期末复习 8.1 二分法与求方程近似解（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 二分法与求方程近似解
一．选择题（共6小题）
1．已知x2+x﹣3＝0，则x3﹣4x+2＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1，8]＝1，[﹣1.9]＝﹣2．若函数y＝x﹣[x]﹣1+logax（a＞0，a≠1）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（3，4] B．（3，4） C．（4，5] D．[4，5）
3．若函数有4个零点，则正数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（　　）
A．（2，+∞） B．（1，2） C．（0，1） D．（﹣1，0）
5．若关于x的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
y 2025 11 ﹣5 8 ﹣10
则不一定包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
二．多选题（共3小题）
（多选）7．关于x的方程（x2﹣2x）2﹣2（2x﹣x2）+k＝0，下列命题正确的有（　　）
A．存在实数k，使得方程无实根
B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根
D．存在实数k，使方程恰有4个不同的实根
（多选）8．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足 x∈[1，+∞），2f（x）＝f（2x），且当x∈[1，2）时，f（x）＝﹣x2+3x﹣2，则下列结论正确的是（　　）
A．f（4）＝0
B．f（x）在[6，8]上单调递增
C．若方程f（x）﹣a＝0的实数根从小到大依次记为x1，x2，x3， ，且x1+x2＝12，则实数a的取值范围为
D．若方程bf（x）﹣2＝0在[3，16]上恰有4个实数根，则实数b的取值范围为（2，4）
（多选）9．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．现已知函数f（x），则（　　）
A．函数y＝f（x+1）﹣2a为奇函数
B．当a＞0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增
C．若方程f（x）＝0有实根，则a∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）
D．设定义域为R的函数g（x）关于（1，1）中心对称，若，且f（x）与g（x）的图象共有2026个交点，记为Ai（xi，yi）（i＝1，2，…，2026），则（x1+y1）+（x2+y2）+ +（x2026+y2026）的值为4052
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝|2x﹣a|（a＞1），则方程f（f（x））＝0的根的个数为　 　 ，其所有根之和的取值范围为　 　 （提示：函数在（1，+∞）上单调递增）．
11．二次函数y＝x2+（a﹣1）x+1（a＞0）只有一个零点，则不等式x2﹣8x﹣a≥0的解集为　 　 ．
12．关于x的方程|x﹣1|+|π﹣x|＝π﹣1的解集为 　 　 ．
13．已知函数，则方程f（x）＝1的解集是　 　 ；若g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（x）的零点个数为　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝x2﹣（m+1）x+m+1．
（1）若关于x的方程f（x）＝0一根大于0，一根小于0，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）＝0有两个大于﹣1的不等实根，求实数m的取值范围．
15．已知函数f（x）＝loga（2+x），g（x）＝loga（2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）当a＝4时，若h（x）＝f（x）+g（x）﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
期末复习 二分法与求方程近似解
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知x2+x﹣3＝0，则x3﹣4x+2＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】求函数的零点．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，x2+x﹣3＝0，变形可得x2﹣4＝﹣x﹣1，又由x3﹣4x+2＝x（x2﹣4）+2，变形计算可得答案．
【解答】解：根据题意，x2+x﹣3＝0，变形可得x2﹣4＝﹣x﹣1，
则x3﹣4x+2＝x（x2﹣4）+2＝﹣x（x﹣1）+2＝﹣（x2+x）+2＝﹣3+2＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查因式的分解，涉及代数式值的计算，属于基础题．
2．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1，8]＝1，[﹣1.9]＝﹣2．若函数y＝x﹣[x]﹣1+logax（a＞0，a≠1）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（3，4] B．（3，4） C．（4，5] D．[4，5）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】D
【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可．
