期末复习 第2章 常用逻辑用语（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 常用逻辑用语
一．选择题（共6小题）
1．命题“ x0∈R，”的否定是（　　）
A． x0∈R，
B． x∈R，x2+x+1＜0
C． x0∈R，
D． x∈R，x2+x+1≤0
2．已知直线l1：ax+y+6＝0与直线，则“l1∥l2”是“a＝﹣1”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p： x∈R，|x+1|＞x，则￢p为（　　）
A． x∈R，|x+1|＞x B． x R，|x+1|≤x
C． x∈R，|x+1|≤x D． x∈R，|x+1|≤x
4．命题“ x＜0，x2+1＞x3”的否定是（　　）
A． x≥0，x2+1≤x3 B． x＜0，x2+1≤x3
C． x＜0，x2+1≤x3 D． x≥0，x2+1≤x3
5．在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）
A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形
B．在一元二次方程中，p：ax2+bx+c＝0有实数根，q：b2﹣4ac≥0
C．p：a∈P∩Q，q：a∈P
D．p：a P∪Q，q：a P
6．命题“ x∈R，x2﹣4x﹣5＜0”的否定是（　　）
A． x∈R，x2﹣4x﹣5≥0 B． x R，x2﹣4x﹣5≥0
C． x R，x2﹣4x﹣5≥0 D． x∈R，x2﹣4x﹣5≥0
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）＝x+1与是同一个函数
B．命题“ x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“ x∈R，x2+x+1＜0”
C．若函数的值域为[0，+∞），则实数k的取值范围是[4，+∞）
D．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是[0，4]
（多选）8．下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b＞0且c＞0，则
B．“a＞1”是“1”的充要条件
C．若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为（﹣1，2），则集合{x∈Z|﹣a＜x＜b}的子集个数为4
D．不等式kx2+kx+1＞0对一切实数x恒成立，则0＜k＜4
（多选）9．下列命题为假命题的是（　　）
A．命题“”的否定是“ x≤0，x2﹣5x+6≤0”
B．若函数f（x+1）的定义域为[1，4]，则函数f（x）的定义域为[2，5]
C．二次函数y＝x2﹣x﹣6的零点为（﹣2，0）和（3，0）
D．“a2＝b2”是“a＝b”的必要不充分条件
三．填空题（共4小题）
10．函数y＝[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.9]＝1，[﹣2.1]＝﹣3，[2]＝2，[﹣1]＝﹣1，请你写出一个使不等式[x]2﹣[x]﹣6＜0成立的充分不必要条件 　 　 ．
11．已知命题P： x∈[0，1]，x2﹣2x+a﹣2＞0，命题Q： x∈R，x2+ax+1≠0，若命题P，Q均为假命题．则实数a的取值范围是　 　 ．
12．若“ x∈[1，4]，使得a≥x2﹣4x+3”是真命题，则实数a的最小值是　 　 ．
13．已知m＞0，使得不等式﹣m＜x＜m成立的一个充分不必要条件是x2﹣2x﹣3＜0，则m的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知集合A＝{x|x2+6x＜7}，B＝{x|m＜x＜3m}．
（1）当时，求 R（A∪B）；
（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求正数m的取值范围．
15．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）若a＝0，求A∩B及 BA；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；
（3）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
期末复习 常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．命题“ x0∈R，”的否定是（　　）
A． x0∈R，
B． x∈R，x2+x+1＜0
C． x0∈R，
D． x∈R，x2+x+1≤0
【考点】求存在量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】D
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解．
【解答】解：量词命题的否定是改变量词，否定结论，
故“ x0∈R，”的否定是“ x∈R，x2+x+1≤0”．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
2．已知直线l1：ax+y+6＝0与直线，则“l1∥l2”是“a＝﹣1”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分不必要条件的判断；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】B
【分析】根据直线平行的等价条件求出a的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由l1∥l2，可得a2＝﹣a，解得a＝﹣1或a＝0，
