期末复习 8.2 函数与数学模型（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 函数与数学模型
一．选择题（共6小题）
1．“空气质量指数AQI”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当AQI大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（　　）
A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时
2．某试验稻田中，有害昆虫的数量y（单位：千只）与时间x（单位：月）的关系为y＝a ex（e为自然对数的底，e＝2.71828…），其中系数a（a＞0）可以通过喷洒农药等措施控制．试验员制定了实时监控比值M，当比值M不超过e4时，稻田产量不受影响；当M超过e4时，稻田产量会受影响．预计稻田在x＝3时收割，为确保稻田产量不受有害昆虫影响，则实数a最大值为（　　）
A．e3 B．3e2 C． D．7e
3．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过400m3的部分 2.50元/m3
超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3
超过600m3的部分 4.50元/m3
若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（　　）
A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3
4．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
5．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365．可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过________天后，“进步”是“落后”的1000倍．（lg3≈0.477，lg11≈1.041）（　　）
A．31 B．33 C．35 D．37
6．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
二．多选题（共3小题）
（多选）7．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为P（x），则以下说法正确的是（　　）
A．P（x）取得最大值时每月产量为63台
B．边际利润函数的表达式为MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*）
C．利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值
D．边际利润函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
（多选）8．设f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1），当x∈（3，+∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（　　）
A．f（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢
B．g（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢
C．g（x）的增长速度最快，f（x）的增长速度最慢
D．f（x）的增长速度最快，g（x）的增长速度最慢
（多选）9．若物体原来的温度为θ0（单位：℃），环境温度为θ1（单位：℃），物体的温度冷却到θ（θ＞θ1，单位：℃）与需用时间t（单位：分钟）满足为正常数．现有一杯开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（e≈2.7，ln2≈0.7），则（　　）
A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为40℃
B．当时，这杯开水冷却到60℃大约需要14分钟
C．若f（60）＝10，则f（40）＝20
D．这杯水从100℃冷却到80℃所需时间比从80℃冷却到60℃所需时间短
三．填空题（共4小题）
10．在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率V（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为3cm的管道中，某气体的速率为400cm3/s，则该气体通过半径为5cm的管道时的速率为 　 　 ．（结果精确到1cm3/s）
11．某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为14mg/m3．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，其中N0为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，那么从现在起至少经过 　 　 分钟才能达到排放标准．（结果精确到整数，lg2≈0.3010、lg3≈0.4771、lg7≈0.8451）
12．某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（元/件）与月销售量x（件）之间的关系为P＝160﹣2x，生产x件的成本R＝500+30x．若每月获得的利润y不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为　 　 ．
13．网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过45°，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD＝0.8m，AB＝2.4m，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角α的度数至少为　 　 ．（精确到0.01）
四．解答题（共2小题）
14．在上海世纪公园的镜天湖一隅，每逢盛夏便有荷花开满水面，清香远溢，成为游人流连之处．但聪明的小明发觉赏荷仅能止步于岸，难以深入花丛之间．于是他萌生了一个设想：若能在镜天湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线OC上（图中OC与直径AB垂直，P与O，C不重合），通过栈道把PA，PB，PC，AB连接起来，使人行在其中，便能犹如置身花海之感．已知AB＝200m，∠PAB＝θ（单位：弧度制），设栈道总长度为y（单位：米）．
（1）求函数y＝f（θ）并写出其定义域；
（2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值（最终结果精确到0.01）．
15．随着科学技术不断进步，某企业致力于改善民众生活质量，生产智能小家电．已知该企业每年投入固定成本为500万元．当年产量为x万件时，平均每生产1万件智能小家电还需要额外投入y万元，
经测算，每件智能小家电的平均售价为80元，假设每年进入市场的小家电能够全部售出，且小家电最大产量为100万件．
（1）求企业的年利润z（万元）关于产量x（万件）的函数关系式；
（2）当产量为多少万件时，企业的年利润最大？并求最大年利润．
期末复习 函数与数学模型
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．“空气质量指数AQI”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当AQI大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（　　）
A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，求得分段函数y值小于等于200时的t的范围，即可确定该天适宜开展户外活动的时长．
【解答】解：某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数描述，
当AQI大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动，
令﹣10t+280≤200，解得t≥8，此时8≤t≤12，
令，解得t≤16，此时12＜t≤16，
综上，8≤t≤16，
所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时．
故选：C．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