【解答】解：易知函数y＝x﹣[x]﹣1+logax的零点即logax＝[x]+1﹣x的交点的横坐标，
对于函数，n∈N*，
显然y＝[x]+1﹣x＞0，
所以要符合题意需a＞1，如下图所示，：
四个交点应在区间（1，5），
即，解得a∈[4，5）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点、高斯函数的定义及性质，考查了转化思想及数形合思想，属于中档题．
3．若函数有4个零点，则正数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】利用零点存在性定理求出函数g（x）＝lnx+x的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围．
【解答】解：函数y＝lnx，y＝x在（0，+∞）上单调递增，
则函数g（x）＝lnx+x在（0，+∞）上单调递增，
而，g（1）＝1＞0，
则，使得g（x0）＝0函数f（x）在（0，+∞）上有1个零点，
由函数f（x）有4个零点，
得函数，﹣π≤x≤0有3个零点，
由﹣π≤x≤0，得，
则，
解得，
所以正数ω的取值范围是[．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点、一次函数、对数函数及三角函数的性质，属于中档题．
4．函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（　　）
A．（2，+∞） B．（1，2） C．（0，1） D．（﹣1，0）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知可检验f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，结合零点判定定理即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，
∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，
由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．
5．若关于x的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】将原问题转化为两个函数交点的问题，进一步转化为直线与圆的问题，然后考查临界情况即可求得实数t的取值范围．
【解答】解：由题意关于x的方程有且仅有两个不同的实数根，
可得1，即tx+4﹣2t，
原问题等价于函数与函数 y＝tx+4﹣2t＝t（x﹣2）+4有两个交点，表示坐标原点为圆心，2为半径的上半圆，
直线y＝kx+4﹣2k＝k（x﹣2）+4恒过定点（2，4），
考查临界情况：当直线与圆相切时，
圆心到直线tx﹣y+4﹣2t＝0的距离d2，解得t，
当直线过点（﹣2，0）时，直线的斜率为t1，故t的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，是中档题．
6．已知函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
y 2025 11 ﹣5 8 ﹣10
则不一定包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【考点】求解函数零点所在区间．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】利用零点存在性定理，逐项判断即可．
【解答】解：函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，
因为f（1）f（2）＞0，所以在（1，2）上f（x）不一定有零点；
因为f（2）f（3）＜0，所以在（2，3）上f（x）一定有零点；
因为f（3）f（4）＜0，所以在（3，4）上f（x）一定有零点；
因为f（4）f（5）＜0，所以在（4，5）上f（x）一定有零点．
故选：A．
【点评】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．关于x的方程（x2﹣2x）2﹣2（2x﹣x2）+k＝0，下列命题正确的有（　　）
A．存在实数k，使得方程无实根
B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根
D．存在实数k，使方程恰有4个不同的实根
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；分类讨论；分析法．
【答案】AB
【分析】利用换元法得令t＝x2﹣2x∈[﹣1，+∞），则原方程变为t2+2t+k＝0，所以得k＝﹣t2﹣2t，t∈[﹣1，+∞），分别判断两个方程解的情况即可．
【解答】解：令t＝x2﹣2x∈[﹣1，+∞），则原方程变为t2+2t+k＝0，所以得k＝﹣t2﹣2t，t∈[﹣1，+∞），
由k＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，知对称轴为t＝﹣1，开口向下的抛物线，
所以函数在[﹣1，+∞）上为减函数，
所以当k＞1时，k＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1的无解，
所以存在实数k，使得方程无解，所以A正确；
当k≤﹣1时，在[﹣1，+∞）上为有唯一的t使方程成立，
由t＝x2﹣2x∈[﹣1，+∞）的图象知方程可能有一解也可能有两解，
所以存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根．故B正确；
方程t＝x2﹣2x∈[﹣1，+∞）的图象知最多两解，所以可得原方程最多两解，所以不存在这样的实数k，使得方程有3个解或4个解，故C，D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了换元法解方程的思想，以及判断方程的根的个数问题．
