期末复习 4.2 对数（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 对数
一．选择题（共6小题）
1．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在_____年首次突破1×105PF．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）
A．2032 B．2033 C．2034 D．2035
2．计算的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．25
3．已知，则a＝（　　）
A．3 B．9 C．27 D．81
4．若x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，则x+3y的最小值为（　　）
A． B． C．12 D．16
5．对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[1]＝1，[﹣1.6]＝﹣2．已知，则S为（　　）
A．0 B．1 C．﹣2020 D．﹣2021
6．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（　　）
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）
A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（　　）
A．若a＞0，b＝2，则a0+b2＝4
B．若，b＝27，则log3a+log3b＝2
C．若，则a＞b
D．若a＞b＞0，c＜0，则
（多选）8．已知a＝log210，，则（　　）
A．ab＜0 B．4a 9b＝1
C． D．
（多选）9．下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝10
D．若a＞0且a≠1，am＝3，an＝2，则
三．填空题（共4小题）
10．若log2[log4（x+1）]＝1，则x＝　 　 ．
11．已知lg2＝a，10b＝3，则log62＝ 　 　 （结果用a、b表示）．
12．已知实数a，b满足lg（2a+3b）＝lga+lgb，则a+b的最小值为 　 　 ．
13．若对任意的x∈[2，8]，总存在y∈[1，2]，使得成立，则数m的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（1）已知，求的值；
（2）化简；
（3）．
15．计算求值．
（1）计算；
（2）已知2lg（m﹣4n）＝lg（2m）+lgn，求的值．
期末复习 对数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在_____年首次突破1×105PF．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）
A．2032 B．2033 C．2034 D．2035
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，列出不等式，再结合对数的运算法则，即可求解．
【解答】解：设2025年为第0年，算力为2250PF，
每年增长50%，则2250×（1.5）n＞105，即，
故n，
因此，n＝10，对应年份为2025+10＝2035年．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数运算求值，属于基础题．
2．计算的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．25
【考点】对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合指数、对手的运算法则，即可求解．
【解答】解：原式2+3+2﹣6＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．
3．已知，则a＝（　　）
A．3 B．9 C．27 D．81
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用换底公式转化，进行求解即可．
【解答】解：，
所以，则a5＝（35）3＝275，解得a＝27．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题．
4．若x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，则x+3y的最小值为（　　）
A． B． C．12 D．16
【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，
所以3x+y＞0，x＞0，y＞0，
所以ln（3x+y）＝lnx+lny＝lnxy，
所以3x+y＝xy，
所以，
所以，
当且仅当即x＝y＝4时取等号，
故x+3y的最小值为16．
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算性质，涉及到基本不等式的应用，属于基础题．
5．对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[1]＝1，[﹣1.6]＝﹣2．已知，则S为（　　）
A．0 B．1 C．﹣2020 D．﹣2021
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】C
【分析】利用取整函数的性质得到f（x）＝[x]+[﹣x]的取值情况，即可得到答案．
【解答】解：由题意设f（x）＝[x]+[﹣x]，
若x是整数，则f（x）＝[x]+[﹣x]＝x+（﹣x）＝0，
若x不是整数，则[x]＜x＜[x]+1，从而﹣[x]﹣1＜﹣x＜﹣[x]，故[﹣x]＝﹣[x]﹣1，这就得到f（x）＝[x]+[﹣x]＝﹣1，
因为lgx＝﹣lg，所以S＝f（lg1）+f（lg2）+...+f（lg2024），
在lg1，lg2，…，lg2024中恰有lg1，lg10，lg100，lg1000是整数，所以有2020个不是整数，
故f（lg1）+f（lg2）+...+f（lg2024）＝﹣1×2020＝﹣2020．
故选：C．
【点评】本题考查了函数取整的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
6．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（　　）
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）
A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用归纳可知，从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，解不等式，即可得出结论．
【解答】解：根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%，
截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率，
由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到2026年，其算力提升至2250×1.5PetaFLOPS，
