期末复习 5.1 函数的概念和图象（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 函数的概念和图象
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中f（x）与g（x）是同一函数的为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中，与函数f（x）＝|x﹣1|为同一函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．g（t）＝t﹣1，t＞1
3．下列各组函数中表示的不是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x2，g（t）＝t2
B．，
C．，
D．f（x）＝|x﹣1|，
4．函数的定义域是（　　）
A．（2，3] B．（﹣∞，2）∪（2，3）
C．（﹣∞，2）∪（2，3] D．（﹣∞，3]
5．若函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，则函数g（x）的定义域是（　　）
A．[0，2] B．[0，2） C．[0，1）∪（1，2] D．[0，4]
6．函数的定义域为（　　）
A．（2，4] B．（2，+∞） C．[4，+∞） D．（0，+∞）
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列函数f（x）与g（x）表示的不是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x0与g（x）＝1
B．f（x）＝x与
C．与
D．与g（x）＝x+3
（多选）8．下列各组中两个函数是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x2+2x﹣1，g（t）＝t2+2t﹣1
B．，g（x）＝x+1
C．，
D．f（x）＝|x﹣3|+1，
（多选）9．下列说法正确的有（　　）
A．和g（x）＝x有交点
B．函数f（x+1）的定义域为[﹣2，2），则函数f（x）的定义域为[﹣1，3）
C．函数的值域为（1，+∞）
D．关于x的不等式ax＞b（a＜﹣1）的解集为
三．填空题（共4小题）
10．函数的定义域为 　 　 ．
11．若定义在区间[a，b]（a＜b）上的函数值域也为[a，b]，则实数k的取值范围是　 　 ．
12．下列各组函数中，表示同一个函数的是 　 　 ．
①f（x）＝x0，g（x）＝1
②f（x）＝x2，
③，g（x）＝|x|
④，
13．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.7]＝2，[5]＝5，当x∈[0，3）时，函数y＝[x] x的值域为　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n] D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调增函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域是[2m，2n]，则称[m，n]是该函数的“翻倍区间”．
（1）证明：[1，2]是函数f（x）＝2x的一个“翻倍区间”；
（2）判断函数g（x）＝x3是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；
（3）已知函数有“翻倍区间”[m，n]，求实数a的取值范围．
15．已知函数的定义域为A，集合，C＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}．
（1）求（ RA）∩B；
（2）若集合B∩C＝C，求实数a的取值范围．
期末复习 函数的概念和图象
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中f（x）与g（x）是同一函数的为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】A选项得出g（x）＝|x|，从而判断f（x）与g（x）为同一函数；
BCD选项，通过求定义域即可判断是否为同一函数．
【解答】解：A．f（x）＝|x|，g（x）＝|x|，为同一函数，A正确；
B．f（x）的定义域为：{x|x≤﹣1或x≥0}，g（x）的定义域为：{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数，B错误；
C．f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数，C错误；
D．f（x）的定义域是R，g（x）的定义域为{x|x≠2}，不是同一函数，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的定义，是基础题．
2．下列函数中，与函数f（x）＝|x﹣1|为同一函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．g（t）＝t﹣1，t＞1
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】判断f（x）＝|x﹣1|与选项中的函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是．
【解答】解：A．f（t）＝|t﹣1|与f（x）＝|x﹣1|是同一函数，A正确；
B.与显然不是同一函数，B错误；
C.的定义域为：{x|x≠0}，f（x）＝|x﹣1|的定义域是R，定义域不同，不是同一函数，C错误；
D．f（x）＝|x﹣1|与g（t）＝t﹣1，t＞1的定义域不同，不是同一函数，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的定义，掌握判断两函数是否为同一函数的方法，是基础题．
3．下列各组函数中表示的不是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x2，g（t）＝t2
B．，
C．，
D．f（x）＝|x﹣1|，
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】解：对于A，函数f（x）＝x2，g（t）＝t2定义域都是R，对应关系也相同，所以是同一个函数；
对于B，函数f（x）定义域为{x|﹣2≤x≤2}，g（x）定义域为{x|﹣2≤x≤2}，
所以两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于C，函数f（x）的定义域为{x|x≥0}，g（x）的定义域为R，