（多选）8．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足 x∈[1，+∞），2f（x）＝f（2x），且当x∈[1，2）时，f（x）＝﹣x2+3x﹣2，则下列结论正确的是（　　）
A．f（4）＝0
B．f（x）在[6，8]上单调递增
C．若方程f（x）﹣a＝0的实数根从小到大依次记为x1，x2，x3， ，且x1+x2＝12，则实数a的取值范围为
D．若方程bf（x）﹣2＝0在[3，16]上恰有4个实数根，则实数b的取值范围为（2，4）
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的单调性．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据2f（x）＝f（2x）推导即可；
对于B，令，再结合已知区域的函数关系式即可求解；
对于C，画出函数y＝f（x）的图像，结合图像判断y＝a与y＝f（x）交点的位置，即可求出实数a的取值范围；
对于D，结合图像判断与y＝f（x）交点的位置，即可求出实数b的取值范围．
【解答】解：对于选项A，由于 x∈[1，+∞），2f（x）＝f（2x），因此f（4）＝2f（2）＝4f（1），
当x∈[1，2）时，函数f（x）＝﹣x2+3x﹣2，那么f（1）＝﹣1+3×1﹣2＝0，
所以f（4）＝0，因此选项A正确；
对于选项B，根据A知，f（2）＝0，因此当x∈[1，2]时，函数f（x）＝﹣x2+3x﹣2，
因此由x∈[6，8]，那么，故，
其开口向下，且对称轴为x＝6，因此函数f（x）在[6，8]上单调递减，因此选项B错误；
对于选项C，f（x）﹣a＝0的实数根可看作y＝f（x）与y＝a图象交点的横坐标，
根据题可作出y＝f（x）的图象如图所示，
若x1+x2＝12，那么x1，x2是y＝a与y＝f（x）在对称轴为x＝6对应区间上交点的横坐标，
因为，f（6）＝2f（3）＝1，所以，因此选项C正确；
对于选项D，同C分析，若bf（x）﹣2＝0在[3，16]上有4个实数根，
那么函数y＝f（x）与的图象有4个交点，由图知，则b的取值范围为（2，4），因此选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．
（多选）9．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．现已知函数f（x），则（　　）
A．函数y＝f（x+1）﹣2a为奇函数
B．当a＞0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增
C．若方程f（x）＝0有实根，则a∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）
D．设定义域为R的函数g（x）关于（1，1）中心对称，若，且f（x）与g（x）的图象共有2026个交点，记为Ai（xi，yi）（i＝1，2，…，2026），则（x1+y1）+（x2+y2）+ +（x2026+y2026）的值为4052
【考点】函数的零点与方程根的关系；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据题意改写函数得到新解析式即可判断；
对于B，可用特殊值法判断；
对于C，令f（x）＝0，写出a的解析式即可判断a的取值范围；
对于D，根据题意可知f（x）和g（x）关于（1，1）中心对称，所以交点关于（1，1）中心对称，即对称的横或纵坐标之和为2，由此得出答案．
【解答】解：对于A，，
由解析式可知是奇函数，故A正确；
对于B，特殊值法，f（2）＝2aa＝3a+1，
即f（2），
若0＜a＜2，则f（x）在（1，+∞）上不是单调递增，故B错误；
对于C，令f（x）＝axa＝0，
分离参数后a，（1﹣x2）∈（﹣∞，0）∪（0，1]，
故a，C正确；
对于D，由A可知，当时，f（x）关于（1，1）中心对称，且g（x）关于（1，1）中心对称，
所以这2026个交点关于（1，1）对称，
故（x1+x2+…+x2026）+（y1+y2+…+y2026）＝2026+2026＝4052，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了奇函数的性质、函数的对称性，考查了二次函数、反比例型函数的性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝|2x﹣a|（a＞1），则方程f（f（x））＝0的根的个数为　2　 ，其所有根之和的取值范围为　（0，+∞）　 （提示：函数在（1，+∞）上单调递增）．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】2；（0，+∞）．
【分析】令f（x）＝t，则t＝|2x﹣a|，由f（t）＝0，得t＝log2a，进而得t＞0，作出t＝|2x﹣a|的图像，利用数形结合即可求解；由t＝|2x﹣a|得2x＝a±log2a，即x1＝log2（a+log2a），x2＝log2（a﹣log2a），进而得，令，则x1+x2＝log2m，利用单调性得m的范围，进而求解．
【解答】解：令f（x）＝t，则t＝|2x﹣a|，所以f（t）＝0，由|2t﹣a|＝0 2t＝a t＝log2a，
因为a＞1，所以t＝log2a＞0，作出t＝|2x﹣a|的图像：
由图可知：t＝|2x﹣a|有两个交点，所以f（f（x））＝0的根的个数为2；
由t＝|2x﹣a|，有2x﹣a＝±t 2x＝a±t＝a±log2a，
所以x1＝log2（a+log2a），x2＝log2（a﹣log2a），
所以，
令，则x1+x2＝log2m，
由函数上单调递增，
所以g（x）＞g（1）＝1，即m＞1，
又y＝log2m在（1，+∞）单调递增，所以log2m＞log21＝0，
所以x1+x2＞0，所以x1+x2∈（0，+∞）．
故答案为：2；（0，+∞）．
【点评】本题考查函数零点问题，属于中档题．
