期末复习 4.1 指数（专项练习.含解析）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

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期末复习 指数
一．选择题（共6小题）
1．下列运算中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．某市生产总值连续两年持续增长，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（　　）
A． B．
C． D．1
3．若5m＝2，5n＝3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．某放射性物质在衰减过程中，其质量y与年数t满足关系式（m0为初始质量，m0＞0，k为常数，e≈2.718）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　）
A． B． C． D．
5．某厂去年的产值记为1，计划从今年起，每年的产值比上年增长8%，则从今年起到第十年，这个厂这十年的总产值为（　　）
A．1.089
B．1.0810
C．
D．
6．已知实数x，y满足，（其中e是自然对数的底数），则x3y＝（　　）
A．e5 B．e4 C．e3 D．e2
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列各式化简正确的是（　　）
A．
B．lg3+lg7＝1
C．
D．
（多选）8．下列表达式正确的是（　　）
A． B．
C．log23 log32＝1 D．lg2（lg2+lg5）+lg5＝1
（多选）9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题）
10．　 　 ．
11．已知x＞0，y＞0，化简：　 　 ．
12．　 　 ．
13．　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（1）求值；
（2）已知，求（a+a﹣1） （a2+a﹣2）的值．
15．计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
期末复习 指数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列运算中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】A：根据2与π的大小以及根式的性质化简即可判断；B：首先判断出a＜0，然后根据根式的性质化简即可判断；CD：利用有理数指数幂的运算性质化简即可判断．
【解答】解：A：因为2＜π，所以|2﹣π|＝π﹣2，故A错误，
B：因为0，所以a＜0，则a，故B错误，
C：因为（）8，故C正确，
D：因为x7，故D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数指数幂以及根式的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
2．某市生产总值连续两年持续增长，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（　　）
A． B．
C． D．1
【考点】有理数指数幂及根式；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解出即可．
【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，
则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，
解得x1，
故选：D．
【点评】本题考查了年平均增长率问题的求解，属于中档题．
3．若5m＝2，5n＝3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：若5m＝2，5n＝3，则．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算，属于基础题．
4．某放射性物质在衰减过程中，其质量y与年数t满足关系式（m0为初始质量，m0＞0，k为常数，e≈2.718）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　）
A． B． C． D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解．
【解答】解：由已知当t＝4，时，，所以，
再经过8年，即t＝12时，，
所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的．
故选：C．
【点评】本题考查指数运算，属于基础题．
5．某厂去年的产值记为1，计划从今年起，每年的产值比上年增长8%，则从今年起到第十年，这个厂这十年的总产值为（　　）
A．1.089
B．1.0810
C．
D．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】等差数列与等比数列．
【答案】C
【分析】根据题意，求出每年的产值构成数列，从今年起到第十年，组成等比数列，利用求和公式，求出这个厂的总产值．
【解答】解：由题意，第一年要比去年产值增加8%，那么第一年产值就是1+8%，即1.08，
第二年又比第一年增加8%，所以第二年产值是（1+0.08）（1+0.08）＝（1+0.08）2，
，…，
依此类推，第十年的产值是（1+0.08）10，
所以从今年起到第十年，这个厂的总产值为（1+0.08）+（1+0.08）2+…+（1+0.08）10．
故选：C．
【点评】本题考查了数列模型的构建与应用问题，考查了数列求和的计算能力与逻辑推理能力，是基础题．
6．已知实数x，y满足，（其中e是自然对数的底数），则x3y＝（　　）
A．e5 B．e4 C．e3 D．e2
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】对两边取对数，得到lnx3＝3﹣x3，再由相加整理得lnx3+x3ln，构造函数g（t）＝lnt+t，根据函数的单调性能求出结果．
【解答】解：对两边取对数，得到lnx3＝3﹣x3，
，
两式相加整理得lnx3+x3ln，
令g（t）＝lnt+t，g′（t）1，当t∈（0，+∞）时，g′（t）＞0，
∴g（t）＝lnt+t在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x3）＝g（），∴，
∴x3y＝e5．
故选：A．
【点评】本题考查指数、对数的性质、运算法则、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列各式化简正确的是（　　）
A．
B．lg3+lg7＝1
C．
D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值；对数运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简lg3+lg7即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断．
【解答】解：对于A，，A正确，
对于B，lg3+lg7＝lg21＞lg10＝1，B错误，
对于C，因为，，，，
所以，C正确，
对于D，因为log864＝2，
，
所以，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了指数运算性质，属于基础题．
（多选）8．下列表达式正确的是（　　）
A． B．
C．log23 log32＝1 D．lg2（lg2+lg5）+lg5＝1
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值；对数的运算性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由根式、有理数指数幂的运算判断A、B；由对数的运算性质判断C、D．
【解答】解：对于选项A，若a＜0时，，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2lg10+lg5＝lg2+lg5＝lg10＝1，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
（多选）9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据指数幂的运算逐一判断可得选项．
【解答】解：对于A：当x≤0时，，故A错；
对于B：，故B错；
对于C：；故C正确，
对于D：，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了指数运算性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．　256﹣i ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】256﹣i．
【分析】直接利用复数的运算法则求解即可．
【解答】解：原式可化简为：i2019＝i3＝﹣i，（i）8＝（）8（1+i）8＝24×（2i）4＝28×i4＝256，
（）50i，
i，
将以上结果代入原式，得：﹣i+256﹣i+i＝256﹣i．
因此，原式的值为256﹣i．
故答案为：256﹣i．
【点评】本题考查了复数的运算，是中档题，
11．已知x＞0，y＞0，化简：　　 ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用指数运算及根式运算求解即可．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，
所以4．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
12．　9　 ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值；对数运算求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】9．
【分析】借助对数运算法则与指数幂运算法则计算即可得．
【解答】解：由题意原式＝3+lg（2×50）
＝3+lg（2×50）+4＝7+lg100＝7+2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了对数的运算法则，是基础题．
13．　3　 ．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据题意，由指数幂和根式的运算性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，原式3．
故答案为：3．
【点评】本题考查指数幂的运算，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（1）求值；
（2）已知，求（a+a﹣1） （a2+a﹣2）的值．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）329．
【分析】（1）根据有理数指数幂的运算法则，求解即可；
（2）根据题意，利用平方法求解即可．
【解答】解：（1）原式100×1
100100
；
（2）因为3，所以a+a﹣1+2＝9，解得a+a﹣1＝7；
所以（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝49，解得a2+a﹣2＝47，
所以（a+a﹣1） （a2+a﹣2）＝7×47＝329．
【点评】本题考查了有理数指数幂的运算问题，是基础题．
15．计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）6；
（2）0．
【分析】（1）根据指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据指数幂运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式
＝2×3＝6；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查了指数运算性质，属于基础题．
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