期末复习 7.4 三角函数应用（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 三角函数应用
一．选择题（共6小题）
1．函数y＝2sin2x+sin2x的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
2．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．集合，则A∩B＝（　　）
A． B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（1，+∞）
4．设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．设集合，则集合A的元素个数为（　　）
A．1011 B．1012 C．1013 D．1014
二．多选题（共3小题）
（多选）7．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在△ABC中，BC＝1，BC边上的高等于tanA，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（　　）
A．AB2+AC2＝3
B．△ABC面积的最大值为
C．当时，
D．d的最大值为
（多选）8．中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为4，3，2，1．随着转动，以下说法正确的是（　　）
A．小平轮转2圈，大平轮转1圈
B．AB两点距离最大为18
C．AB两点距离最小为10
D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
（多选）9．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　）
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t）+2
三．填空题（共4小题）
10．已知函数y＝f（x）的表达式是f（x）＝cos2x+asinx，若对于任意x∈R都满足，则实数a的取值范围是 　 　 ．
11．已知圆M：（x﹣r）2+y2＝4r2（r＞0），在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，则r的取值范围为　 　 ．
12．函数最大值为 　 　 ．
13．设函数f（x）＝sinx，若对于任意，都存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，则m的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．设函数，．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）若函数g（x）在区间[0，m]上有最小值﹣1，求实数m的最小值．
15．已知函数f（x）＝cos4x+asin4x+bsinxcosx．
（1）当a＝﹣1，b＝﹣2时，求f（x）在上的最小值；
（2）当a＝b＝1时，方程f（x）＝m在内有两个不相等的实数根x1，x2．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：．
期末复习 三角函数应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．函数y＝2sin2x+sin2x的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值．
【解答】解：根据题意可知，，
故当，即时，函数y＝2sin2x+sin2x取最大值．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数，属于基础题．
2．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；分析法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可．
【解答】解：因为ω＞0，所以当时，
则有，
因为f（x）在区间内有最大值，但无最小值，
结合函数图象，得，
解得，
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
3．集合，则A∩B＝（　　）
A． B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（1，+∞）
【考点】三角函数的最值；求集合的交集；正弦函数的定义域和值域．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义，解不等式得到集合A包含的元素，根据正弦函数的值域化简集合B，然后利用交集定义算出答案．
【解答】解：由题意得A＝{x|1﹣x2≥0}＝{x|﹣1≤x≤1}，即A＝[﹣1，1]．
根据﹣1≤sinx≤1，可得2sinx+1∈[﹣1，3]，所以B＝{y|y＝2sinx+1}＝[﹣1，3]，
因此A B，可得A∩B＝A＝[﹣1，1]．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的定义域求法、正弦函数的值域、交集的运算法则等知识，属于基础题．
4．设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用三角函数的最值条件，求得cosθ的值．
【解答】解：由题意可得f（θ）＝sinθ﹣2cosθ（sinθcosθ），
∴sinθcosθ＝1．
再结合sin2θ+cos2θ＝1，
求得 sinθ，cosθ，
故选：C．
【点评】本题主要考查辅助角公式，三角函数的最值条件，属于中档题．
5．已知函数在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析．
【解答】解：当时，因为ω＞0，则，
因为函数f（x）在上存在最值，则，解得ω＞2，
当时，，
因为函数f（x）在上单调，
则，
所以其中k∈Z，解得，
所以，解得，
又因为ω＞0，则k∈{0，1，2}．
当k＝0时，；
当k＝1时，；
当k＝2时，．
又因为ω＞2，因此ω的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
6．设集合，则集合A的元素个数为（　　）
A．1011 B．1012 C．1013 D．1014
【考点】三角函数应用；集合的确定性、互异性、无序性；运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当0＜k≤1012，k∈Z时，的取值各不相同，当k≥2025时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为1013．
【解答】解：因为
，
当0＜k≤506，k∈Z时，，此时；
又因为1013为奇数，k∈Z，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当0＜k≤506，k∈Z时，集合A中x的取值会随着k的增大而增大，
当507≤k≤1012，k∈Z时，此时；
又因为1013为奇数，k∈Z，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当507≤k≤1012，k∈Z时，集合A中x的取值会随着k的增大而增大，