11．二次函数y＝x2+（a﹣1）x+1（a＞0）只有一个零点，则不等式x2﹣8x﹣a≥0的解集为　　 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由函数的零点与方程的根的关系，结合一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：已知二次函数y＝x2+（a﹣1）x+1（a＞0）只有一个零点，
则Δ＝（a﹣1）2﹣4＝0，
又a＞0，
则a＝3，
则不等式x2﹣8x﹣3≥0的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，重点考查了一元二次不等式的解法，属中档题．
12．关于x的方程|x﹣1|+|π﹣x|＝π﹣1的解集为 　[1，π]　 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】[1，π]．
【分析】根据x的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可．
【解答】解：因为．
当x≥π时，令2x﹣1﹣π＝π﹣1，得x＝π；
当1＜x＜π时，|x﹣1|+|π﹣x|＝π﹣1恒成立；
当x≤1时，令1+π﹣2x＝π﹣1，得x＝1．
综上所述，方程|x﹣1|+|π﹣x|＝π﹣1的解集为[1，π]．
故答案为：[1，π]．
【点评】本题考查了函数与方程思想，考查了分类讨论思想，属于基础题．
13．已知函数，则方程f（x）＝1的解集是　{﹣1，}　 ；若g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（x）的零点个数为　3　 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】{﹣1，}；3．
【分析】第一个空直接求解即可；第二个空利用奇偶性结合单调性、零点存在性定理判断即可．
【解答】解：因为函数，
则或，解得，或x＝﹣1，
故f（x）＝1的解集为{﹣1，}；
显然g（x）为偶函数，所以只需研究x≥0时零点个数即可，
易知：x＞0时，g（x）＝x3﹣1+x，此时该函数在（0，+∞）上单调递增，
且g（1）＝1＞0，g（0）＝﹣1＜0，g（0）g（1）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上有一个零点；
g（0）＝0，所以g（x）在R上有三个零点．
故答案为：{﹣1，}；3．
【点评】本题考查函数的性质以及函数零点的判断方法，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝x2﹣（m+1）x+m+1．
（1）若关于x的方程f（x）＝0一根大于0，一根小于0，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）＝0有两个大于﹣1的不等实根，求实数m的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）m∈（﹣∞，﹣1）；
（2）．
【分析】（1）由韦达定可得两根之积m+1＜0，求解即可；
（2）由Δ＞0及韦达定理求解即可．
【解答】解：（1）由韦达定可得两根之积m+1＜0，
解得m＜﹣1，
故m∈（﹣∞，﹣1）；
（2）设两根分别为x1，x2，
则有x1+x2＝m+1，x1x2＝m+1，且x1＞﹣1，x2＞﹣1，
由题意可得Δ＝（m+1）（m﹣3）＞0，
且x1+1+x2+1＝m+1+2＞0，（x1+1）（x2+1）＝（m+1）+m+1+1＞0，
解得m＜﹣1或m＞3，
故．
【点评】本题考查了函数与方程思想、韦达定理的应用，属于基础题．
15．已知函数f（x）＝loga（2+x），g（x）＝loga（2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）当a＝4时，若h（x）＝f（x）+g（x）﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的奇偶性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣2，2）；
（2）奇函数，理由见解析；
（3）（﹣∞，1）．
【分析】（1）根据对数函数的定义域进行求解即可．
（2）根据函数的奇偶性的定义进行求解即可．
（3）首先通过化简求出h（x）的解析式，然后判断对数函数的单调性和值域，进而可求出m的范围．
【解答】解（1）根据题意，函数f（x）＝loga（2+x），g（x）＝loga（2﹣x），
则f（x）﹣g（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x），
必有，解可得﹣2＜x＜2，即函数f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣2，2），
（2）根据题意，函数f（x）﹣g（x）为奇函数，
理由如下：
，其定义域为（﹣2，2），
又由，
所以f（x）﹣g（x）是奇函数．
（3）根据题意，当a＝4时，，其定义域为（﹣2，2）．
对于，其定义域为（﹣2，2）．
且log4（4﹣x2）＝log4[4﹣（﹣x）2]，即函数为偶函数，
令t＝4﹣x2，易得t＝4﹣x2在（﹣2，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，所以0＜4﹣x2≤4．
而y＝log4t是单调递增的，所以函数在（﹣2，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减．
故．
要使h（x）有两个零点，即有两个解，
所以m＜1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，1）．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．
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