期末复习 6.1 幂函数（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 幂函数
一．选择题（共6小题）
1．已知函数y＝loga（3x﹣8）+27（a＞0，a≠1）的图像恒过定点P，P在幂函数f（x）图象上，则的值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
2．函数为幂函数，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1
3．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x2m+1，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的图象过点（0，0），（1，1）
C．f（x）是单调函数
D．f（x）无最值
4．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则不等式f（x）＜f（x2）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1）
C．（﹣∞，0） D．（1，+∞）
5．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（3）＝（　　）
A． B．9 C． D．
6．已知幂函数f（x）的图象经过点，则函数f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知幂函数f（x）的图象经过点，则（　　）
A．f（x）的定义域为[0，+∞）
B．f（x）的值域为[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）
（多选）8．若函数，且x1＜x2，则（　　）
A．（x1﹣x2）（f（x2）﹣f（x1））＜0
B．x1﹣x2＞f（x1）﹣f（x2）
C．f（x1）+x1＜f（x2）+x2
D．
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．若幂函数y＝f（x）过点，则f（x）＝x﹣1
B．函数表示幂函数
C．若幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）单调递增，则m＝3
D．幂函数的图象都过点（0，0）和（1，1）
三．填空题（共4小题）
10．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+2） xn过点，则m+n＝　 　 ．
11．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（x）＝　 　 ，f（9）＝　 　 ．
12．已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数m的值为 　 　 ．
13．若函数f（x）是幂函数，且满足，则f（4）的值为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知幂函数在（0，+∞）单调递减．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设．
①判断g（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；
②解关于x的不等式：g（x2﹣3x）≥g（﹣2）．
15．已知幂函数为偶函数，且f（2）＞f（3），m∈Z．
（1）求m；
（2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求a的取值范围．
期末复习 幂函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数y＝loga（3x﹣8）+27（a＞0，a≠1）的图像恒过定点P，P在幂函数f（x）图象上，则的值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【考点】求幂函数的解析式；对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据对数函数和幂函数的图象特点和定义求解即可．
【解答】解：令3x﹣8＝1，即x＝3时y＝27，点P的坐标为（3，27）．
设f（x）＝xα，
则3α＝27，所以α＝3，所以f（x）＝x3．
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数函数及幂函数性质的应用，属于基础题．
2．函数为幂函数，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1
【考点】幂函数的特征及辨识．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义求解．
【解答】解：由题意，m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或﹣1，
当m＝2时，f（x）＝x5；
当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查幂函数的定义，属于基础题．
3．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x2m+1，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的图象过点（0，0），（1，1）
C．f（x）是单调函数
D．f（x）无最值
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义求出m，再判断选项中的命题是否成立．
【解答】解：由幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x2m+1，得m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，f（x）＝x7，f（x）是奇函数，图象过点（0，0），（1，1），是单调递增函数，且无最值；
当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，是奇函数，图象过点（1，1），在定义域内不是单调函数，且无最值．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质，是基础题．
4．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则不等式f（x）＜f（x2）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1）
C．（﹣∞，0） D．（1，+∞）
【考点】幂函数的概念．
【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】D
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据f（x）的定义域和单调性求不等式f（x）＜f（x2）的解集．
【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，
由幂函数f（x）的图象过点（4，2），得2＝4α，
解得，
所以；
所以f（x）的定义域为[0，+∞），且单调递增；
又f（x）＜f（x2）等价于，
解得x＞1；
所以f（x）＜f（x2）的解集为（1，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（3）＝（　　）
A． B．9 C． D．
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】求出幂函数的解析式，再代入求值．
【解答】解：设f（x）＝xa，由y＝f（x）的图象经过点（4，2），得2＝4a，解得，即，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的定义，是基础题．
6．已知幂函数f（x）的图象经过点，则函数f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】幂函数图象特征与幂指数的关系；求幂函数的解析式．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用幂函数的定义和性质求解．
【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点，
∴2α，解得α＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2，
则函数f（x）的图象大致为：
故选：B．
【点评】本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知幂函数f（x）的图象经过点，则（　　）
A．f（x）的定义域为[0，+∞）
B．f（x）的值域为[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，图象过点（27，3），得27α＝3，
解得α，所以f（x），其定义域为[0，+∞），选项A正确；f（x）的值域为[0，+∞），选项B正确；
f（x）是非奇非偶函数，选项C错误；
f（x）的单调递增区间为[0，+∞），选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质，是基础题．
（多选）8．若函数，且x1＜x2，则（　　）
