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第二十四章 圆 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，A， B， C是⊙0上的三个点，若∠A0B=58° ，则∠ACB的度数为（ ）
A．58° B．61° C．32° D．29°
2．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为6，则直线AB于⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC=8，则OD的长为（ ）
A．3 B．4 C． 4.5 D．5
5． 用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
6．如图，在矩形 中， ， ，以点D为圆心， 为半径画弧，与矩形的边 交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D两点在圆上，∠CAB＝20°，则∠ADC的度数等于（ ）
A．114° B．110° C．108° D．106°
8．有下列命题：①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦的直线必过圆心；④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦.其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
10．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连结CF，BF．下列所给的结论中，不正确的是（ ）
A．∠F= ∠AOC B．AB⊥ BF
C．CE是⊙O的切线 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，与⊙相切于点，连接与⊙交于点，连接．若，则 ．
12．已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为 ．
13．如图，过上一点作的切线，与直径的延长线交于点，若，则的度数为 ．
14．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等如图，组成了一个完美的六边形正六边形，图是其平面示意图，则的度数为 ．
15．如图，正五边形ABCDE内接于☉O，则∠CAD＝ 。
16．如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求半径长．
18．如图，⊙C经过原点O，且与两坐标轴分别交于点A(0，3)和点B．M是劣弧OB上一点，∠BMO=120°．求⊙C的半径长．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
20．如图，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠A=70°，求∠FDE．
21．如图，一座圆弧形拱桥的跨度为，拱高为，请计算该圆弧形拱桥的半径是多少？
22．如图，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
23．如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点．
（1）求证：点D为的中点．
（2）若，求的半径长度．
24．如图，在菱形中，，，点E为边的中点，动点P从点D出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．连结，作点D关于直线的对称点，连结、，设点P的运动时间为t秒．
（1）______；
（2）用含t的代数式表示线段的长；
（3）当点落在边上时，求的面积；
（4）当线段与平行或垂直时，直接写出t的值．
25．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并加以证明；
（3）若的半径为5，，求的长．
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第二十四章 圆 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，A， B， C是⊙0上的三个点，若∠A0B=58° ，则∠ACB的度数为（ ）
A．58° B．61° C．32° D．29°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，∠AOB=58°，
∴∠ACB=∠AOB=29°，
故答案为：D.
【分析】利用圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可.
2．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为6，则直线AB于⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵d=6, r=5,
∴d>r ,
∴ 直线AB于⊙O的位置关系是相离；
故答案为：C.
【分析】根据直线与圆的位置关系可知，当d=r时，相切；当dr时，相离；据此解答即可.
3．如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】B
【解析】【解答】同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，∠AOC的对顶角∠BOD也为50度，弧BD所对的圆周角为∠C，所对的圆心角为∠BOD，∠BOD为∠C的二倍，故选B选项.
【分析】此题考查了圆周角和圆心角的相互联系.
4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC=8，则OD的长为（ ）
A．3 B．4 C． 4.5 D．5
【答案】B
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即AC⊥BC，
又∵OD⊥BC，
∴AC∥OD，
∵O为AB中点，
∴OD是△ACB中位线，
∵AC=8，
∴OD=AC=4.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，再根据平行线判定可得AC∥OD，从而得OD是△ACB中位线，由此求出OD=AC=4.
5． 用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正八边形的一个内角为：180°-360°÷8=135°，
∴正方形的每个内角是360°-2×135°=90°，
∴另一种是正方形，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出正八边形的一个内角为135°，再求出正方形的每个内角是360°-2×135°=90°，最后判断求解即可。
6．如图，在矩形 中， ， ，以点D为圆心， 为半径画弧，与矩形的边 交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接DE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴DA=BC=4，DC=AB=2 ，
又∵以点D为圆心，DA为半径画弧，
∴DE=DA=4，
在Rt△DCE中，∵DC=AB=2 ，DE=4，
∴ ，
∴ DE，
∴∠EDC=30°，
∴∠ADE=60°，
则阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△DEC-S扇形ADE
，
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质可得到DA，DC的长，再根据条件：以点D为圆心，DA为半径画弧，可求出DE的长；再利用勾股定理求出CE的长，从而可求出∠EDC的度数，同时可得到∠ADE的度数；然后利用阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△DEC-S扇形ADE，利用矩形，扇形，三角形的面积公式进行计算，可得答案.
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D两点在圆上，∠CAB＝20°，则∠ADC的度数等于（ ）
A．114° B．110° C．108° D．106°
【答案】B
【解析】【解答】解：连接BC．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°，
在圆内接四边形ABCD中，
∠ADC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：B．
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠B＝70°，根据圆内接四边形对角互补，可得∠ADC=180°-∠B，从而求出∠ADC的度数.
8．有下列命题：①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦的直线必过圆心；④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦.其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
【答案】A
【解析】【解答】解：①垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧，故本答案错误；
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧符合垂径定理，故本答案错误；
③根据垂直于弦的直径必经过圆心，故此选项错误；
@根据圆的轴对称性可得，故此选项正确；
故答案为：A .
【分析】根据垂径定理即可求解.