所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于D，函数f（x）＝|x﹣1|，g（x），
所以两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数．
故选：C．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题．
4．函数的定义域是（　　）
A．（2，3] B．（﹣∞，2）∪（2，3）
C．（﹣∞，2）∪（2，3] D．（﹣∞，3]
【考点】简单函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】中，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：函数，
∵，解得x≤3且x≠2，
∴f（x）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3]．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
5．若函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，则函数g（x）的定义域是（　　）
A．[0，2] B．[0，2） C．[0，1）∪（1，2] D．[0，4]
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】函数g（x）有意义，只需0≤2x≤4，且x﹣1≠0，解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：由函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，
可得函数g（x）有意义，
只需0≤2x≤4，且x﹣1≠0，
解得0≤x≤2且x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意定义域的含义和分式的分母不为0，考查运算能力，属于基础题．
6．函数的定义域为（　　）
A．（2，4] B．（2，+∞） C．[4，+∞） D．（0，+∞）
【考点】简单函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解．
【解答】解：函数，则，解得2＜x≤4，
故函数f（x）的定义域为（2，4]．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列函数f（x）与g（x）表示的不是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x0与g（x）＝1
B．f（x）＝x与
C．与
D．与g（x）＝x+3
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是．
【解答】解：A．f（x）的定义域为：{x|x≠0}，g（x）＝1的定义域为R，不是同一函数；
B．f（x）＝x的定义域为R，g（x）的定义域为R，且对应关系相同，是同一函数；
C．f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；
D．f（x）的定义域是{x|x≠3}，g（x）的定义域是R，定义域不同，不是同一函数．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数的定义，是基础题．
（多选）8．下列各组中两个函数是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x2+2x﹣1，g（t）＝t2+2t﹣1
B．，g（x）＝x+1
C．，
D．f（x）＝|x﹣3|+1，
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可．
【解答】解：对于A，f（x）与g（t）只是表示自变量的字母不同，是同一函数；
对于B，f（x）需满足x≠1，g（x）中x可以等于1，所以不是同一函数；
对于C，f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），所以不是同一函数；
对于D，，显然f（x）＝g（x），所以是同一函数．
故选：AD．
【点评】本题考查同一函数的定义相关知识，属于基础题．
（多选）9．下列说法正确的有（　　）
A．和g（x）＝x有交点
B．函数f（x+1）的定义域为[﹣2，2），则函数f（x）的定义域为[﹣1，3）
C．函数的值域为（1，+∞）
D．关于x的不等式ax＞b（a＜﹣1）的解集为
【考点】简单函数的值域；判断两个函数是否为同一函数；抽象函数的定义域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】结合方程根的存在情况检验选项A；结合函数定义域的求法检验选项B；结合函数值域的求法检验选项C；结合一次不等式的求法检验选项D．
【解答】解：对于A，因为无实数根，则f（x）与g（x）无交点，故A错误；
对于B，令t＝x+1，则x＝t﹣1∈[﹣2，2），得到t∈[﹣1，3），即f（x）的定义域为[﹣1，3），故B正确；
对于C，当x＜0时，y＜0，故C错误；
对于D，由不等式性质可知，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了函数定义域，值域的求解，还考查了不等式的性质在不等式求解中的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．函数的定义域为 　{x|x≤1且x≠﹣2}　 ．
【考点】简单函数的定义域．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】{x|x≤1且x≠﹣2}．
【分析】由已知可得关于x的不等式组，求解得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x≤1且x≠﹣2．
∴函数的定义域为{x|x≤1且x≠﹣2}．
故答案为：{x|x≤1且x≠﹣2}．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
11．若定义在区间[a，b]（a＜b）上的函数值域也为[a，b]，则实数k的取值范围是　　 ．
【考点】函数的值域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由函数单调性，确定f（a）＝b，f（b）＝a，转化为，换元后得到，由λ的范围求出m的取值范围．
