期末复习 7.3 三角函数的图象和性质（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
期末复习 三角函数的图象和性质
一．选择题（共6小题）
1．把函数的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于点（2a，0）对称，则a+b的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数f（x）＝sin（4x﹣φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴是直线，则φ的值为（　　）
A． B． C． D．
3．将函数g（x）＝2cos2（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数f（x）．若函数f（x）在区间[0，m]上恰有2个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，） B．[，）
C．[，） D．[，）
4．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，），T为f（x）的最小正周期，且，若f（x）在区间（0，π）上恰有3个极值点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（　　）
①；
②函数为奇函数；
③若函数f（x）在区间（0，m]上至少有4个零点，则；
④f（x）在区间上单调递增．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若F（x）＝f（x）g（x）的图象关于点对称，则ω可取的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
（多选）8．已知函数，则（　　）
A．
B．f（x）的一个对称中心为
C．f（x）的最小值为﹣2
D．f（x）的单调递增区间为
（多选）9．函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则
D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝3cos2x
三．填空题（共4小题）
10．已知函数的最小正周期为，，则等于　 　 ．
11．设0≤θ＜π，且y＝cos（x+θ）为奇函数，则θ＝　 　 ．
12．若函数在区间（0，2π）上恰有5个极值点，且在区间上单调，则ω的取值范围为　 　 ．
13．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足，，，则　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数图象的一条对称轴为．
（1）求ω的最小值；
（2）当ω取最小值时，若，求sin2α的值．
15．已知f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，
（1）若ω＝1，求函数的值域；
（2）已知，若函数y＝f（x）的最小正周期为π，且函数y＝f（x）在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．
期末复习 三角函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．把函数的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于点（2a，0）对称，则a+b的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】利用正弦曲线的对称性求出f（x）图象的对称中心为（kπ，﹣1），k∈Z，然后根据g（x）的图象关于点（2a，0）对称，结合函数图象的平移变换建立关系式，进而求得a+b的最小值．
【解答】解：根据，
令3xkπ（k∈Z），解得xkπ（k∈Z），
所以f（x）图象的对称中心为（kπ，﹣1），k∈Z，
根据题意，将g（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度，
再向下平移b个单位长度，可得函数f（x）的图象，
因为g（x）的图象关于点（2a，0）对称，
所以f（x）的图象关于点（a，﹣b）对称，可知﹣b＝﹣1，即b＝1，
结合a＞0，取k＝0，可得a的最小值为，所以a+b的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角三角函数图象的平移变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．
2．已知函数f（x）＝sin（4x﹣φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴是直线，则φ的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的图象的对称性，结合题意建立关于ω的方程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：若f（x）＝sin（4x﹣φ）图象的一条对称轴是直线，
则x时，f（x）取得最大值或最小值，
可得4φkπ（k∈Z），即φkπ（k∈Z），
结合0＜φ＜π，取k＝0，可得φ．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．
3．将函数g（x）＝2cos2（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数f（x）．若函数f（x）在区间[0，m]上恰有2个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，） B．[，）
C．[，） D．[，）
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式得到g（x）＝2cos2（x）＝cos（2x）+1，进而求得f（x），再根据余弦函数的性质即可求解结论．
【解答】解：函数g（x）＝2cos2（x）＝cos（2x）+1，向右平移个单位长度，得到函数f（x），
故f（x）＝cos[2（x）]+1＝cos（2x）+1，
令f（x）＝0，可得cos（2x）＝﹣1，故2x（2k+1）π，
因为0≤x≤m，可得2x2m，
由函数f（x）在区间[0，m]上恰有2个零点，可得3π≤2m5π，解得m．
故选：D．
【点评】本题主要考查二倍角公式以及余弦函数的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
4．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，），T为f（x）的最小正周期，且，若f（x）在区间（0，π）上恰有3个极值点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意可得为f（x）图象的一条对称轴，由此求出φ值，然后根据的取值范围，结合正弦曲线的性质可得，解之即可得出ω的取值范围．
【解答】解：根据题意，f（x）的最小正周期T，
因为，且，
所以x（），即x为f（x）图象的一条对称轴，
可得ωT+φφ＝kπ（k∈Z），解得（k∈Z），
结合，可得φ，所以f（x）＝2sin（ωx）．
当x∈（0，π）时，则∈，
若函数f（x）在区间（0，π）上恰有3个极值点，
则根据正弦函数的性质，可知π＜ωππ，
解得，故ω的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性、正弦函数图象与性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
5．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（　　）
①；
②函数为奇函数；
③若函数f（x）在区间（0，m]上至少有4个零点，则；
④f（x）在区间上单调递增．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及f（0）＞0求出a，由求出ω的取值，再根据周期确定ω的值，即可得到函数解析式，即可判断①，根据图象变换结合奇偶性判断②；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断③④．
【解答】解：因为，，，
因为函数的最大值为2，
由题意可知：，且a＞0，解得，
则，
又因为，即，
结合图象可知，解得ω＝2+8k，k∈Z，
因为，解得0＜ω＜4，
所以k＝0，ω＝2，可知，故①正确；
所以，
对于②：为奇函数，故②正确；
对于③：因为x∈（0，m]，则，
由题意可得：，解得，故③正确；
对于④：因为，则，此时f（x）在区间上不单调，故④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分函数性质求解函数解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
