期末复习 5.3 函数的单调性（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
期末复习 函数的单调性
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（　　）
A．
B．y＝x|x|
C．
D．
2．下列函数中，既是奇函数又是定义域上减函数的是（　　）
A． B．y＝x|x| C． D．
3．函数y＝lg（10x﹣x2）的单调递增区间是（　　）
A．（0，5） B．（﹣∞，5） C．（5，10） D．（5，+∞）
4．已知定义域为R的函数f（x）， x1，x2∈R，x1＜x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则（　　）
A．f（3）＜f（π）＜f（2） B．f（π）＜f（3）＜f（2）
C．f（2）＜f（π）＜f（3） D．f（π）＜f（2）＜f（3）
5．已知函数，满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B． C． D．[﹣1，2]
6．已知函数则f（x）的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二．多选题（共3小题）
（多选）7．如图是函数y＝f（x），x∈[﹣4，3]的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在[﹣4，﹣1]∪[1，3]上单调递减
B．f（x）在[﹣1，1]上单调递增
C．f（x）在[﹣1，3]上有最大值3，有最小值﹣2
D．f（x）在区间（﹣4，1）上的最大值为3，最小值为﹣2
（多选）8．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的有（　　）
A．y＝﹣3x+2 B． C． D．y＝﹣|x|
（多选）9．下列函数中，在区间（﹣∞，2）上单调递减的是（　　）
A．f（x）＝|x﹣2| B．
C．h（x）＝ex﹣2 D．φ（x）＝ln（2﹣x）
三．填空题（共3小题）
10．已知函数，若f（x）在R上单调递减，则实数a的取值范围是　 　 ．
11．给定函数f（x）＝x+4，g（x）＝x2﹣2x， x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的最小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}，当x∈（﹣2，2）时，m（x）的最大值为　 　 ．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，且f（3）＝9，则不等式f（x）＞3x的解集为 　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数f（x）＝x2+ax+4．
（1）若a＝﹣2，求函数f（x）在[﹣2，2]上的值域；
（2）若不等式f（x）＞2x+1恒成立，求a的取值范围；
（3）已知f（x）在区间[﹣2，2]上单调，求f（x）的最小值f（x）min．
14．已知幂函数f（x）＝（3m2﹣7m+3） x3m﹣2在区间（0，+∞）上单调递减．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若（2a+1）﹣m＞（1﹣a）﹣m，求a的取值范围．
15．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝x2f（y）+y2f（x），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（2）＝2，求f（4）的值．
（3）若当x＞1时，有f（x）＜0恒成立，证明在（0，+∞）上单调递减．
期末复习 函数的单调性
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（　　）
A．
B．y＝x|x|
C．
D．
【考点】定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义及基础函数的单调性判断ABD；画出函数图象判断C．
【解答】解：对于A，函数在定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，A错误；
对于B，令y＝g（x）＝x|x|，其定义域为R，关于原点对称．
因为g（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数．
当x＞0时，g（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，g（x）＝﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，
又g（0）＝0，所以g（x）在R上单调递增，B正确；
对于C，函数的定义域为R，
由图可知，的图象既不关于y轴对称也不关于原点对称，是非奇非偶函数，C错误；
对于D，令，其定义域为R，关于原点对称．
因为 x∈R，t（﹣x）＝t（x），所以t（x）是偶函数，D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于中档题．
2．下列函数中，既是奇函数又是定义域上减函数的是（　　）
A． B．y＝x|x| C． D．
【考点】函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，是反比例函数，在其定义域上不具有单调性，不符合题意；
对于B，y＝x|x|，在其定义域上为增函数，不符合题意；
对于C，设f（x），f（），f（），该函数在其定义域上一定不是减函数，不符合题意；
对于D，y，是正比例函数，既是奇函数又是定义域上减函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
3．函数y＝lg（10x﹣x2）的单调递增区间是（　　）
A．（0，5） B．（﹣∞，5） C．（5，10） D．（5，+∞）
【考点】复合函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先利用对数函数的定义域得到0＜x＜10，再结合复合函数的性质求解单调区间即可．
【解答】解：根据题意，函数y＝lg（10x﹣x2），设t＝0x﹣x2，则y＝lnt，
由10x﹣x2＞0，解得0＜x＜10，即函数的定义域为（0，10），
由二次函数性质得y＝10x﹣x2在（0，5）上单调递增，在（5，10）上单调递减，
由对数函数性质得y＝lgx在（0，+∞）上单调递增，