【解答】解：函数在定义域[﹣1，+∞）单调递减，
当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，a＜b，
故，，
两式相减得.，
所以，
即，
则，
令，得，
又，
因为，所以，
所以，
故实数k的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值域求解中的应用，属于中档题．
12．下列各组函数中，表示同一个函数的是 　③　 ．
①f（x）＝x0，g（x）＝1
②f（x）＝x2，
③，g（x）＝|x|
④，
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】③．
【分析】由已知结合函数的定义检验三要素即可判断．
【解答】解：①f（x）＝x0，的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝1的定义域为R，不是同一函数；
②f（x）＝x2定义域为R，g（x）x2的定义域为{x|x≠0}，不是同一函数；
③f（x）|x|定义域为R，g（x）＝|x|定义域为R，是同一函数；
④f（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域为{x|x≥1}，不是同一函数．
故答案为：③．
【点评】本题主要考查了函数的定义的应用，属于基础题．
13．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.7]＝2，[5]＝5，当x∈[0，3）时，函数y＝[x] x的值域为　{0}∪[1，2）∪[4，6）　 ．
【考点】函数的值域．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】{0}∪[1，2）∪[4，6）．
【分析】根据题意，分0≤x＜1，1≤x＜2和2≤x＜3，三种情况讨论，结合一次函数的性质，分别求得各段上函数的值域，即可得到答案．
【解答】解：因为[x]表示不超过实数x的最大整数，
又y＝[x] x，
所以当0≤x＜1时，可得[x]＝0，此时y＝0；
当1≤x＜2时，可得[x]＝1，此时y＝x，可得y∈[1，2）；
当2≤x＜3时，可得[x]＝2，此时y＝2x，可得y∈[4，6），
所以当x∈[0，3）时，函数y＝[x] x的值域为{0}∪[1，2）∪[4，6）．
故答案为：{0}∪[1，2）∪[4，6）．
【点评】本题考查分段函数的值域的求解，属中档题．
四．解答题（共2小题）
14．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n] D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调增函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域是[2m，2n]，则称[m，n]是该函数的“翻倍区间”．
（1）证明：[1，2]是函数f（x）＝2x的一个“翻倍区间”；
（2）判断函数g（x）＝x3是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；
（3）已知函数有“翻倍区间”[m，n]，求实数a的取值范围．
【考点】函数的值域；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】（1）由函数f（x）＝2x在[1，2]上单调增函数知，f（x）的值域为[2，4]，
所以[1，2]是函数f（x）＝2x的一个“翻倍区间”；
（2）存在，，，
（3）
【分析】（1）根据f（x）＝2x在[1，2]上的单调性和值域可证；
（2）根据“翻倍区间”的定义列方程组求解可得；
（3）转化为方程2x2+（2a﹣3）x+1＝0在（﹣∞，﹣a）上有两个不等实根或者在（﹣a，+∞）上有两个不等实根，利用二次函数性质求解可得．
【解答】解：（1）证明：由函数f（x）＝2x在[1，2]上单调增函数知，f（x）的值域为[2，4]，
所以[1，2]是函数f（x）＝2x的一个“翻倍区间”；
（2）假设g（x）存在一个“翻倍区间”[m，n]，
由g（x）是R上的单调增函数，有，
由m3＝2m解得m＝0或，
由n3＝2n可得n＝0或n，
由m＜n知所有“翻倍区间”为，，．
（3）由函数h（x）有“翻倍区间”[m，n]知，h（x）为[m，n]上的单调增函数，
而，可得﹣3a﹣1＜0，解得，
由②知，可得m，n是方程的两个根，
等价于方程在（﹣∞，﹣a）上有两个不等实根或者在（﹣a，+∞）上有两个不等实根，
即2x2+（2a﹣3）x+1＝0在（﹣∞，﹣a）上有两个不等实根或在（﹣a，+∞）上有两个不等实根，
则有或，
解得或或，
故实数a的取值范围为．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了二次方程根的分布，函数值域的求解，属于中档题．
15．已知函数的定义域为A，集合，C＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}．
（1）求（ RA）∩B；
（2）若集合B∩C＝C，求实数a的取值范围．
【考点】简单函数的定义域；集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算；分式不等式．
【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】（1）{x|﹣2＜x＜1或3≤x≤5}；
（2）（﹣1，2]∪（﹣∞，﹣2）．
【分析】（1）由函数f（x）的解析式，可得集合A中的元素，再求出得 RA中的元素，再求出（ RA）∩B中的元素；
（2）B∩C＝C，可得C B，分C＝ 和C≠ 两种情况讨论，求出a的范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为A＝{x|1≤x＜3}，
可得 RA＝{x|x≥3或x＜1}，
集合{x|﹣2＜x≤5}，
所以（ RA）∩B＝{x|﹣2＜x＜1或3≤x≤5}；
（2）C＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，因为B∩C＝C，可得C B，
当C＝ ，即a﹣1＞2a+1，可得a＜﹣2，此时满足C B；
当C≠ 时，则，解得﹣1＜a≤2，
综上所述：a的范围为（﹣1，2]∪（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题考查集合的运算性质的应用及分类讨论进行集合运算，属于基础题．
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