6．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，先求出函数的解析式，从而得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，
ωx+φ∈（φ，φ），
直线和为函数f（x）的两条对称轴，
∴φ＝2kπ，φ＝2kπ，k∈Z，且．
解得ω＝2且φ．
可得f（x）＝sin（2x），
则sin（）＝sin．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若F（x）＝f（x）g（x）的图象关于点对称，则ω可取的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据函数图象的平移变换，结合诱导公式算出g（x）＝cos（ωx），从而可得F（x）＝f（x）g（x）sin（2ωx），然后根据正弦曲线的对称性进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得g（x）＝f（x）＝sin[ω（x）]＝sin（ωx）＝cos（ωx），
所以F（x）＝f（x）g（x）＝sin（ωx）cos（ωx）sin（2ωx），
若F（x）的图象关于点对称，
则F（）＝sin（）＝0，可得kπ（k∈Z），即ω（3k﹣1），k∈Z，
取k＝3，得ω＝4；取k＝1，得ω＝1；取k＝2，得ω，可知A、C、D三项正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查函数图象的平移变换、二倍角的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
（多选）8．已知函数，则（　　）
A．
B．f（x）的一个对称中心为
C．f（x）的最小值为﹣2
D．f（x）的单调递增区间为
【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质逐项分析判断．
【解答】解：A选项，，A选项正确；
B选项，，则不是f（x）图象的对称中心，B选项错误；
C选项，当时，f（x）取得最小值为﹣2，C选项正确；
D选项，由，得，
因此f（x）的单调递增区间为，D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了正弦函数的图象性质，属于基础题．
（多选）9．函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则
D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝3cos2x
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的图象与性质求得f（x）的解析式，可判断出A项的正误；运用正弦曲线的对称性判断出B项的正误；根据2x的取值范围，结合正弦函数的图象与性质求出实数m满足的不等式，解之即可判断C项的正误，根据函数图象的平移变换对D项作出判断，进而可得本题答案．
【解答】解：由题意得函数的最大值为A＝3，，
即，结合、点位于函数单调递增的图象上，可得，
因为x时，f（x）＝0，且x位于f（x）的递减区间，
所以，可得，
由于f（x）的周期T满足，即，可得，
结合，取k＝0得ω＝2，故，所以A项正确；
根据，函数达到最小值，
可得是f（x）图象的一条对称轴，所以B项正确，
当x∈（0，m）时，，
令，可得，
要使在（0，m）上有且只有6个根，
则，解得，故C项正确，
将f（x）的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，所以D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式求法、三角函数图象的平移变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数的最小正周期为，，则等于　2　 ．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据周期得出ω，再根据结合，得出，最后代入计算求解．
【解答】解：函数的最小正周期为，
则，解得，
又因为得，
所以，即得，
又因为，所以，
因此，．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
11．设0≤θ＜π，且y＝cos（x+θ）为奇函数，则θ＝　　 ．
【考点】余弦函数的对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】根据奇函数的性质求解．
【解答】解：由题意f（x）＝cos（x+θ）为奇函数，且定义域为R，
则f（0）＝cosθ＝0，则，
又0≤θ＜π，则，
当时，是奇函数，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的奇偶性，是基础题．
12．若函数在区间（0，2π）上恰有5个极值点，且在区间上单调，则ω的取值范围为　　 ．
【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】由x∈（0，2π）求出，结合极值点个数求出ω的范围，再由求出的范围，算出左端点的范围，结合正弦函数的单调性得到不等式组，解得即可．
【解答】解：由x∈（0，2π），所以，
又函数f（x）在区间（0，2π）上恰有5个极值点，
所以，解得，
由，则，
又f（x）在区间上单调，
由，所以，
所以或，
解得．
综上，ω的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足，，，则　　 ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】作出辅助线，根据，得到方程，求出，，f（x）的最小正周期，分ω＞0和ω＜0，分别求出ω，φ，A，求出函数解析式，代入求值，得到答案．
【解答】解：如图，连接CD，OD，作DE垂直x轴于点E，
因为，所以四边形OBCD为平行四边形，
|OB|＝|CD|＝|OE|，
，
又|BD|2＝|BE|2+|ED|2＝4|OB|2+|OC|2＝14，
解得，，
由对称性得|OB|＝|EF|，f（x）的最小正周期，
若ω＞0，则，
由点在图象上，可知，
故，k∈Z，解得，k∈Z，
由得，，k∈Z，解得，
所以，k∈Z，
故；
若ω＜0，则，
由点在图象上，可知，故，k∈Z，解得，k∈Z，
由，得，k∈Z，解得，
所以，k∈Z，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数图象与性质的应用，属于难题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数图象的一条对称轴为．
（1）求ω的最小值；
（2）当ω取最小值时，若，求sin2α的值．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；求二倍角的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）ωmin＝1；
（2）．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得，然后根据正弦曲线的对称性列式求出ω的表达式，进而求出ω的最小值；
（2）由（1）可得，由算出，然后根据诱导公式、二倍角的余弦公式求出sin2α的值．
【解答】解：（1）由题意得f（x）
sin2ωx（2cos2ωx﹣1），
根据f（x）图象的一条对称轴为，
可得，所以．
结合ω＞0，可得实数ω的最小值为1；
（2）由（1）得ω＝1，，
所以．
可得sin2α＝﹣cos（2α）＝2sin2（α）﹣1．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15．已知f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，
（1）若ω＝1，求函数的值域；
（2）已知，若函数y＝f（x）的最小正周期为π，且函数y＝f（x）在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．
【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式可得，结合，可求值域；
（2）化简得，利用周期求得ω，求得函数的零点为，或，可求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，
若ω＝1，则，
因为，所以，所以，
所以，
所以函数的值域；
（2）f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，
又因为函数y＝f（x）的最小正周期为π，
所以，解得ω＝1，
所以．
令，
所以，
所以，或，
解得，或，
当k＝0时，有零点，，
当k＝1时，有零点，，
因为函数y＝f（x）在上恰有2个零点，所以，
所以实数m的取值范围为．
【点评】本题考查三角函数性质的应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)