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=50°，
∴∠C=180°-50°=130°．
故答案为：D．
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可证得∠A+∠C=180°，代入计算求出∠BCD的度数.
10．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连结CF，BF．下列所给的结论中，不正确的是（ ）
A．∠F= ∠AOC B．AB⊥ BF
C．CE是⊙O的切线 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，
∴ OC⊥AB，······ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·选项D正确；
∴ ∠AOC=∠BOC=2∠F
即 ∠F= ∠AOC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·选项A正确；
∵ CE∥AB，OC为半径
∴ OC⊥CE
∴ CE为⊙O的切线 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·选项C正确；
∵ 不能确定BF是否平行OC，
∴ AB与BF不一定垂直 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 选项B错误；
故答案为B
【分析】本题考查圆的垂径定理的推论，切线的判定等知识，熟练掌握垂直定理的推论，切线的判定是解题关键。由AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D得OC⊥AB，，∠F= ∠AOC则选项A，D正确；由 CE∥AB得OC⊥CE，可值选项C正确.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，与⊙相切于点，连接与⊙交于点，连接．若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：与⊙相切，
，，
，
是等边三角形，，
．
故答案为：．
【分析】根据圆的切线垂直于过切点的半径可得、，因为，则是等边三角形，，然后根据三角形的内角和等于180°即可求解．
12．已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为 ．
【答案】3或5
【解析】【解答】解：P在⊙O内，直径为8+2=10，半径为5，
P在⊙O外，直径为8﹣2=6，半径为3，
故答案为：3或5．
【分析】根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
13．如图，过上一点作的切线，与直径的延长线交于点，若，则的度数为 ．
【答案】26°
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点D，与直径AB的延长线交于点D，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=38°，
∴∠COD=52°，
∴∠E=∠COD =26°；
故答案为：26°．
【分析】连接OC，利用切线的性质和直角三角形的内角特点，可先求得∠COD的度数，然后利用圆周角与圆心角的特点可得出答案．
14．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等如图，组成了一个完美的六边形正六边形，图是其平面示意图，则的度数为 ．
【答案】120°
【解析】【解答】解：∵六边形是正六边形，
∴， ，
∴，
同理，
∴，
故答案为：120．
【分析】根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据三角形内角和定理求的度数，同理可得的度数，根据三角形内角和定理求解．
15．如图，正五边形ABCDE内接于☉O，则∠CAD＝ 。
【答案】36
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=108°，BC=CD=DE，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=∠BAE=36°，
故答案为：36.
【分析】根据正五边形的性质得出∠BAE=108°，BC=CD=DE，再根据圆周角定理得出∠BAC=∠CAD=∠DAE=∠BAE，即可得出答案.
16．如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为 ．
【答案】6或或
【解析】【解答】解：根据题意，为锐角等腰三角形时，两腰相等的情况有三种：
(1)当AD=AP=6时，为锐角等腰三角形
即AP的长可为6
(2)当AD=DP=6时
过D作，连接OP，OD，如图所示
(切线长定理)
（三线合一定理）
在直角三角形DAO中
(3)当AP=DP时
作AD的垂直平分线交AD于H，交圆于P和P'，
作OEPP'于E，连接OP，如图所示
等腰三角形ADP是钝角三角形，不符合题意，等腰三角形ADP'符合题意
求此时的AP'即为题意中的AP
综上，AP的长为6或或
故答案为： 6或或
【分析】根据等腰三角形的定义可知两腰相等的情况有三种，分别计算；当AD=AP=6时，为锐角等腰三角形；当AD=DP=6时，根据切线长定理和三线合一定理可知E为AP中点，求出AE即可求出AP，观图可知AE是直角三角形底边上的高，直角三角形三边可知，AE和AP可求；当AP=DP时，根据中垂线的性质作辅助线找AP，发现P有两种位置情况，排除钝角等腰三角形的情况，在直角三角形中用勾股定理求斜边AP，一条直角边AH易求，另一直角边借助矩形性质和勾股定理可求得，进而可求AP。综合三种情况，可求AP的三个可能值。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求半径长．
【答案】（1）证明：在的内接四边形中，
．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图所示连接，
∵，∠BEC=45°，
∴
在中，
又∵OB=OC，
∴
即 ，
解得：（负值舍去）
∴半径长
【解析】【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明；
（2）连接，利用条件∠BEC=45°，结合圆周角定理可得，则△BOC为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可．
（1）证明：∵点，，，均在上，
∴四边形为圆内接四边形，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图所示连接，
∵
∴
设的半径为，则中，
解得：（负值舍去）
∴半径长
18．如图，⊙C经过原点O，且与两坐标轴分别交于点A(0，3)和点B．M是劣弧OB上一点，∠BMO=120°．求⊙C的半径长．
【答案】解：∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°．
∵AB 是⊙C的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°∠BAO=90°-60°= 30°．
∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长为3．
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAO的度数，然后根据直径所对的圆周角为直角，进而求出∠ABO的度数，根据点的坐标得到相关线段的长度，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出圆的半径.