综上可得当0＜k≤1012，k∈Z时，集合A中x的取值会随着k的增大而增大，
所以当k＝1012时，集合A中有1012个元素；
当k＝1013时，易知：
，
即k＝1013时x的取值与k＝1012时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，k＝1013时并没有增加集合中的元素个数，
当1014≤k≤2024，k∈Z时，则1≤k﹣1013≤1011，，
即，
所以
，
所以当1014≤k≤2024，k∈Z时集合A中x的取值会随着k的增大而减少，且均为正数，
当k＝2025时，易知：
＝0，
可得当k≥2025，k∈Z时，集合A中的元素个数只增加了一个0，
所以可得集合A的元素个数为1013个．
故选：C．
【点评】本题考查了诱导公式以及集合元素的互异性，考查了转化思想，属于难题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在△ABC中，BC＝1，BC边上的高等于tanA，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（　　）
A．AB2+AC2＝3
B．△ABC面积的最大值为
C．当时，
D．d的最大值为
【考点】三角函数应用；解三角形．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由三角形等面积法及余弦定理可判断A，再由基本不等式得出cosA范围即可得出面积最大值判断B，再由题目条件得出三角形为等腰直角三角形，即可求出d最大值判断C，由C中结论及基本不等式判断D．
【解答】解：设角A，B，C所对的边长为a，b，c，则a＝1，
又BC边上的高等于tanA，
由三角形的面积公式可得，
所以，
又由余弦定理cosA，所以b2+c2﹣a2＝2，
可得b2+c2＝3，故A正确；
由，
又，当且仅当时取等，
所以，可得，当且仅当时取等，
所以，当且仅当时取等，B正确；
设AB，AC边上的中点分别为E，F，在上取一点M，在上取一点N，
由两点间线段最短可得，当且仅当M，N，E，F四点共线时取等，
所以，
又，
所以，解得，
所以c＝a＝1，，
所以，故C错误；
由前可知，，当且仅当时取等，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了三角形面积公式，余弦定理以及基本不等式等知识在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
（多选）8．中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为4，3，2，1．随着转动，以下说法正确的是（　　）
A．小平轮转2圈，大平轮转1圈
B．AB两点距离最大为18
C．AB两点距离最小为10
D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
【考点】三角函数应用．
【专题】应用题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用每个轮转过的弧长是相等，可判断A；利用建立平面直角坐标系，借助转过角度为变量，可表示两个动点的坐标，从而用两点间距离来求最小值和最大值，即可判断BC；利用勾股定理可判断D．
【解答】解：对于A，单位时间内，三个平轮的弧长满足l小＝l中＝l大，
而大、中、小平轮和立轮的半径分别为4，3，2，1，
因为小平轮转2圈，大平轮转1圈的弧长分别为l小＝2×2π×1＝4π，l大＝2π×2＝4π，
满足l小＝l大，
所以小平轮转2圈，大平轮正好转1圈，故A正确；
建立如图所示平面直角坐标系，
利用半径是2倍关系，则转过的角度是一半的关系，
可设A（2cos2θ，2sin2θ），则，
即B（12﹣4sinθ，4cosθ），
可得AB2＝（12﹣4sinθ﹣2cos2θ）2+（4cosθ﹣2sin2θ）2
＝[12﹣（4sinθ+2cos2θ）]2+（4cosθ﹣2sin2θ）2
＝144+（4sinθ+2cos2θ）2﹣24（4sinθ+2cos2θ）+16cos2θ+4sin22θ﹣16cosθsin2θ
＝144+16sin2θ+4cos22θ﹣96sinθ﹣48cos2θ+16sinθcos2θ+16cos2θ+4sin22θ﹣16cosθsin2θ
＝164﹣48×（1﹣2sin2θ）﹣112sinθ
＝116+96sin2θ﹣112sinθ，
令sinθ＝t∈[﹣1，1]，
可得AB2＝4（24t2﹣28t+29），t∈[﹣1，1]，
当时，AB取得最小值，
当t＝﹣1时，AB取得最大值为，
当t＝1时，AB取值为，不为最小值，故B正确，C错误；
对于D．立轮直径为2，小平轮直径为4，
所以最大值为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换，三角函数的性质，二次函数的性质以及勾股定理的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
（多选）9．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　）
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t）+2
【考点】三角函数应用；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由题意设出函数解析式h＝Asin（ωt+φ）+B，由最大值与最小值列式求得A与B的值，由周期求得ω，再由t＝0时，h＝0求解φ，得到函数解析式判断D；令h＝0求解t判断A；取t＝155秒求得h判断B；取t＝50秒求得h判断D．
【解答】解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|），
由题意，hmax＝6，hmin＝﹣2，
∴，解得，
∵T60，∴ω，则h＝4sin（t+φ）+2．
当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ，
又∵|φ|，∴φ．
h＝4sin（t）+2，故D正确；
令h＝4sin（t）+2＝6，∴sin（t）＝1，得t＝20秒，故A正确；
当t＝155秒时，h＝4sin（155）+2＝4sin5π+2＝2米，故B不正确；
当t＝50秒时，h＝4sin（50）+2＝4sin2＝﹣2，故C正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数模型的应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数y＝f（x）的表达式是f（x）＝cos2x+asinx，若对于任意x∈R都满足，则实数a的取值范围是 　[4，+∞）　 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；换元法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】[4，+∞）
【分析】求出f（）的值，再换元，分类讨论求出f（x）的最大值，由题意可得a的范围．
【解答】解：f（x）＝cos2x+asinx＝﹣2sin2x+asinx+1，