2．某试验稻田中，有害昆虫的数量y（单位：千只）与时间x（单位：月）的关系为y＝a ex（e为自然对数的底，e＝2.71828…），其中系数a（a＞0）可以通过喷洒农药等措施控制．试验员制定了实时监控比值M，当比值M不超过e4时，稻田产量不受影响；当M超过e4时，稻田产量会受影响．预计稻田在x＝3时收割，为确保稻田产量不受有害昆虫影响，则实数a最大值为（　　）
A．e3 B．3e2 C． D．7e
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】先求得M关于x的表达式，利用导数求得M的最大值，由此列不等式求得a的最大值．
【解答】解：由题意得，
因此，M（x）在区间（0，1）和区间（2，+∞）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，
又
所以当x∈[0，3]时，M的最大值是，
故，所以a的最大值是7e．
故选：D．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
3．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过400m3的部分 2.50元/m3
超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3
超过600m3的部分 4.50元/m3
若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（　　）
A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可．
【解答】解：设天然气使用量为xm3，天然气费为f（x）元，
则，
由于f（400）＝1000＜1360＜f（600）＝1720，
则400＜x＜600，
所以3.6（x﹣400）+1000＝1360，解得x＝500，
所以天然气使用量为500m3．
故选：D．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
4．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意设，代入求解k，然后计算出B的体重，确定选项．
【解答】解：根据题意设，
因为当W＝2，f＝210，解得：，
所以当f＝70，则，
所以W＝54．
故选：D．
【点评】本题考查对数函数模型的应用，属于中档题．
5．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365．可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过________天后，“进步”是“落后”的1000倍．（lg3≈0.477，lg11≈1.041）（　　）
A．31 B．33 C．35 D．37
【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．
【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意列出若干天后的“进步”是“落后”的倍数表达式，结合题中数据，利用换底公式计算即可．
【解答】解：假设经过n天后，“进步”是“落后”的1000倍，
则有，
即n（lg11﹣lg9）≥3，
n（lg11﹣2lg3）≥3，
n（1.041﹣2×0.477）≥3，
．
故至少经过35天后，“进步”是“落后”的1000倍．
故选：C．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
6．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得．
【解答】解：依题意，设，
由w＝2，f＝210，
得，
则，
当f＝70时，，
所以W＝33×2＝54．
故选：D．
【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为P（x），则以下说法正确的是（　　）
A．P（x）取得最大值时每月产量为63台
B．边际利润函数的表达式为MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*）
C．利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值
D．边际利润函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】求出函数P（x），MP（x）的解析式，即可求解A，B，求出利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）的最大值，即可求解C，结合MP（x）的单调性，即可求解D．
【解答】解：对于A，P（x）＝R（x）﹣C（x）＝﹣20x2+2500x﹣4000，
二次函数P（x）的图象开口向下，对称轴为直线x，
∵x∈N*，
∴P（x）取得最大值时每月产量为63台或62台，故A错误，
对于B，MP（x）＝P（x+1）﹣P（x）＝[﹣20（x+1）2+2500（x+1）﹣4000]﹣（﹣20x2+2500x﹣4000）＝2480﹣40x（x∈N*），故B正确，
对于C，P（x）max＝P（62）＝P（63）＝74120，
∵函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，则MP（x）max＝MP（1）＝2440，故C正确，
对于D，因为函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题．
（多选）8．设f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1），当x∈（3，+∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（　　）
A．f（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢
B．g（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢
C．g（x）的增长速度最快，f（x）的增长速度最慢
D．f（x）的增长速度最快，g（x）的增长速度最慢
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】做出三个函数f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1）的图象，结合图象，即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1），
所以作出三个函数的图象如下：
通过图象可知三个函数f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1）中，
当x∈（3，+∞）时，g（x）＝3 3x增长速度最快，h（x）＝log2（x+1）的增长速度最慢，
故B正确，ACD错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的性质，属中档题．
（多选）9．若物体原来的温度为θ0（单位：℃），环境温度为θ1（单位：℃），物体的温度冷却到θ（θ＞θ1，单位：℃）与需用时间t（单位：分钟）满足为正常数．现有一杯开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（e≈2.7，ln2≈0.7），则（　　）
A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为40℃
B．当时，这杯开水冷却到60℃大约需要14分钟
C．若f（60）＝10，则f（40）＝20
D．这杯水从100℃冷却到80℃所需时间比从80℃冷却到60℃所需时间短
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据解析式中各量的意义，代入求解即可．
【解答】解：为正常数，
对于选项A，，
由，解得，
所以，
解得，故选项A错误；
对于选项B，，
，故选项B正确；
对于选项C，由f（60）＝10，得，即，
则，故选项C正确；
对于选项D，设这杯水从100℃冷却到80℃所需时间为t1分钟，
则，
设这杯水从80℃冷却到60℃所需时间为t2分钟，
则，
因为，
所以t1＜t2，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率V（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为3cm的管道中，某气体的速率为400cm3/s，则该气体通过半径为5cm的管道时的速率为 　3086cm3/s ．（结果精确到1cm3/s）
