最值；指数函数的特征及解析式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．
【答案】8．
【分析】求得定点A的坐标，进而可得m，n的关系式，利用不等式中1的妙用可求的最小值．
【解答】解：因为函数y＝a4﹣x的图像恒过定点A（4，1），
点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，所以4m+n＝1，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3．
（1）已知f（x）在[3，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）求f（x）在[﹣1，2]上的最大值．
【考点】二次函数的值域；二次函数的单调性与单调区间．
【专题】转化思想；综合法；分类法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣∞，3]；
（2）当时，函数f（x）的最大值为f（2）＝1﹣4a；当时，f（x）的最大值为f（﹣1）＝2a﹣2．
【分析】（1）f（x）＝x2﹣2ax﹣3＝（x﹣a）2﹣3﹣a2可得对称轴为x＝a，根据开口向上即可求解；
（2）由（1）有对称轴为x＝a，开口向上，根据a的范围分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）由题意有函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3＝（x﹣a）2﹣3﹣a2，可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为x＝a，
要使得f（x）在[3，+∞）上单调递增，则满足a≤3，所以a的取值范围为（﹣∞，3]；
（2）由函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3＝（x﹣a）2﹣3﹣a2，可得f（x）的图象开口向上，且对称轴为x＝a，
当时，函数f（x）的最大值为f（2）＝1﹣4a；
当时，函数f（x）的最大值为f（﹣1）＝2a﹣2；
综上，当时，函数f（x）的最大值为f（2）＝1﹣4a；
当时，f（x）的最大值为f（﹣1）＝2a﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，属于基础题．
15．设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为，求实数a的值；
（2）若不等式f（x）≤﹣2对于任意实数x恒成立，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1．
【考点】一元二次不等式恒成立问题；解一元二次不等式．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）2；
（2）（﹣∞，﹣1]；
（3）当a＝0时，不等式解集为：（﹣∞，1）；
当a＞0时，不等式解集为：；
当﹣1＜a＜0时，不等式解集为：；
当a＝﹣1时，不等式解集为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
当a＜﹣1时，不等式解集为：．
【分析】（1）由二次不等式的解集得到对应二次方程的解，代入方程求得实数a；
（2）由题意得f（x）max≤﹣2，讨论a的值，得到函数的最大值f（x）max，然后由不等式解得a的取值范围；
（3）列出不等式，通过讨论a的不同取值，解对应不等式，得到不等式解集．
【解答】解：（1）f（x）≤0，即不等式ax2+（1﹣a）x+a﹣2≤0的解集为，
即方程ax2+（1﹣a）x+a﹣2＝0的解，且a＞0，
则，
解得a＝2．
（2）由题意可知f（x）max≤﹣2，
当a＝0时，函数f（x）＝x﹣2是一次函数，在R上没有最大值，舍去；
当a＞0时，函数f（x）是开口向上的二次函数，在R上没有最大值，舍去；
当a＜0时，函数，
即，
所以，因为a＜0，所以3a2﹣6a﹣1≥﹣8a，
即（3a﹣1）（a+1）≥0，解得或a≤﹣1，
则a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
（3）f（x）＜a﹣1，即ax2+（1﹣a）x﹣1＜0，
当a＝0时，x﹣1＜0，解得x＜1，不等式解集为：（﹣∞，1）；
当a＞0时，，则，不等式解集为：；
当a≠0时，（ax+1）（x﹣1）＜0，
当﹣1＜a＜0时，，则x＜1或，不等式解集为：；
当a＝﹣1时，x≠1，不等式解集为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
当a＜﹣1时，，则或x＞1，不等式解集为：；
综上，当a＝0时，不等式解集为：（﹣∞，1）；
当a＞0时，不等式解集为：；
当﹣1＜a＜0时，不等式解集为：；
当a＝﹣1时，不等式解集为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
当a＜﹣1时，不等式解集为：．
【点评】本题考查一元二次不等式相关知识，属于中档题．
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