A．（x1﹣x2）（f（x2）﹣f（x1））＜0
B．x1﹣x2＞f（x1）﹣f（x2）
C．f（x1）+x1＜f（x2）+x2
D．
【考点】幂函数的特征及辨识．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】通过函数单调性、奇偶性及构造新函数、取特殊值的方法，逐一分析选项的正确性．
【解答】解：函数的定义域为，且为单调递增的奇函数．
分析选项A：因x1＜x2，故f（x1）＜f（x2），即x1﹣x2＜0，f（x2）﹣f（x1）＞0，则（x1﹣x2）（f（x2）﹣f（x1））＜0，A正确．
分析选项B：构造，取x1＝0，x2＝1，则g（0）＝g（1）＝0，不满足x1﹣x2＞f（x1）﹣f（x2），B错误．
分析选项C：构造，因f（x）与y＝x均单调递增，故h（x）单调递增，
由x1＜x2得h（x1）＜h（x2），即f（x1）+x1＜f（x2）+x2，C正确．
分析选项D：取x1＝﹣1，x2＝1，则，，此时等式成立，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查幂函数的单调性、奇偶性及函数凹凸性的判断，属于中档题．
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．若幂函数y＝f（x）过点，则f（x）＝x﹣1
B．函数表示幂函数
C．若幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）单调递增，则m＝3
D．幂函数的图象都过点（0，0）和（1，1）
【考点】求幂函数的解析式；由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可．
【解答】解：对于A，设幂函数为f（x）＝xα，
幂函数y＝f（x）过点，
则，所以f（x）＝x﹣1，所以A正确，
对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误，
对于C，因为幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）单调递增，
所以，解得m＝3，所以C正确，
对于D，因为幂函数f（x）＝x﹣1的图象不过（0，0），所以D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查幂函数的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+2） xn过点，则m+n＝　﹣1　 ．
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】结合幂函数定义可求m，结合已知点的坐标可求n，即可求解．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣2m+2） xn过点，
所以m2﹣2m+2＝1，解得m＝1，f（x）＝xn，则2n，
所以n＝﹣2，m+n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了幂函数定义的应用，属于基础题．
11．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（x）＝　　 ，f（9）＝　27　 ．
【考点】幂函数的概念．
【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】；27．
【分析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（9）的值．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）xα，其图象过点（2，2），得2α＝2，
解得α，所以f（x），f（9）33＝27．
故答案为：；27．
【点评】本题考查了待定系数法求幂函数的解析式，是基础题．
12．已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数m的值为 　2　 ．
【考点】由幂函数的解析式求解参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据函数为幂函数，可列式m2﹣m﹣1＝1，计算得m的值，验证后即得答案．
【解答】解：由题意函数是幂函数，
故m2﹣m﹣1＝1，即m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，y＝x﹣1为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意；
当m＝﹣1时，y＝x2，其图象经过第二象限，不符合题意；
故m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
13．若函数f（x）是幂函数，且满足，则f（4）的值为 　16　 ．
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】16．
【分析】设f（x）＝xa，根据
【解答】解：设f（x）＝xa，由，
可得，可得a＝2．
故f（x）＝x2，则f（4）＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知幂函数在（0，+∞）单调递减．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设．
①判断g（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；
②解关于x的不等式：g（x2﹣3x）≥g（﹣2）．
【考点】由幂函数的单调性求解参数；定义法求解函数的单调性；求幂函数的解析式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝x﹣1；
（2）①g（x）在（0，+∞）上的单调递减，证明如下：
2，
任取x1＞x2＞0，则0，1＞0，0，
则g（x1）﹣g（x2）0，
所以g（x1）＜g（x2），
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减；
②{x|x＜0或1≤x≤2或x＞3}．
【分析】（1）结合幂函数的单调性即可求解；
（2）①取x1＞x2＞0，利用作差法比较g（x1）与g（x2）的大小即可判断；
②结合g（x）的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：（1）幂函数在（0，+∞）单调递减，
所以k2﹣4k+3＜0，解得1＜k＜3，
故k＝2，f（x）＝x﹣1；
（2）①g（x）在（0，+∞）上的单调递减，证明如下：
2，
任取x1＞x2＞0，则0，1＞0，0，
则g（x1）﹣g（x2）0，
所以g（x1）＜g（x2），
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减；
②，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
，
因此g（x）是奇函数，
又因为g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
，
当x＞0时，g（x）＞2，由g（x）是奇函数，可得当x＜0时，g（x）＜﹣2，
当x2﹣3x＞0，即x＜0或x＞3时，不等式成立，
当x2﹣3x＜0，即0＜x＜3时，则由x2﹣3x≤﹣2，解得1≤x≤2，
综上不等式的解集为{x|x＜0或1≤x≤2或x＞3}．
【点评】本题主要考查了幂函数单调性的判断，还考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
15．已知幂函数为偶函数，且f（2）＞f（3），m∈Z．
（1）求m；
（2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求a的取值范围．
【考点】求解幂函数的奇偶性．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）先由幂函数单调性确定m的取值范围，再逐一验证整数m是否满足偶函数；
（2）根据幂函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为绝对值不等式，通过平方运算求解．
【解答】解：（1）因为是幂函数且f（2）＞f（3），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，
故m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4．又，则m＝1，2，3，
当m＝1时，f（x）＝x﹣3，是奇函数，不满足偶函数；
当m＝2时，f（x）＝x﹣4，是偶函数，满足；
当m＝3时，f（x）＝x﹣3，是奇函数，不满足．
所以m＝2．
（2）由（1）得f（x）＝x﹣4，其在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，且图象关于y轴对称，
由f（a+2）＜f（1﹣2a），可得0＜|a+2|＜|1﹣2a|，
平方得（a+2）2＜（1﹣2a）2，且a+2≠0，1﹣2a≠0，
展开并整理（a+2）2＜（1﹣2a）2得3a2﹣8a﹣3＞0，解得或a＞3，
结合a≠﹣2，，最终得或，
所以a的取值范围是．
【点评】本题主要考查幂函数的性质、函数奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
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