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图形的相似 单元达标全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若两个正方形的边长比是3：2，其中较大的正方形的面积为18，则较小的正方形的边长是（ ）
A．8 B． C．2 D．
3．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC BA
4．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
5．如图所示，数学小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得小桥拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，则小桥所在圆的半径为（ ）
A． B．5 C．3 D．6
6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE CD＝CA CB D．＝
7．两个边数相同的多边形相似应具备的条件是（ ）
A．各角对应相等
B．各边对应成比例
C．各角对相等，各边对应相等
D．各角对应相等，各边对应成比例
8．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知线段x是线段a、b的比例中项，且a=4，b=9，则x= ．
12．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=4DC，点E是线段BD上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AC边上的点F处，若EF⊥BD，则 。
13．某时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，此时某旗杆的影长为9m，则该旗杆的高度为 ．
14．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．
与图形（1）相似的有 ；（填序号）
与图形（2）相似的有 ；（填序号）
与图形（3）相似的有 ．（填序号）
15．如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A.灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于 米.
16．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图 31-10， 在 中， ， 于点 为 边上的中线．
（1） 若 ， 求 的度数；
（2） 若 ， 求点 到 的距离．
18．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由
20．如图，在锐角三角形 ABC中，AC>BC.以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AB于点 D，连结CD. E是CB 延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.
（1）求证：△ACD∽△AEB；
（2）当 求 的值.
21．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？
22．将图中的四边形作下列运动，画出相应的图形，并写出各个顶点的坐标；
①关于y轴对称的四边形A′B′C′D′；
②以坐标原点O为位似中心，放大到原来的2倍的四边形A″B″C″D″．
23．分别在直角坐标系中描出点（1）（0，0），（5，4），（3，0），（5，1）（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）；按描点的顺序连线．
（2）（0，0），（10，8），（6，0），（10，2），（10，﹣2），（6，0），（8，﹣4），（0，0）按描点的顺序连线．
（3）你得到两个怎样的图形？
（4）两个图形有什么特点？（从形状和大小来回答）
24．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．
25． 如图， 四边形 是正方形， 点 在 上， 点 在 的延长线上， ， 连结 ， 点 在 的延长线上， ， 点 在线段 上， 且 ， 将线段 绕点 沿逆时针旋转得到线段 ， 使得 ， 交 于点 ．
（1）线段 与线段 的关系是
（2） 若 ， 求 的长．
（3） 求证： ．
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图形的相似 单元达标全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
解得：＝，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"得比例式并结合已知条件即可求解．
2．若两个正方形的边长比是3：2，其中较大的正方形的面积为18，则较小的正方形的边长是（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设较小正方形的面积为S，
∵两个正方形的边长比是3：2，其中较大的正方形的面积是18，
∴，
解得：S=8，
∴较小正方形的边长为，
故答案为：B．
【分析】设较小正方形的面积为S，根据所有的正方形都相似，利用相似正方形的面积比等于相似比的平方，代入计算求出小正方形的边长.
3．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC BA
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴ ，
∴选项A符合题意，
，
∴选项D不符合题意；
∵ ，
∴选项B不符合题意；
∵ ，
∴选项C不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断个选项。
4．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】C
【解析】【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽△CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA。
故答案为：C。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，从而即可得出答案。
5．如图所示，数学小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得小桥拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，则小桥所在圆的半径为（ ）
A． B．5 C．3 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r米．∵
解得EF=12，
∴GH=12﹣3﹣1=8（米）．
∵MN为弧GH的中点到弦GH的距离，
∴点O在直线MN上，GM=HM=GH=4米．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
OG2=OM2+GM2，
即r2=（r﹣2）2+16，
解得：r=5．
答：小桥所在圆的半径为5米．
故选B．
【分析】小桥所在圆的圆心为点O，连结OG，设⊙O的半径为r米．先利用平行投影的性质和相似的性质得到，于是可求出GH=8米，再根据垂径定理得到点O在直线MN上，GM=HM=GH=4米，然后根据勾股定理得到r2=（r﹣2）2+16，再解方程即可．
6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE CD＝CA CB D．＝
【答案】D
【解析】【解答】解：∵CE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DCA＝90°-∠BCD，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠DAC＝∠A，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，
∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠CBA-∠BCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴A不符合题意；
∵点B是DE的中点，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴B不符合题意；
∵CE CD＝CA CB，
∴．
∵∠BCE＝∠DCA，
∴△CEB∽△CAD，
∴C不符合题意；
由，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，
∴D符合题意.