则y＝lg（10x﹣x2）的单调递增区间是（0，5）．
故选：A．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
4．已知定义域为R的函数f（x）， x1，x2∈R，x1＜x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则（　　）
A．f（3）＜f（π）＜f（2） B．f（π）＜f（3）＜f（2）
C．f（2）＜f（π）＜f（3） D．f（π）＜f（2）＜f（3）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】分析可知f（x）是R上的减函数，结合单调性比较函数值的大小．
【解答】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足，对于 x1，x2∈R，x1＜x2，则x1﹣x2＜0，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，
由于x1﹣x2＜0，必有f（x1）＞f（x2），
故f（x）是R上的减函数，且π＞3＞2，
所以f（π）＜f（3）＜f（2）．
故选：B．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的判断方法，属于基础题．
5．已知函数，满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B． C． D．[﹣1，2]
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意可得函数在R上单调递增，列出不等式组求解即可．
【解答】解：由已知，f（x）在R上单调递增，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题主要考查由函数单调性求参数取值范围，属于基础题．
6．已知函数则f（x）的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】求函数的最值．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】数形结合，画出函数f（x）的图象即可求解．
【解答】解：根据题意，画出函数f（x）的图象如下：
由图可知，f（x）的最小值是f（0）＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查分段函数的图象与性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．如图是函数y＝f（x），x∈[﹣4，3]的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在[﹣4，﹣1]∪[1，3]上单调递减
B．f（x）在[﹣1，1]上单调递增
C．f（x）在[﹣1，3]上有最大值3，有最小值﹣2
D．f（x）在区间（﹣4，1）上的最大值为3，最小值为﹣2
【考点】函数的单调性；函数的最值．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】BCD
【分析】结合函数图象检验各选项即可求解．
【解答】解：结合函数图象可知，f（x）在[﹣4，﹣1]和[1，3]上单调递减，[﹣1，1]上单调递增，A错误，B正确；
结合函数图象可知，f（x）在[﹣1，3]上有最大值3，有最小值﹣2，C正确；
f（x）在区间（﹣4，1）上的最大值为3，最小值为﹣2，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数单调性及最值的求解，属于基础题．
（多选）8．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的有（　　）
A．y＝﹣3x+2 B． C． D．y＝﹣|x|
【考点】定义法求解函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝﹣3x+2，是正比例函数，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于B，y，是幂函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于C，y，是反比例函数，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于D，y＝﹣|x|，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
（多选）9．下列函数中，在区间（﹣∞，2）上单调递减的是（　　）
A．f（x）＝|x﹣2| B．
C．h（x）＝ex﹣2 D．φ（x）＝ln（2﹣x）
【考点】复合函数的单调性；函数图象的简单变换；函数的单调性与函数图象的特征．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，故A正确；
对于B，函数，由函数y向右平移2个单位得到，
故g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，故B错误；
对于C，函数y＝x﹣2在（﹣∞，2）上单调递增，函数y＝ex在R上单调递增，
所以函数h（x）＝ex﹣2在（﹣∞，2）上单调递增，故C错误；
对于D，函数y＝2﹣x在（﹣∞，2）上单调递减，函数y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，
所以函数φ（x）＝ln（2﹣x）在（﹣∞，2）上单调递减，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意函数单调性的判断方法，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．已知函数，若f（x）在R上单调递减，则实数a的取值范围是　　 ．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可．
【解答】解：因为函数在R上单调递减，
所以，即，解得，
故实数a的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查由函数单调性求参数取值范围，属于基础题．
11．给定函数f（x）＝x+4，g（x）＝x2﹣2x， x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的最小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}，当x∈（﹣2，2）时，m（x）的最大值为　3　 ．
