期末复习 5.4 函数的奇偶性（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 函数的奇偶性
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）为定义在区间[3﹣a，5]上的奇函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．8 D．无法确定
2．已知函数f（x）＝ax6+x3+bx2+c|x|+1，且f（2）＝4，则f（﹣2）＝（　　）
A．﹣12 B．﹣4 C．2 D．5
3．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　）
A． B． C． D．
4．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）
A．f（﹣2）＜f（π）＜f（﹣3） B．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
C．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（π） D．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（π）
5．已知函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，将之推广可得：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，下列函数中，图象关于点（1，1）成中心对称图形的是（　　）
A．f（x）＝x3﹣1 B．f（x）＝x3+1
C．f（x）＝（x+1）3﹣1 D．f（x）＝（x﹣1）3+1
6．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（1+m）成立，则实数m的取值范围（　　）
A．[﹣1，0） B．（0，1] C．（﹣∞，0） D．[﹣1，1]
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数y＝f（x+1）是R上的偶函数，且f（x）在[1，+∞）上单调递增，a＝f（log28），b＝f（﹣ln2），c＝f（eln2），则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
B．a，b，c的大小关系是：b＜c＜a
C．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减
D．关于x的不等式f（2x）＜f（x+1）解集为
（多选）8．若函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（2x﹣1）的图象关于点成中心对称，当x∈[1，2]时，f（x）＝log2x，则下列说法正确的是（　　）
A．f（2023）＝2
B．函数f（x）的值域为[0，2]
C．直线y＝1与函数f（x）的图象在区间[0，8]上有4个交点
D．f（1）+f（2）+f（3）+ +f（19）＝19
（多选）9．已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝1
B．若f（4）＝5，则f（1）＝2
C．f（x）是R上的减函数
D．若f（4）＝9，则不等式f（x2﹣2）＜f（3x）+4的解集是（﹣1，4）
三．填空题（共4小题）
10．若函数f（x）＝ax2+bx+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a+b＝　 　 ．
11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．若f（a）＝﹣3，则实数a＝ 　 　 ．
12．已知f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x﹣1，f（﹣2）＝ 　 　 ．
13．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，函数f（x）单调递减，则不等式的解集为　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）为定义在[﹣4，4]上的奇函数，且当0≤x≤4时，．
（1）当﹣4≤x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[0，4]上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）若f（2a+1）+f（2﹣5a）＞0，求实数a的取值范围．
15．给定函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的单调性并证明；
（3）若f（a﹣1）+f（2a）＜0，求实数a的取值范围．
期末复习 函数的奇偶性
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）为定义在区间[3﹣a，5]上的奇函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．8 D．无法确定
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质求解即可．
【解答】解：函数f（x）为定义在区间[3﹣a，5]上的奇函数，
奇函数的定义域关于原点对称，
∴3﹣a+5＝0，∴a＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
2．已知函数f（x）＝ax6+x3+bx2+c|x|+1，且f（2）＝4，则f（﹣2）＝（　　）
A．﹣12 B．﹣4 C．2 D．5
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知函数解析式结合f（2）＝4可得64a+4b+2c＝﹣5，然后把x＝﹣2代入即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝ax6+x3+bx2+c|x|+1，
所以f（2）＝64a+8+4b+2c+1＝4，
所以64a+4b+2c＝﹣5，
则f（﹣2）＝64a﹣8+4b+2c+1＝64a+4b+2c﹣7＝﹣12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
3．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性与周期性，化归转化，即可求解．
【解答】解：根据题意可得f（）＝f（）＝f（2）＝f（）＝5﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性，属基础题．
4．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）
A．f（﹣2）＜f（π）＜f（﹣3） B．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
C．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（π） D．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（π）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间[0，+∞）上，然后利用函数的单调性比较大小关系．
【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，
∴f（﹣3）＝f（3），f（﹣2）＝f（2）．
∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（π）＞f（3）＞f（2），
即f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查了偶函数的性质，以及函数的单调性的应用，一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小．
5．已知函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，将之推广可得：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，下列函数中，图象关于点（1，1）成中心对称图形的是（　　）