当a＝﹣1时，l1：x﹣y﹣6＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，l1∥l2成立；
当a＝0时，l1：y+6＝0，l2：y+1＝0，l1∥l2成立；
所以l1∥l2 a＝﹣1或a＝0，
则“l1∥l2”是“a＝﹣1”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查直线平行的性质及充要条件的判定，属中档题．
3．已知命题p： x∈R，|x+1|＞x，则￢p为（　　）
A． x∈R，|x+1|＞x B． x R，|x+1|≤x
C． x∈R，|x+1|≤x D． x∈R，|x+1|≤x
【考点】求全称量词命题的否定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】D
【分析】根据题意，由全称量词命题的否定方法，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题p为全称量词命题，其否定为： x∈R，|x+1|≤x．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，注意全称量词命题与存在量词命题的关系，属于基础题．
4．命题“ x＜0，x2+1＞x3”的否定是（　　）
A． x≥0，x2+1≤x3 B． x＜0，x2+1≤x3
C． x＜0，x2+1≤x3 D． x≥0，x2+1≤x3
【考点】求存在量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】B
【分析】利用特称命题的否定形式回答即可．
【解答】解：“ x＜0，x2+1＞x3”的否定是“ x＜0，x2+1≤x3”．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
5．在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）
A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形
B．在一元二次方程中，p：ax2+bx+c＝0有实数根，q：b2﹣4ac≥0
C．p：a∈P∩Q，q：a∈P
D．p：a P∪Q，q：a P
【考点】必要不充分条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】A
【分析】根据集合的基本关系，利用韦恩图分析，即可判断．
【解答】解：对于A：三角形是等边三角形 三角形是等腰三角形，
三角形是等腰三角形无法推出三角形是等边三角形，
所以p是q的必要不充分条件，故A正确；
对于B：p：ax2+bx+c＝0有实数根 b2﹣4ac≥0，
即q：b2﹣4ac≥0；
又因为在一元二次方程中，判别式b2﹣4ac≥0≥0，即q：b2﹣4ac≥0 p：ax2+bx+c＝0有实数根，所以p是q的充要条件，故B错误；
对于C：因为p：a∈P∩Q q：a∈p；但是，q：a∈P不能推出，p：a∈P∩Q，
所以，p是q的充分不必要条件，故C错误；
对于D：因为q：a P不能推出p：a P∪Q，
p：a P∪Q q：a P；所以p是q的充分不必要条件，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
6．命题“ x∈R，x2﹣4x﹣5＜0”的否定是（　　）
A． x∈R，x2﹣4x﹣5≥0 B． x R，x2﹣4x﹣5≥0
C． x R，x2﹣4x﹣5≥0 D． x∈R，x2﹣4x﹣5≥0
【考点】求存在量词命题的否定．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】D
【分析】结合全称量词命题的否定即可求解．
【解答】解：命题“ x∈R，x2﹣4x﹣5＜0”的否定是命题“ x∈R，x2﹣4x﹣5≥0”．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全称量词命题的否定，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）＝x+1与是同一个函数
B．命题“ x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“ x∈R，x2+x+1＜0”
C．若函数的值域为[0，+∞），则实数k的取值范围是[4，+∞）
D．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是[0，4]
【考点】求存在量词命题的否定；判断两个函数是否为同一函数；函数的值域．
【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】通过分析函数定义域、存在量词命题的否定、二次函数的恒成立与值域条件，逐一判断选项对错．
【解答】解：选项A，f（x）＝x+1定义域为，定义域为[﹣1，+∞），
定义域不同，不是同一函数，A错误．
选项B，特称命题“”的否定为全称命题“”，B正确．
选项C，函数值域为[0，+∞），当k＝0时，f（x）＝1，值域不符；
当k≠0时，需k＞0且Δ＝k2﹣4k≥0，解得k≥4，C正确．
选项D，函数定义域为，则kx2+kx+1＞0恒成立．
当k＝0时，1＞0恒成立；当k≠0时，需k＞0且Δ＝k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4，
故k的取值范围是[0，4），D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查函数的概念、命题的否定、二次函数的性质，属于中档题．