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3086cm3/s．
【分析】由题意可设V＝kr4，k＞0，由条件求出，将r＝5代入可求得答案．
【解答】解：由题意可设V＝kr4，k＞0，
又，即，
当r＝5时，，
即该气体通过半径为5cm的管道时的速率为3086cm3/s．
故答案为：3086cm3/s．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
11．某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为14mg/m3．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，其中N0为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，那么从现在起至少经过 　19　 分钟才能达到排放标准．（结果精确到整数，lg2≈0.3010、lg3≈0.4771、lg7≈0.8451）
【考点】根据实际问题选择函数类型；对数运算求值．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】19．
【分析】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可．
【解答】解：处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，其中N0为二氧化硫的初始浓度，
若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，
则，
又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为14mg/m3，
所以，
两边同时取对数，得，
即t（lg9﹣1）≤lg14﹣2，所以t（2lg3﹣1）≤lg2+lg7﹣2，
又lg2≈0.3010、lg3≈0.4771、lg7≈0.8451，解得，
又结果精确到整数，所以从现在起至少经过19分钟才能达到排放标准．
故答案为：19．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
12．某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（元/件）与月销售量x（件）之间的关系为P＝160﹣2x，生产x件的成本R＝500+30x．若每月获得的利润y不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为　20≤x≤45　 ．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模．
【答案】见试题解答内容
【分析】设该厂的月获利为y，则y＝（160﹣2x）x﹣（500+30x）＝﹣2x2+130x﹣500，解不等式﹣2x2+130x﹣500≥1300，即可得出结论．
【解答】解：设该厂月获得的利润为y元，
则y＝（160﹣2x） x﹣（500+30x）＝﹣2x2+130x﹣500（0＜x＜80）．
由题意，﹣2x2+130x﹣500≥1300，
解得：20≤x≤45，
∴当月产量在20至45件（包括20和45）之间时，月获得的利润不少于1300元．
故答案为：20≤x≤45．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了一元二次不等式的解法，是基础题．
13．网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过45°，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD＝0.8m，AB＝2.4m，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角α的度数至少为　43.05°　 ．（精确到0.01）
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】43.05°．
【分析】由题意可得h＝0.8sinα+2.4cosα≤2.3，再利用辅助角公式与反三角函数化简，最后借助计算器计算即可得．
【解答】解：记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD＝0.8m，AB＝2.4m，
过点D作DE⊥地面于点E，作平行于地面直线DF使得CF⊥DF，
则DE＝ADsinα，CF＝CDcosα＝ABcosα，
则冰箱倾斜后实际高度h＝DE+CF＝ADsinα+ABcosα＝0.8sinα+2.4cosα，
根据三角函数的恒等变换可得，
其中tanφ＝3，，则φ＝arctan3≈71.565°，
由题意可得时才能按要求运送入客户家中，
即，由，0°≤α≤45°，
故α+φ≥180°﹣65.388°＝114.612°，
则α≥114.61°﹣φ≈114.612°﹣71.565°＝43.047°≈43.05°，
则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角α的度数至少为43.05°．
故答案为：43.05°．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．在上海世纪公园的镜天湖一隅，每逢盛夏便有荷花开满水面，清香远溢，成为游人流连之处．但聪明的小明发觉赏荷仅能止步于岸，难以深入花丛之间．于是他萌生了一个设想：若能在镜天湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线OC上（图中OC与直径AB垂直，P与O，C不重合），通过栈道把PA，PB，PC，AB连接起来，使人行在其中，便能犹如置身花海之感．已知AB＝200m，∠PAB＝θ（单位：弧度制），设栈道总长度为y（单位：米）．
（1）求函数y＝f（θ）并写出其定义域；
（2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值（最终结果精确到0.01）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为2366.03万元．
【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达PA，PB，PO，进而求出PC，则可得栈道总长度f（θ）；
（2）利用导数研究函数f（θ）单调性求最值即可．
【解答】解：（1）已知AB＝200m，∠PAB＝θ（单位：弧度制），设栈道总长度为y（单位：米），
则，OC⊥AB，OA＝OB＝100，
则，PO＝100tanθ，
所以PC＝100﹣100tanθ，
所以栈道总长度为f（θ）＝PA+PB+PC+AB
；
（2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，
建造栈道的费用为，
则，
令F′（θ）＝0，得，
又，解得，
当时，F′（θ）＜0，当时，F′（θ）＞0，
则F（θ）在单调递减，在单调递增，
故，
此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为2366.03万元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
15．随着科学技术不断进步，某企业致力于改善民众生活质量，生产智能小家电．已知该企业每年投入固定成本为500万元．当年产量为x万件时，平均每生产1万件智能小家电还需要额外投入y万元，
经测算，每件智能小家电的平均售价为80元，假设每年进入市场的小家电能够全部售出，且小家电最大产量为100万件．
（1）求企业的年利润z（万元）关于产量x（万件）的函数关系式；
（2）当产量为多少万件时，企业的年利润最大？并求最大年利润．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）60万件，425万元．
【分析】（1）由z＝80x﹣xy﹣500求解即可；
（2）分段求出函数的最大值，即可得答案．
【解答】解：（1）根据已知可得z＝80x﹣xy﹣500，
；
（2）当0＜x≤40时，z＝﹣x2+60x﹣500，
当x＝30时，zmax＝400；
当x＞40时，，
因为300，
当且仅当，即x＝60时取等号，
此时zmax＝425，
又425＞400，
所以当产量为60万件时，企业得年利润最大，最大利润为425万元．
【点评】本题考查了函数的实际运用，考查了二次函数、基本不等式的运用，属于基础题．
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