期末复习 6.3 对数函数（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 对数函数
一．选择题（共6小题）
1．若a＝log34，b＝log2，c＝21.2，则a，b，c之间的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b
2．已知a＝3.10.2，b＝0.23.1，c＝log3.10.2，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
3．若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x
4．已知a∈R，“2a≥2”是“函数y＝logax在（0，+∞）上为减函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知关于x的函数在[﹣4，﹣3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤4 B．a＜4 C．a≤6 D．a＜6
6．已知，，，则下列正确的是（　　）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数，则以下说法正确的是（　　）
A． a∈R，使得f（x）为偶函数
B．若f（x）的定义域为R，则
C．若f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则a的取值取值范围是[1，+∞）
D．若f（x）的值域是（﹣∞，2]，则
（多选）8．已知函数y＝0.6x，y＝2x，y＝log0.8x，y＝log1.3x的部分图象如图所示，则（　　）
A．①是y＝0.6x的部分图象
B．②是y＝2x的部分图象
C．③是y＝log0.8x的部分图象
D．④是y＝log1.3x的部分图象
（多选）9．若logab＜0，则函数f（x）＝ax+b与g（x）＝logb（a﹣x）在同一坐标系内的大致图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
10．函数y＝lg（2x2﹣2x﹣4）的定义域为　 　 ．
11．函数的定义域为 　 　 ．
12．函数的定义域为　 　 ．
13．若函数f（x）＝log2（﹣x2+2ax+3）在区间[1，2]内单调递减，则a的取值范围是　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式．
15．已知函数f（x）＝log2（1+x）g（x）＝log2（1﹣x）．
（1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）求使得不等式f（x）﹣g（x）＞1成立的x的取值范围．
期末复习 对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．若a＝log34，b＝log2，c＝21.2，则a，b，c之间的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合函数的单调性即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：a＝log34∈（1，2），b＝log20，c＝21.2＞2，
故c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
2．已知a＝3.10.2，b＝0.23.1，c＝log3.10.2，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合函数单调性判断a，b，c的范围即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：a＝3.10.2＞1，b＝0.23.1∈（0，1），c＝log3.10.2＜0，
所以a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
3．若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用特殊值验证法，求解判断即可．
【解答】解：令x＝2，则3＝2+log22＝3+log3y＝5+log5z，
可得y＝1，z，
所以x＞y＞z．A可能正确；
当z＝1时，y＝9，x＝8，所以y＞x＞z，所以C可能正确；
z＝125时，y＝243，此时x＝64，满足y＞z＞x，所以D可能正确．
故选：B．
【点评】本题考查对数值的大小比较，特殊值方法的应用，是中档题．
4．已知a∈R，“2a≥2”是“函数y＝logax在（0，+∞）上为减函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；充分不必要条件的判断；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，即可求解．
【解答】解：若2a≥2，则a≥1，可知充分性不成立；
若函数y＝logax在（0，+∞）上为减函数，则0＜a＜1，所以2a≥2不成立，必要性不成立．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，属基础题．
5．已知关于x的函数在[﹣4，﹣3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤4 B．a＜4 C．a≤6 D．a＜6
【考点】由对数函数的单调性求解参数；求对数函数及对数型复合函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可．
【解答】解：因为在[﹣4，﹣3]上单调递增，
函数y＝x2+ax+a﹣1在[﹣4，﹣3]上单调递减，且x2+ax+a﹣1＞0对于x∈[﹣4，﹣3]恒成立，
则，解得a＜4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数函数与二次函数复合而成的复合函数单调性的应用，属于中档题．
6．已知，，，则下列正确的是（　　）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用根式运算及指数、对数函数单调性比较大小．
【解答】解：因为，，
且，即，
所以，即，
所以b＞a＞c．
故选：A．
【点评】本题考查了根式的运算与指数、对数函数的单调性应用问题，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数，则以下说法正确的是（　　）
A． a∈R，使得f（x）为偶函数
B．若f（x）的定义域为R，则
C．若f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则a的取值取值范围是[1，+∞）
D．若f（x）的值域是（﹣∞，2]，则
【考点】由对数函数的单调性求解参数；由定义域求解函数或参数；由值域求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用特殊值代入判断A即得；由函数定义域为R等价转化为对数真数恒大于零，即对应的一元二次不等式的判别式恒小于0判断B；令g（x）＝x2﹣2ax+2，则依题需使g（x）在（﹣∞，1）上递减且恒大于0，求出a的范围即可判断C；由求出a的值，即可判断D．
【解答】解：对于A，在中，取a＝0，则，
此时函数的定义域为R，且，即为偶函数，故A正确；
对于B，因f（x）的定义域为R，则x2﹣2ax+2＞0恒成立，
即Δ＝（﹣2a）2﹣8＜0，解得，故B正确；
对于C，令g（x）＝x2﹣2ax+2，因在定义域上单调递减，
故要使函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则需使g（x）＝x2﹣2ax+2在（﹣∞，1）上单调递减且恒大于0，
故有，解得，故C错误；
