期末复习 7.1 角与弧度（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 角与弧度
一．选择题（共6小题）
1．如图，圆O的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A．π B． C． D．
3．在扇形OAB中，已知扇形所在圆的半径为2，，则扇形OAB的面积为（　　）
A． B． C．π D．
4．若α是第二象限角，且，则（　　）
A． B． C． D．
5．半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（　　）
A．630cm B． C． D．
6．已知α、β均为第二象限角，则“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列结论中正确的有（　　）
A．直线倾斜角的范围是
B．若两条相交直线所成的角为α，其方向向量的夹角为θ，则α＝θ或α＝π﹣θ
C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为﹣1
D．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．240°π
B．1弧度的角比1°的角大
C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4
（多选）9．下列命题正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为54cm2
D．若α是第四象限角，则点P（sinα，tanα）在第四象限
三．填空题（共4小题）
10．已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形圆心角的弧度为 　 　 ．
11．弧长为4π的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 　 　 ．
12．若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为　 　 ．
13．已知扇形的弧所对的圆心角为60°，且半径为10cm，则该扇形的面积为 　 　 cm2．
四．解答题（共2小题）
14．一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15．
（1）求该扇形圆心角的弧度数；
（2）求该扇形的面积．
15．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
期末复习 角与弧度
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，圆O的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积公式；弧长公式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解．
【解答】解：圆O的半径为1，劣弧的长为，
所以α，
则S△AOBsin，S扇形AOBlr1，
所以阴影部分的面积为．
故选：B．
【点评】本题主要考查扇形面积和三角形面积公式的应用，属于基础题．
2．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A．π B． C． D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求出答案．
【解答】解：设扇形的圆心角为α，弧长为l，
根据题意得扇形的半径r3，
可得该扇形的面积Sαr232．
故选：B．
【点评】本题主要考查弧长公式、扇形的面积公式等知识，属于基础题．
3．在扇形OAB中，已知扇形所在圆的半径为2，，则扇形OAB的面积为（　　）
A． B． C．π D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】应用扇形面积公式求扇形OAB的面积．
【解答】解：因为扇形所在圆的半径为2，，
所以扇形的面积．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
4．若α是第二象限角，且，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】象限角、轴线角；同角正弦、余弦的商为正切．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的关系求出sinα，结合诱导公式得到结果．
【解答】解：∵α是第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0．
∵tanα，
则sinαcosα，
又sin2α+cos2α＝1，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
5．半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（　　）
A．630cm B． C． D．
【考点】弧长公式．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可．
【解答】解：圆心角210°化为弧度为，则弧长为．
故选：D．
【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题．
6．已知α、β均为第二象限角，则“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】象限角、轴线角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换以及充分性和必要性的应用求出结果．
【解答】解：由于α、β均为第二象限角，当sinα＞sinβ＞0，整理得sin2α＞sin2β，根据同角三角函数的关系式，所以1﹣cos2α＞1﹣cos2β，
由于cosα＜0，cosβ＜0，故cosα＞cosβ，即充分性成立，
当cosα＞cosβ，且α、β均为第二象限角，所以0＞cosα＞cosβ，故cos2α＜cos2β，
所以1﹣sin2α＜1﹣sin2β，即sin2α＞sin2β，
由于α、β均为第二象限角，所以sinα＞sinβ＞0，故必要性成立，
故“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：同角三角函数的关系式的变换，充分性和必要性的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列结论中正确的有（　　）
A．直线倾斜角的范围是
B．若两条相交直线所成的角为α，其方向向量的夹角为θ，则α＝θ或α＝π﹣θ
C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为﹣1
D．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应
【考点】弧度制；直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学抽象．
【答案】BD
【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案．