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）解：BC与⊙O相切．理由如下：
连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2．
根据勾股定理得： ，
即 ，解得：x=2，
即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4．
在Rt△ODB中，∵OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形DOF= = ，则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= = ．
故阴影部分的面积为 ．
【解析】【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，得∠ODB=∠C=90°，从而证出BC与⊙O相切。
（2）设OF=OD=x，在RtODB中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x（半径）的值，进而求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式求出其面积，则阴影部分的面积=S△ODB﹣S扇形DOF。
20．如图，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠A=70°，求∠FDE．
【答案】解：连接IE，IF，
∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∵∠A=70°，
∴∠EIF=110°，
∴∠FDE=55°．
答：∠FDE的度数为55°．
【解析】【分析】连接IE，IF，根据切线的性质，可得出∠AEI和∠AFI等于90°，再由∠A=70°，从而得出∠EIF，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得∠FDE．
21．如图，一座圆弧形拱桥的跨度为，拱高为，请计算该圆弧形拱桥的半径是多少？
【答案】解：设桥拱所在圆的圆心为，半径为米，连接，，则，，三点共线，，．
由垂径定理可知米，
且米，
在中，由勾股定理可得，
即，解得．
所以，该圆弧形拱桥的半径为34米．
【解析】【分析】根据 ， 列方程求解即可。
22．如图，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
【答案】解：连接OD．
∵OC⊥AB DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴EF=OD．
∵OD=OA
∴EF=OA=4．
【解析】【分析】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．
23．如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点．
（1）求证：点D为的中点．
（2）若，求的半径长度．
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点D为的中点
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为13
【解析】【分析】（1）由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得，由平行线的性质可得，然后根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”可求解；
（2）根据垂径定理得到，然后用勾股定理可得关于OA的方程，解方程即可求解.
（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点D为的中点；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为13．
24．如图，在菱形中，，，点E为边的中点，动点P从点D出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．连结，作点D关于直线的对称点，连结、，设点P的运动时间为t秒．
（1）______；
（2）用含t的代数式表示线段的长；
（3）当点落在边上时，求的面积；
（4）当线段与平行或垂直时，直接写出t的值．
【答案】（1）12
（2）解：在菱形中，，
当点在上时，，，则，
当点在上时，，，则，
即：；
（3）解：当点落在边上时，连结，交于，
∵点为的中点，
∴，
由轴对称可知，，垂直平分，即点为的中点，
∴，，即点在上，
则在以点为圆心，为直径的圆上，
∴，即，
∵，
∴，则，
，
∴；
（4）或
【解析】【解答】（1）解：令与交于点，
在菱形中，，，，
∴，
∴，
故答案为：12；
（4）当时，延长交于，则，即为的中点，
∴，，
由轴对称可知
过点作，分别垂直，，过点作，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴此时；
当时，即，令交于，连接，
∴，
由轴对称可得：，
∴，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴此时；
综上，当线段与平行或垂直时，或．
【分析】（1）令与交于点，根据菱形性质可得，，，再根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，当点在上时，，，当点在上时，，，根据边之间的关系即可求出答案.
（3）当点落在边上时，连结，交于，根据线段中点可得，由轴对称可知，，垂直平分，即点为的中点，则则在以点为圆心，为直径的圆上，再根据是三角形面积可得DD'，再根据勾股定理可得BD'，再根据三角形面积即可求出答案.
（4）当时，延长交于，则，即为的中点，根据线段中点可得，由轴对称可知，过点作，分别垂直，，过点作，则，根据三角形面积可得，则，此时；当时，即，令交于，连接，则，由轴对称可得：，根据直线平行性质可得，则，即，则，此时；
（1）解：令与交于点，
在菱形中，，，，
∴，
∴，
故答案为：12；
（2）在菱形中，，
当点在上时，，，则，
当点在上时，，，则，
即：；
（3）当点落在边上时，连结，交于，
∵点为的中点，
∴，
由轴对称可知，，垂直平分，即点为的中点，
∴，，即点在上，
则在以点为圆心，为直径的圆上，
∴，即，
∵，
∴，则，
，
∴；
（4）当时，延长交于，则，即为的中点，
∴，，
由轴对称可知
过点作，分别垂直，，过点作，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴此时；
当时，即，令交于，连接，
∴，
由轴对称可得：，
∴，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴此时；
综上，当线段与平行或垂直时，或．
25．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并加以证明；
（3）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵弧与弧相等；
∴，
∵是的直径；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：与相切，
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点O是的中点，
是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
（3）解：连接，
∵弧与弧相等，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
是的中位线，
∴，
设长为x，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴在中，，
即，
解得或（舍），
，，
在中，，
解得．
【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质及判定，三角形中位线的性质和判定，（1）连接根据等弧对等角可得：，根据是的直径；得到，利用等量代换证得：即可证明结论；
（2）连接，根据，得到，由（1）知，可证得是的中位线，根据中位线定理得到，再利用等量代换的方法可证得：，即可证明结论；
（3）连接，根据弧与弧相等可证得，从而得到是的中位线，
则，设长为x，则，进而得到然后在中，根据勾股定理可得：，解出x，得到BF、DF的长度，再运用勾股定理即可求解.
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