（多选）8．下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b＞0且c＞0，则
B．“a＞1”是“1”的充要条件
C．若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为（﹣1，2），则集合{x∈Z|﹣a＜x＜b}的子集个数为4
D．不等式kx2+kx+1＞0对一切实数x恒成立，则0＜k＜4
【考点】充要条件的判断；等式与不等式的性质；解一元二次不等式．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；不等式；数学抽象．
【答案】AC
【分析】结合不等式性质检验选项A，结合充分必要条件的定义检验选项B；结合二次不等式与二次方程的转化关系检验选项C，举出反例检验选项D．
【解答】解：若a＞b＞0且c＞0，则a（b+c）﹣b（a+c）＝（a﹣b）c＞0，则a（b+c）＞b（a+c）＞0，
所以，A正确；
a＞1或a＜0，B错误；
不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为（﹣1，2），则x2﹣ax﹣b＝0的根为﹣1，2，
所以﹣1+2＝a，﹣1×2＝﹣b，即a＝1，b＝2，
集合{x∈Z|﹣a＜x＜b}＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，子集有4个，C正确；
当k＝0时，1＞0恒成立，D显然错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，不等式恒成立求解参数范围，充分必要条件的判断，二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题．
（多选）9．下列命题为假命题的是（　　）
A．命题“”的否定是“ x≤0，x2﹣5x+6≤0”
B．若函数f（x+1）的定义域为[1，4]，则函数f（x）的定义域为[2，5]
C．二次函数y＝x2﹣x﹣6的零点为（﹣2，0）和（3，0）
D．“a2＝b2”是“a＝b”的必要不充分条件
【考点】必要不充分条件的判断；求存在量词命题的否定；抽象函数的定义域；求函数的零点．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】AC
【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断A，根据抽象函数的定义域计算并判断B，根据函数零点的定义解方程判断C，根据充分性和必要性的概念判断D即可．
【解答】解：对于A，命题“”的否定是“ x＞0，x2﹣5x+6≤0”，故A为假命题；
对于B，若函数f（x+1）的定义域为[1，4]，即x∈[1，4]，
则x+1∈[2，5]，所以f（x）的定义域为[2，5]，故B为真命题；
对于C，令x2﹣x﹣6＝0，解得x＝﹣2或x＝3，所以y＝x2﹣x﹣6的零点为﹣2和3，故C为假命题；
对于D，若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，充分性不成立；若a＝b，则a2＝b2，必要性成立．
所以“a2＝b2”是“a＝b”的必要不充分条件，故D为真命题．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了存在量词命题，函数定义域的求解，函数零点的求解，充分条件，必要条件的判断，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．函数y＝[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.9]＝1，[﹣2.1]＝﹣3，[2]＝2，[﹣1]＝﹣1，请你写出一个使不等式[x]2﹣[x]﹣6＜0成立的充分不必要条件 　（0，3）　 ．
【考点】充分不必要条件的判断；解一元二次不等式．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】（0，3）（答案不唯一，只要是集合A＝[﹣1，3）的真子集对应的范围即可）．
【分析】先解不等式可得﹣2＜[x]＜3，从而可得x∈[﹣1，3），再利用充分条件与必要条件的定义判断即可．
【解答】解：因为[x]2﹣[x]﹣6＜0，所以（[x]+2）（[x]﹣3）＜0，解得﹣2＜[x]＜3，
因为[x]∈{﹣1，0，1，2}，所以x∈[﹣1，3），记集合A＝[﹣1，3），
则使不等式[x]2﹣[x]﹣6＜0成立的充分不必要条件应是集合A的真子集对应的范围，
如0＜x＜3即x∈（0，3）．
故答案为：（0，3），（答案不唯一，只要是集合A＝[﹣1，3）的真子集对应的范围即可）．
【点评】本题考查了充分，必要条件的应用，涉及到一元二次不等式的求解以及取整问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11．已知命题P： x∈[0，1]，x2﹣2x+a﹣2＞0，命题Q： x∈R，x2+ax+1≠0，若命题P，Q均为假命题．则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣2]∪{2}　 ．
【考点】全称量词命题真假的应用；存在量词命题真假的应用．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】（﹣∞，﹣2]∪{2}．
【分析】根据含量词命题的否定方法，对两个假命题进行否定，进而根据真命题的情况，列出参数不等式，求出结果即可．
【解答】解：因为命题P： x∈[0，1]，x2﹣2x+a﹣2＞0为假命题，
所以 x∈[0，1]，x2﹣2x+a﹣2≤0是真命题，
设f（x）＝x2﹣2x+a﹣2，可知函数图象开口向上，对称轴为x＝1，
所以函数在[0，1]上单调递减，
则当f（0）≤0，即a≤2时，