【解答】解：直线倾斜角的取值范围是[0，π），A错误．
B选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，α＝θ或α＝π﹣θ，B正确．
C选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为0，另一条斜率不存在，C错误．
D选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角，直线垂直的斜率关系的应用，属于基础题．
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．240°π
B．1弧度的角比1°的角大
C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4
【考点】弧长公式；弧度制．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用角度制与弧度制的定义以及它们之间的关系对ABC选项逐一分析判断即可求解，由已知先求出圆心角，然后结合弧长公式即可判断D．
【解答】解：对于A，240°＝240rad，故A正确；
对于B，根据弧度制与角度制的互化，可得1rad1°，故选项B正确；
对于C，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故选项C错误；
对于D，由题意得，
解得r＝1或r＝2，
当r＝1时，l＝4，α＝4，
当r＝2时，l＝2，α＝2，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了弧长公式，角的概念的理解，主要考查了角度制与弧度制的理解，属于基础题．
（多选）9．下列命题正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为54cm2
D．若α是第四象限角，则点P（sinα，tanα）在第四象限
【考点】扇形面积公式；命题的真假判断与应用；象限角、轴线角．
【专题】方程思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BC
【分析】对于A，利用同角三角函数关系式判断；对于B，利用象限角定义判断；对于C，利用扇形的面积判断；对于D，利用角在不同象限的符号判断．
【解答】解：对于A，∵，且，
∴cosα，
则tanα，故A错误；
对于B，若α是第二象限角，则2kα＜2kπ+π，k∈Z，
∴，k∈Z，
∴是第一或第三象限角，故B正确；
对于C，∵扇形的周长为C＝30cm，圆心角为α＝3rad，
∴30＝3r+2r，解得r＝6，
∴此扇形的面积为S54cm2，故C正确；
对于D，若α是第四象限角，则sinα＜0，tanα＜0，则点P（sinα，tanα）在第三象限，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查同角三角函数关系式、象限角定义、扇形的面积、角在不同象限的符号等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形圆心角的弧度为 　1　 ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据扇形面积公式直接求解即可．
【解答】解：设扇形圆心角的弧度为α，
半径为2的扇形面积为2，
则扇形面积，解得α＝1，即该扇形圆心角的弧度为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
11．弧长为4π的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 　24π　 ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据弧长公式求出半径，然后根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为R，
∵4πR，
∴R＝12，
∴扇形的面积24π．
故答案为：24π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，弧长公式的应用，基本知识的考查．
12．若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为　1　 ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】1．
【分析】由扇形面积及弧长公式可得答案．
【解答】解：设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为θ，弧长为l，
由题可得：．
故答案为：1．
【点评】本题考查了扇形面积及弧长公式，属于基础题．
13．已知扇形的弧所对的圆心角为60°，且半径为10cm，则该扇形的面积为 　　 cm2．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；对应思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值，利用扇形的面积公式即可求其面积．
【解答】解：因为扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝10cm，
则扇形的弧长l＝α rπ 10（cm），
扇形的面积为Slr10cm2．
故答案为：．
【点评】本题主要考查角度与弧度的互化，扇形的面积公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15．
（1）求该扇形圆心角的弧度数；
（2）求该扇形的面积．
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）1弧度．（2）．
【分析】（1）根据已知条件，结合扇形的周长公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）设扇形对应的圆心角对应的弧度数为α，
∵扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15，
∴15＝5+5+5α，解得α＝1．
（2）该扇形的面积为．
【点评】本题主要考查扇形的周长与面积公式，属于基础题．
15．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用弧长公式即可计算得解．
（2）由已知得l+2R＝20，可求S＝﹣（R﹣5）2+25，利用二次函数的图象即可得解．
（3）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积．
【解答】解：（1）l＝10（cm）．
（2）由已知得：l+2R＝20，
所以SlR（20﹣2R）R＝﹣（R﹣5）2+25．
所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2rad．
（3）设弓形面积为S弓，由题知lcm，
S弓＝S扇﹣S△222×sin （cm2）．
【点评】本题主要考查了弧长公式，二次函数的图象和性质，扇形面积，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
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