A．f（x）＝x3﹣1 B．f（x）＝x3+1
C．f（x）＝（x+1）3﹣1 D．f（x）＝（x﹣1）3+1
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合函数图象的奇偶性及题干信息检验各选项即可求解．
【解答】解：因为y＝x3为奇函数，图象关于原点对称，
则f（x）＝x3﹣1的图象关于（0，﹣1）对称，A错误；
f（x）＝x3+1的图象关于（0，1）对称，B错误；
f（x）＝（x+1）3﹣1的图象关于（1，﹣1）对称，C错误；
f（x）＝（x﹣1）3+1的图象关于（1，1）对称，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及对称性的判断，属于基础题．
6．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（1+m）成立，则实数m的取值范围（　　）
A．[﹣1，0） B．（0，1] C．（﹣∞，0） D．[﹣1，1]
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；数形结合法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质将不等式f（1﹣m）＜f（1+m）转化为f（|1﹣m|）＜f（|1+m|），再根据单调性可解得结果．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，
所以f（1﹣m）＜f（1+m）等价于f（|1﹣m|）＜f（|1+m|），
因为当x∈[0，2]时，f（x）单调递减，
所以0≤|1+m|＜|1﹣m|≤2，解得﹣1≤m＜0．
故选：A．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，注意偶函数性质f（x）＝f（﹣x）＝f（|x|）恒成立在解题中的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数y＝f（x+1）是R上的偶函数，且f（x）在[1，+∞）上单调递增，a＝f（log28），b＝f（﹣ln2），c＝f（eln2），则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
B．a，b，c的大小关系是：b＜c＜a
C．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减
D．关于x的不等式f（2x）＜f（x+1）解集为
【考点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断f（x）的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D．
【解答】解：A中，由函数是y＝f（x+1）上的偶函数，所以函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，
则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，即f（x）＝f（2﹣x），A正确；
C中，因为f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，所以C正确；
D中，由于函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1]上单调递减，
故f（2x）＜f（x+1）可化为|1﹣2x|＜|1﹣（x+1）|，即|1﹣2x|＜|x|，
即（1﹣2x）2＜x2，解得，即f（2x）＜f（x+1）的解集为，D正确；
B中，由A选项分析，x∈（1，+∞）上，函数f（x）单调递增，且b＝f（﹣ln2）＝f（2+ln2），a＝f（log28）＝f（3），
c＝f（eln2）f（2），而3＞2+ln2＞2＞1，所以f（2）＜f（﹣ln2）＜f（3），
即c＜b＜a，所以B错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
（多选）8．若函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（2x﹣1）的图象关于点成中心对称，当x∈[1，2]时，f（x）＝log2x，则下列说法正确的是（　　）
A．f（2023）＝2
B．函数f（x）的值域为[0，2]
C．直线y＝1与函数f（x）的图象在区间[0，8]上有4个交点
D．f（1）+f（2）+f（3）+ +f（19）＝19
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得f（x）关于x＝1对称和关于（2，1）对称，由此推理计算即可判断各命题作答．
【解答】解：f（x）的定义域为R，由f（2x+1）为偶函数，得f（﹣2x+1）＝f（2x+1），
所以f（﹣x+1）＝f（x+1），所以f（﹣x﹣1）＝f（x+3），所以f（x）关于x＝1对称，
由f（2x﹣1）图象关于成中心对称，得f[2（﹣x）﹣1]+f[2（x+3）﹣1]＝2，
于是f（﹣2x﹣1）+f（2x+5）＝2，所以f（﹣x﹣1）+f（x+5）＝2，所以f（x）关于（2，1）对称，
则f（x+3）+f（x+5）＝2，所以f（x+1）+f（x+3）＝2，所以f（x+1）＝f（x+5），
所以f（x）＝f（x+4），则f（x）是周期为4的函数，
当x∈[1，2]时，f（x）＝log2x，
故f（2023）＝f（3）＝2﹣f（1）＝2﹣log21＝2，故A正确；
f（x）在x∈[0，4]的图象如下图所示：
故B正确；
直线y＝1与函数f（x）的图象在区间[0，8]上有5个交点，故C不正确；
当x∈[1，2]时，f（x）＝log2x，可得：f（1）＝log21＝0，
f（2）＝log22＝1，f（3）＝2﹣f（1）＝2﹣0＝2，
f（4）＝f（0）＝f（2）＝1，即f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，
因此f（1）+f（2）+...+f（19）＝4[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝16+3＝19，
故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数的图象与性质，考查函数的奇偶性、周期性的综合应用，属于中档题．
（多选）9．已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝1
B．若f（4）＝5，则f（1）＝2
C．f（x）是R上的减函数
D．若f（4）＝9，则不等式f（x2﹣2）＜f（3x）+4的解集是（﹣1，4）
【考点】抽象函数的奇偶性；定义法求解函数的单调性．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】通过对x，y合理赋值求解．
【解答】解：已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1，
对于A：令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）﹣1，解得f（0）＝1，A正确；
对于B：令x＝y＝2，则f（4）＝f（2）+f（2）﹣1＝5，解得f（2）＝3，
再令x＝y＝1，则f（2）＝f（1）+f（1）﹣1＝3，解得f（1）＝2，B正确；
对于C： x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，令x＝x1，y＝x2﹣x1，
则f（x2）＝f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1，即f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，
因为x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在R上是增函数，C错误；
对于D：令x＝y＝2，则f（4）＝f（2）+f（2）﹣1＝9，解得f（2）＝5，
所以f（3x）+4＝f（3x）+f（2）﹣1＝f（3x+2），
因为f（x）在R上是增函数，且f（x2﹣2）＜f（3x+2），
所以x2﹣2＜3x+2，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，