可得 x∈[0，1]，x2﹣2x+a﹣2≤0为真；
因为命题Q： x∈R，x2+ax+1≠0为假命题，
所以 x∈R，x2+ax+1＝0为真命题，
即方程x2+ax+1＝0有解，即Δ＝a2﹣4≥0，解得a≤﹣2或a≥2，
综上所述，当命题P，Q均为假命题时，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{2}．
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪{2}．
【点评】本题考查不等式恒成立及方程有解的问题，考查命题的真假问题，属中档题．
12．若“ x∈[1，4]，使得a≥x2﹣4x+3”是真命题，则实数a的最小值是　﹣1　 ．
【考点】存在量词命题真假的应用．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意有a≥（x2﹣4x+3）min，x∈[1，4]，利用二次函数的性质即可求得．
【解答】解：若“ x∈[1，4]，使得a≥x2﹣4x+3”是真命题，
则有a≥（x2﹣4x+3）min，x∈[1，4]，
又x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
故当x＝2时，x2﹣4x+3取得最小值﹣1，
所以a≥﹣1，则实数a的最小值是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查不等式有解问题的求解，属基础题．
13．已知m＞0，使得不等式﹣m＜x＜m成立的一个充分不必要条件是x2﹣2x﹣3＜0，则m的取值范围是 　{m|m≥3}　 ．
【考点】充分不必要条件的应用；解一元二次不等式．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】{m|m≥3}．
【分析】求出不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义求出范围．
【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，
因为不等式﹣m＜x＜m成立的一个充分不必要条件是x2﹣2x﹣3＜0，
依题意，（﹣1，3） （﹣m，m），则m≥3，此时﹣m≤﹣3＜﹣1，
所以m的取值范围是m≥3．
故答案为：{m|m≥3}．
【点评】本题主要考查了充分不必要条件的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知集合A＝{x|x2+6x＜7}，B＝{x|m＜x＜3m}．
（1）当时，求 R（A∪B）；
（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求正数m的取值范围．
【考点】充分不必要条件的应用；求集合的并集．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先求得A，B，再由并集运算求得A∪B，最后根据补集运算求得 R（A∪B）；
（2）根据条件判断出A，B的关系，列出不等式组求解出结果．
【解答】解：（1）因为A＝{x|（x+7）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣7＜x＜1}，
当时，，
所以，
故；
（2）因为m为正数，所以3m＞m，所以B≠ ，
若x∈B是x∈A的充分不必要条件，
依题意可得B A，则，
解得，所以正数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查了集合基本运算，集合包含关系的应用，属于基础题．
15．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）若a＝0，求A∩B及 BA；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；
（3）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】充分不必要条件的应用；集合的交并补混合运算．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）A∩B＝{x|﹣1≤x≤3}， BA＝{x|﹣2≤x＜﹣1或3＜x≤4}；
（2）；
（3）（﹣∞，﹣1]．
【分析】（1）利用交集运算和补集运算求解即可；
（2）利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
（3）把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围．
【解答】解：（1）当a＝0时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤3}， BA＝{x|﹣2≤x＜﹣1或3＜x≤4}；
（2）因为A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，
由A∪B＝B，得A B，
当A≠ 时，则，解得，
当A＝ 时，a﹣1＞3﹣2a，解得，
综上，，
故实数a的取值范围为；
（3）由x∈B是x∈A的充分不必要条件，可得集合B是集合A的真子集，
又A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，
则，或
解得：a≤﹣1或a＜﹣1，
综上：a≤﹣1，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题主要考查了集合基本运算，集合包含关系的应用，还考查了充分条件，必要条件的应用，属于中档题．
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