设t＝sinx∈[﹣1，1]，f（）＝﹣1+a＝a﹣1，
则g（t）＝﹣2t2+at+1＝﹣2（t）2+1，开口向下，对称轴t，
（i）当∈[﹣1，1]，即a∈[﹣4，4]时，g（t）的最大值为1a﹣1，解得a＝4∈[﹣4，4]，
（ii）当1时，即a＞4时，g（t）在[﹣1，1]上单调递增，则g（t）max＝g（1）＝a﹣1，
由题意a﹣1≤a﹣1，显然恒成立，这时a的范围为（4，+∞）；
当1时，即a＜﹣4，g（t）在[﹣1，1]上单调递减，则g（t）max＝g（﹣1）＝﹣a﹣1，
由题意﹣a﹣1＜a﹣1，解得a＞0，此时与a＜﹣4相矛盾，
综上所述满足条件的a的范围为[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．
【点评】本题考查换元法的应用及分类讨论的思想，属于基础题．
11．已知圆M：（x﹣r）2+y2＝4r2（r＞0），在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，则r的取值范围为　{r|r}　 ．
【考点】三角函数应用；点与圆的位置关系；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；直线与圆；运算求解．
【答案】{r|r}．
【分析】由正弦函数性质可得圆心（r，0）是函数f（x）的一个对称中心，结合对称性，根据函数f（x）在直线x＝r右边的第一个最值点在圆M内或在圆M上，第二个最值点在圆M外，列不等式组求解可得．
【解答】解：∵f（r）sinπ＝0，∴（r，0）是函数f（x）的一个对称中心，
圆M的圆心为（r，0），半径为2r，
由对称性知，要使f（x）的图象仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，
只需满足直线x＝r右边的第一个最值点在圆M内或在圆M上，第二个最值点在圆M外，
由正弦函数的性质知，函数f（x）的周期为T＝2r，
∴函数f（x）在直线x＝r右边的第一个最值点为（，），第二个最值点为（，），
∴，结合r＞0，解得r，
∴r的取值范围是{r|r}．
故答案为：{r|r}．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，也考查了圆的方程应用，是中档题．
12．函数最大值为 　　 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合二次函数求出最大值．
【解答】解：由题意知，f（x）＝3cosxcos2x
＝3cosx（2cos2x﹣1）
＝﹣cos2x+3cosx
，
因为﹣1≤cosx≤1，所以当cosx＝1时，f（x）取得最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的求值运算问题，是基础题．
13．设函数f（x）＝sinx，若对于任意，都存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，则m的最小值为 　　 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】由已知可得f（α）∈[0，]，将已知转化为存在β∈[0，m]，使得f（β）＝﹣f（α）∈[，0]，再结合正弦函数的图象与性质即可得m的取值范围，从而可得m的最小值．
【解答】解：函数f（x）＝sinx，因为x，
所以f（x）＝sinx∈[0，]，即f（α）∈[0，]，
又因为存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，
即存在β∈[0，m]，使得f（β）＝﹣f（α）∈[，0]，
由正弦函数的性质可得m，
所以m的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．设函数，．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）若函数g（x）在区间[0，m]上有最小值﹣1，求实数m的最小值．
【考点】三角函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（Ⅰ）（k，0）,k∈Z；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦函数的对称性即可求解；
（Ⅱ）先利用和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数取得最值的条件即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）令xkπ，k∈Z，
则x，k∈Z，
故函数的对称中心为（k，0），k∈Z；
（Ⅱ）4sin（x）sin（x）＝﹣4cosx（sinxcosx）
＝﹣2sinxcosx+2cos2x
sin2x+cos2x+1
＝2cos（2x）+1，
若函数g（x）在区间[0，m]上有最小值﹣1，即cos（2x）在[0，m]上取得最小值﹣1，
令2xπ，可得x，
故m的最小值为．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
15．已知函数f（x）＝cos4x+asin4x+bsinxcosx．
（1）当a＝﹣1，b＝﹣2时，求f（x）在上的最小值；
（2）当a＝b＝1时，方程f（x）＝m在内有两个不相等的实数根x1，x2．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：．
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），再利用余弦函数的单调性求解；
（2）（i）利用三角恒等变换化简f（x）得，令t＝sin2x∈（0，1），问题转化为存在两个不相等的t1，t2满足，利用二次函数的单调性求解；（ii）由（i），t1+t2＝1，即sin2x1+sin2x2＝1，利用反证法证明．
【解答】解：（1）当a＝﹣1，b＝﹣2时，f（x）＝cos4x﹣sin4x﹣2sinxcosx＝cos2x﹣sin2x；
由于，所以，
所以当，即时，f（x）取得最小值，最小值为．
（2）（i）当a＝b＝1时，f（x）＝cos4x+sin4x+sinxcosx，
所以
，
若，则，令t＝sin2x∈（0，1），则，
方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根x1，x2，
即存在两个不相等的t1，t2满足，其中t1＝sin2x1，t2＝sin2x2，
因为的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，
当t＝0或1时，y＝1，当时，，
所以，且t1+t2＝1．
证明：（ii）由（i），t1+t2＝1，即sin2x1+sin2x2＝1，
不妨设t1＜t2，则，即，
又，所以，则，故，
假设，则，即，
故，
所以，又sin2x1+sin2x2＝1，
所以，即，这与前面矛盾，故假设错误，
所以．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，反证法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
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