即不等式f（x2﹣2）＜f（3x）+4的解集是（﹣1，4），D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查抽象函数单调性，奇偶性相关知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．若函数f（x）＝ax2+bx+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a+b＝　　 ．
【考点】函数的奇偶性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据函数为偶函数，可得函数定义域关于原点对称可求解a，再根据偶函数的定义，可求解b，再求a+b即可．
【解答】解：因为f（x）＝ax2+bx+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，
所以a﹣1+2a＝0，即，
又因为f（﹣x）＝f（x），
所以a（﹣x）2+b（﹣x）+b＝ax2+bx+b，即﹣bx＝bx，b＝0，
所以a+b．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，属于基础题．
11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．若f（a）＝﹣3，则实数a＝ 　﹣3　 ．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣3．
【分析】先确定x＜0时，函数f（x）的解析式，再分类根据函数解析式列式求a．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，
设x＜0，则﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，
又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
所以﹣f（x）＝x2+2x f（x）＝﹣x2﹣2x，x＜0．
因为f（a）＝﹣3，
若a＞0，则a2﹣2a＝﹣3 a2﹣2a+3＝0，无解；
若a＜0，则﹣a2﹣2a＝﹣3 a2+2a﹣3＝0 （a+3）（a﹣1）＝0，所以a＝﹣3或a＝1（因为a＜0，故舍去）．
综上：a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
12．已知f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x﹣1，f（﹣2）＝ 　1　 ．
【考点】抽象函数的奇偶性；函数的值；奇函数偶函数的性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】利用函数性质得f（﹣2）＝﹣f（2），再代入，即可求解．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x﹣1，则f（2）＝4﹣4﹣1＝﹣1，
又由f（x）定义在R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
13．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，函数f（x）单调递减，则不等式的解集为　或x＞7}　 ．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】或x＞7}．
【分析】由已知可得f（x）在（0，+∞）上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为，则可得|log2（2x﹣5）|＞log29，再对数的性质要求得结果
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上递增，因为f（x）是定义在R上的偶函数，
所以由，得，
所以|log2（2x﹣5）|＞log29，所以log2（2x﹣5）＜﹣log29或log2（2x﹣5）＞log29，
所以或2x﹣5＞9，解得或x＞7．
故答案为：或x＞7}．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）为定义在[﹣4，4]上的奇函数，且当0≤x≤4时，．
（1）当﹣4≤x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[0，4]上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）若f（2a+1）+f（2﹣5a）＞0，求实数a的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）f（x）在[0，4]上单调递增，任取x1，x2∈[0，4]，且x1＜x2，
则，
因为x1，x2∈[0，4]，且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，
则，
即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在[0，4]上的单调递增；
（3）．
【分析】（1）结合已知区间上的函数解析式及奇函数定义即可求解；
（2）任取x1，x2∈[0，4]，且x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）＜f（x2）的大小即可求解；
（3）结合函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）当﹣4≤x＜0时，4≥﹣x＞0，则，
因为函数为奇函数，所以，
即﹣4≤x＜0时，；
（2）f（x）在[0，4]上的单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈[0，4]，且x1＜x2，
则，
因为x1，x2∈[0，4]，且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，
则，
即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[0，4]上的单调递增；
（3）f（x）在[0，4]上的单调递增，且函数f（x）为奇函数，故f（x）为[﹣4，4]上的增函数，
由f（2a+1）+f（2﹣5a）＞0，f（2a+1）＞﹣f（2﹣5a）＝f（5a﹣2），
于是4≥2a+1＞5a﹣2≥﹣4，解得a＜1，
故a的范围为[，1）．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
15．给定函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的单调性并证明；
（3）若f（a﹣1）+f（2a）＜0，求实数a的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）为奇函数；
（2）f（x）在[﹣1，1]上单调递增；任取﹣1≤x1＜x2≤1，则x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，10，10，
f（x1）﹣f（x2）
0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（3）[0，）．
【分析】（1）检验f（﹣x）与f（x）的关系即可求解；
（2）任取﹣1≤x1＜x2≤1，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可求解；
（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：（1）f（x）为奇函数，理由如下：
f（﹣x）f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）f（x）在[﹣1，1]上单调递增，证明如下：
任取﹣1≤x1＜x2≤1，则x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，10，10，
f（x1）﹣f（x2）
0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（3）若f（a﹣1）+f（2a）＜0，则f（a﹣1）＜﹣f（2a）＝f（﹣2a），
所以，解得0，＜
故a的范围为[0，）．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
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