对于D，因f（x）的值域是（﹣∞，2]，即f（x）max＝2，
由复合函数的单调性可知，此时，
由g（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2知，
解得，即，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了复合函数性质的综合应用，属于中档题．
（多选）8．已知函数y＝0.6x，y＝2x，y＝log0.8x，y＝log1.3x的部分图象如图所示，则（　　）
A．①是y＝0.6x的部分图象
B．②是y＝2x的部分图象
C．③是y＝log0.8x的部分图象
D．④是y＝log1.3x的部分图象
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据指数、对数函数单调性逐项分析判断即可．
【解答】解：因为y＝0.6x在定义域R内单调递减，可知①符合，故A正确；
y＝2x在定义域R内单调递增，且当x趋近于负无穷时，函数y趋近于0，可知②符合，故B正确；
y＝log0.8x在定义域（0，+∞）内单调递减，可知④符合，故C错误；
y＝log1.3x在定义域（0，+∞）内单调递增，可知③符合，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
（多选）9．若logab＜0，则函数f（x）＝ax+b与g（x）＝logb（a﹣x）在同一坐标系内的大致图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．
【答案】BC
【分析】由logab＜0，分类可得a＞1，0＜a＜1两种情况讨论，函数f（x）＝ax+b与g（x）＝logb（a﹣x） 可分类讨论，a＞1时b∈（0，1）之间，分别对各个图象讨论，判断出所给的图象的真假；
当a∈（0，1）时，则b＞1，分别对各个图象讨论，判断出所给的图象的真假．
【解答】解：因为logab＜0，
由函数f（x）＝ax+b与g（x）＝logb（a﹣x）的解析式，可知：
当a＞1时，则0＜b＜1，即f（x）为y＝ax向上平移b个单位，且f（x）单调递增，排除B，D；
A选项中，由f（x）的图象知，b＞1，此时g（x）＝logb（a﹣x）在定义域（﹣∞，a）上单调递减，所以A不正确；
C选项中，由f（x）的图象知，1＞b＞0，此时g（x）＝logb（a﹣x）在定义域（﹣∞，a）上单调递减增，所以C正确；
当a∈（0，1）时，则b＞1，此时f（x）为y＝ax向上平移b个单位，且f（x）单调递减，排除A，C；
由B选项可知，f（x）为y＝ax向上平移b个单位，符合条件，g（x）＝logb（a﹣x）在定义域（﹣∞，a）上单调递减，符合条件，所以B正确；
D选项中，从图象f（x）可知b∈（0，1）的，不符合，所以D不正确．
故选：BC．
【点评】本题考查分类讨论的思想及函数的平行移动的性质的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．函数y＝lg（2x2﹣2x﹣4）的定义域为　（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）　 ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
【分析】由对数复合函数有意义即可列出不等式求解．
【解答】解：函数y＝lg（2x2﹣2x﹣4），
则2x2﹣2x﹣4＞0，解得x＜﹣1 或 x＞2．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
11．函数的定义域为 　（）　 ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件，列出使函数有意义的不等式组，即可求解．
【解答】解：函数，
则，解得，
故函数f（x）的定义域为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
12．函数的定义域为　（3，5）　 ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（3，5）．
【分析】根据分母不为0，根号内要大于等于0且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可得．
【解答】解：函数，
则解得3＜x＜5，
故函数f（x）的定义域为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
13．若函数f（x）＝log2（﹣x2+2ax+3）在区间[1，2]内单调递减，则a的取值范围是　（，1]　 ．
【考点】由对数函数的单调性求解参数．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】若函数f（x）＝log2（﹣x2+2ax+3）在区间[1，2]内单调递减，则函数t＝﹣x2+2ax+3在区间[1，2]内单调递减，且恒为正，即，解得a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝log2（﹣x2+2ax+3）在区间[1，2]内单调递减，
故函数t＝﹣x2+2ax+3在区间[1，2]内单调递减，且恒为正，
故，
解得：a∈（，1]，
故答案为：（，1]
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，二次函数的图象和性质，难度中档．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式．
【考点】由对数函数的最值求解参数；求对数函数及对数型复合函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）2或．
（2）答案详见解析．
【分析】（1）已知函数f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；
（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集．
【解答】解：（1）因为y＝logax在[a，2a]上为单调函数，
且函数y＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，
所以|loga（2a）﹣logaa|＝|loga2|＝1，
解得a＝2或．
（2）因为函数是（0，+∞）上的减函数，
所以，即，
当a＞1时，，原不等式解集为．
当0＜a＜1时，，原不等式解集为 ．
【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．
15．已知函数f（x）＝log2（1+x）g（x）＝log2（1﹣x）．
（1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）求使得不等式f（x）﹣g（x）＞1成立的x的取值范围．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|﹣1＜x＜1}；
（2）．
【分析】（1）根据对数的性质即可列不等式求解；
（2）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）由f（x）＝log2（1+x）g（x）＝log2（1﹣x），
可知f（x）﹣g（x）的定义域满足，解得﹣1＜x＜1，
故定义域为{x|﹣1＜x＜1}；
（2）f（x）﹣g（x）＝log2（1+x）﹣log2（1﹣x），
f（x）﹣g（x）＞1 log2（1+x）﹣log2（1﹣x）＞1 log2（1+x）＞log22（1﹣x），
则1+x＞2（1﹣x）＞0，解得．
故x的范围为．
【点评】本题考查复合函数定义域的求法，训练了对数不等式的解法，是基础题．
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