到2027年，其算力提升至2250×1.52PetaFLOPS， ，
以此类推可知，
从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，
由，可得，
∴，
∴DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500PetaFLOPS．
故选：C．
【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（　　）
A．若a＞0，b＝2，则a0+b2＝4
B．若，b＝27，则log3a+log3b＝2
C．若，则a＞b
D．若a＞b＞0，c＜0，则
【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D．
【解答】解：对A，若a＞0，b＝2时，则a0+b2＝1+4＝5＞4，故A错误；
对B，若，b＝27时，log3a+log3b1+3＝2，故B正确；
对C，若，当a＝b＝1时，，但a＝b，命题不成立，故C错误；
对D，当a＞b＞0时，，又c＜0，所以，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查对数的运算及性质，不等式的性质，属于基础题．
（多选）8．已知a＝log210，，则（　　）
A．ab＜0 B．4a 9b＝1
C． D．
【考点】对数运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对数函数的单调性判断a，b符号可判断A．利用对数的运算计算可判断B，根据换底公式及对数的运算可判断CD．
【解答】解：对于A，，所以ab＜0，故A正确；
对于B，因为a＝log210，，
所以，故B正确；
对于C，因为a＝log210，，
所以，故C错误；
对于D，因为a＝log210，，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
（多选）9．下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝10
D．若a＞0且a≠1，am＝3，an＝2，则
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】结合指数幂及对数运算性质检验各选项即可判断．
【解答】解：，故A正确；
，故B正确；
（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝lg2（lg2+lg5）+lg50＝lg2+lg50＝lg100＝2，故C不正确；
由am＝3得m＝loga3，由an＝2得n＝log2，
则，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．若log2[log4（x+1）]＝1，则x＝　15　 ．
【考点】对数运算求值．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】15．
【分析】利用对数的运算性质计算即可．
【解答】解：由题意得，log4（x+1）＝2，所以x+1＝42，解得x＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题．
11．已知lg2＝a，10b＝3，则log62＝ 　　 （结果用a、b表示）．
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】利用指数与对数的互化求出b，再利用换底公式及对数运算法则计算作答．
【解答】解：由已知可得b＝lg3，又lg2＝a，
则由对数的换底公式可得：log62．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
12．已知实数a，b满足lg（2a+3b）＝lga+lgb，则a+b的最小值为 　　 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】a＞0，b＞0，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【解答】解：∵lg（2a+3b）＝lga+lgb，∴lg（2a+3b）＝lgab，a＞0，b＞0，
故2a+3b＝ab，两边同时除以ab，得，
故，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
【点评】本题考查对数运算，考查基本不等式，属于基础题．
13．若对任意的x∈[2，8]，总存在y∈[1，2]，使得成立，则数m的取值范围是 　　 ．
【考点】对数方程求解．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】设t＝log2x，则t∈[1，3]，由题意可得：对任意的t∈[1，3]，总存在y∈[1，2]，使得，又，又y∈[1，2]，2y+m∈[2+m，4+m]，则，则，然后求解即可．
【解答】解：设t＝log2x，
又x∈[2，8]，
即t∈[1，3]，
则对任意的t∈[1，3]，总存在y∈[1，2]，使得，
又当t∈[1，3]时，，
又当y∈[1，2]时，2y+m∈[2+m，4+m]，
则，
则，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了方程有解问题，重点考查了函数值域问题，属中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（1）已知，求的值；
（2）化简；
（3）．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）7；
（2）5；
（3）219．
【分析】（1）由即可求解；
（2）由指数和对数的运算性质即可求解；
（3）由根式与分数指数幂的转换结合指数的运算性质即可求解．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）lg4﹣2lg5
＝4+3﹣lg（4×25）＝4+3﹣2＝5；
（3）原式
＝2×22×33+2+1＝219．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，考查运算求解能力，是基础题．
15．计算求值．
（1）计算；
（2）已知2lg（m﹣4n）＝lg（2m）+lgn，求的值．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）16；
（2）．
【分析】（1）分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可；
（2）利用对数运算性质化简变形可求得答案．
【解答】解：（1）原式＝8+1+2×3+log189
＝15+log189+log182＝15+1＝16；
（2）由条件m＞4n＞0，．
由2lg（m﹣4n）＝lg（2m）+lgn，得lg（m﹣4n）2＝lg（2mn），
所以（m﹣4n）2＝2mn，化简得m2﹣10mn+16n2＝0，
所以（m﹣2n）（m﹣8n）＝0，
得m＝8n或m＝2n（舍去），
从而可得．
【点评】本题考查了对数以及有理数指数幂的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
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