【考点】求函数的最值；分段函数的应用．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】作出函数m（x）图象，数形结合即可解题．
【解答】解：令x+4≤x2﹣2x，
即x2﹣3x﹣4≥0，
解得x≤﹣1或x≥4，
令x2﹣2x＜x+4，
解得﹣1＜x＜4，
所以，
故函数m（x）的图象如图所示：
数形结合可知，当x∈（﹣2，2）时，m（x）max＝m（﹣1）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分段函数的应用，重点考查了数形结合的思想，属中档题．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，且f（3）＝9，则不等式f（x）＞3x的解集为 　（0，3）　 ．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（0，3）．
【分析】根据已知条件，推得，再结合函数的的单调性，即可求解．
【解答】解：不妨设x1＞x2＞0，
，
则x2f（x1）﹣x1f（x2）＜0，即，
设m（x），
则m（x1）＜m（x2），
故函数m（x）在（0，+∞）上单调递减，
f（3）＝9，
则m（3），
所以m（x）＞g（3），即0＜x＜3，
故不等式的解集为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【点评】本题主要考查函数的单调性的性质与判断，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数f（x）＝x2+ax+4．
（1）若a＝﹣2，求函数f（x）在[﹣2，2]上的值域；
（2）若不等式f（x）＞2x+1恒成立，求a的取值范围；
（3）已知f（x）在区间[﹣2，2]上单调，求f（x）的最小值f（x）min．
【考点】函数的单调性；一元二次不等式恒成立问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）[3，12]；
（2）（2﹣2，2+2）；
（3）f（x）min．
【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，不等式f（x）＞2x+1恒成立，即x2+（a﹣2）x+3＞0恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案；
（3）根据题意，先由二次函数的性质求出a的取值范围，进而分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，若a＝﹣2，则f（x）＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
若f∈[﹣2，2]，则3≤f（x）≤12，
即函数函数f（x）在[﹣2，2]上的值域为[3，12]；
（2）根据题意，不等式f（x）＞2x+1恒成立，即x2+（a﹣2）x+3＞0恒成立，
则有Δ＝（a﹣2）2﹣12＜0，解可得2﹣2a＜2+2，
即a的取值范围为（2﹣2，2+2）；
（3）根据题意，函数f（x）＝x2+ax+4，是对称轴为x的二次函数，
若f（x）在区间[﹣2，2]上单调，则有2或2，
解可得a≤﹣4或a≥4，
当a≤﹣4时，即2，f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，f（x）min＝f（2）＝8+2a，
当a≥4时，即2，f（x）在区间[﹣2，2]上单调递增，f（x）min＝f（﹣2）＝8﹣2a，
故f（x）min．
【点评】本题考查一元二次函数的单调性，涉及不等式的恒成立问题，属于中档题．
14．已知幂函数f（x）＝（3m2﹣7m+3） x3m﹣2在区间（0，+∞）上单调递减．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若（2a+1）﹣m＞（1﹣a）﹣m，求a的取值范围．
【考点】定义法求解函数的单调性；由函数的单调性求解函数或参数；求幂函数的解析式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）为奇函数；
（2）．
【分析】（1）由幂函数的定义可得3m2﹣7m+3＝1，结合单调性解出m的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性．
（2）由（1）得，由定义域和单调性可得答案．
【解答】解：（1）f（x）＝（3m2﹣7m+3） x3m﹣2在区间（0，+∞）上单调递减．
由幂函数的定义得3m2﹣7m+3＝1，3m﹣2＜0，
解得或m＝2，
故，则，
又为奇函数．
（2）由（1）得，因为函数在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，
当2a+1＜1﹣a＜0时，无解，舍去；
当0＜2a+1＜1﹣a时，解得；
当时，解得a＞1．
综上，a的取值范围是．
【点评】本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，属于基础题．
15．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝x2f（y）+y2f（x），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（2）＝2，求f（4）的值．
（3）若当x＞1时，有f（x）＜0恒成立，证明在（0，+∞）上单调递减．
【考点】定义法求解函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）0；
（2）16；
（3）证明见解析．
【分析】（1）利用赋值法求f（1）即可；
（2）利用赋值法求f（4）即可；
（3）利用单调性的定义证明．
【解答】解：（1）令x＝y＝1有f（1）＝f（1）+f（1），有f（1）＝0．
（2）令x＝y＝2有f（4）＝f（2×2）＝22f（2）+22f（2）＝16．
（3）证明：f（xy）＝x2f（y）+y2f（x）有，即g（xy）＝g（x）+g（y），
设x1＞x2＞0，有，即，
而，有，故g（x1）＜g（x2），
在（0，+∞）上单调递减．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查赋值法的应用，函数单调性的证明，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)