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
7．两个边数相同的多边形相似应具备的条件是（ ）
A．各角对应相等
B．各边对应成比例
C．各角对相等，各边对应相等
D．各角对应相等，各边对应成比例
【答案】D
【解析】【解答】解： 两个边数相同的多边形相似应具备的条件是各角对应相等，各边对应成比例，
故选：D．
【分析】根据如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形解答．
8．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，点E即为所求作的点．
故答案为：A．
【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．
9．如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
10．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知线段x是线段a、b的比例中项，且a=4，b=9，则x= ．
【答案】6
【解析】【解答】解：若x是线段a、b的比例中项，即 ．则 ，
故答案为：6．
【分析】根据比例中项的含义可得ab=x2，将数值代入，即可求出x的数值。
12．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=4DC，点E是线段BD上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AC边上的点F处，若EF⊥BD，则 。
【答案】
【解析】【解答】解：∵AD=4DC
设CD=m，则AD=4m，AC=5m
∵EF⊥BD，∠ABC=90°
∴∠CFE+∠FDE=90°，∠CBE+∠ABD=90°
由折叠可知，∠CBE=∠CFE
∴∠ABD=∠FDE
∴AB=AD=4m
∴BC=3m=CF
∴DF=CF-CP=2m
过点C作CP⊥BD于点P
∵EF⊥BD
∴∠BEF=90°
∴∠BEC=∠FEC=135°
∴∠BEC=∠FEC=135°
∴∠CEP=45°
∴△CEP是等腰直角三角形
设CP=EP=k
∵CP⊥BD
∴CP∥EF
∴△FED∽△CPD
∴
∴EF=2k=BE，
∴
∴
故答案为：
【分析】设CD=m，则AD=4m，AC=5m，由折叠可知，∠CBE=∠CFE，则∠ABD=∠FDE，根据等角对等边可得AB=AD=4m，根据边之间的关系可得DF，过点C作CP⊥BD于点P，根据补角可得∠CEP，根据等腰直角三角形判定定理可得△CEP是等腰直角三角形，设CP=EP=k，根据直线平行判定定理可得CP∥EF，再根据相似三角形判定定理可得△FED∽△CPD，则，则EF=2k=BE，，再根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．某时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，此时某旗杆的影长为9m，则该旗杆的高度为 ．
【答案】12m
【解析】【解答】解：设该旗杆的高度为x m，根据题意得，1.6：1.2=x：9，
解得x=12．
即该旗杆的高度是12m．
故答案为：12m．
【分析】先求出1.6：1.2=x：9，再求出x=12即可作答。
14．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．
与图形（1）相似的有 ；（填序号）
与图形（2）相似的有 ；（填序号）
与图形（3）相似的有 ．（填序号）
【答案】a；d；g
【解析】【解答】解：观察比较图形，根据相似形的定义可知：
与图形（1）相似的有a；
与图形（2）相似的有d；
与图形（3）相似的有g．
【分析】观察给出的图形，根据相似图形的定义可求解。
15．如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A.灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于 米.
【答案】
【解析】【解答】根据AB//CG得△ABD∽△GCD，
即 ，即 ，
同理可得△ABF∽△HEF，
即 ，即 ，
根据 和 得AB= .
【分析】根据相似三角形的判定，由AB//CG得三角形相似，利用相似比即可解答.
16．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，则，
由平移性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，进而根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得∠BAD=90°，BC=AD=2AB，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△OAB∽△EDA，由相似三角形对应边成比例得，设，则，，根据DA的长建立方程求得a的值，可得EA、ED及OE的长，从而可得点D的坐标.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图 31-10， 在 中， ， 于点 为 边上的中线．
（1） 若 ， 求 的度数；
（2） 若 ， 求点 到 的距离．
【答案】（1）解：，为边上的中线，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
设，则，
，
，
，即，
，
，
，
，
即点到的距离为．
【解析】【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质．
（1）先利用角的运算可得推出，根据直角三角形斜边中线的性质可得：，根据等边对等角可得：，再结合，据此可得：，再结合，利用角的运算可得：，据此可求出，再根据同角的余角相等可求出 的度数 ；
（2）根据，利用正切的定义可得：，设，则，根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可求出，再利用勾股定理可求出，最后利用三角形的面积公式可得：，代入数据可求出AD，进而可求出点到的距离．
18．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴DM BC=AB MN，即BC2=4，
∴BC=2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF==1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2．
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由
【答案】解：△ABC和△DEF相似
理由如下：根据勾股定理，得
∵
∴△ABC 和△DEF
【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，BC，AC，DF，DE，EF的长，从而得出，根据相似三角形的判定定理，即可证出△ABC和△DEF相似.
20．如图，在锐角三角形 ABC中，AC>BC.以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AB于点 D，连结CD. E是CB 延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.
（1）求证：△ACD∽△AEB；
（2）当 求 的值.
【答案】（1）证明：∵以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠ADC=∠ABE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠BAD=∠CAD，
∴△ACD∽△AEB；
（2）解：∵△ACD∽△AEB，
而
【解析】【分析】(1)首先利用作图证明CD=CB，然后利用等腰三角形的性质得到∠CDB=∠CBD，再利用角平分线的性质得到∠BAD =∠CAD，由此即可证明结论；
(2)首先利用相似三角形的在可以得到 然后利用已知条件即可求解.
21．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？
【答案】解：过D作DE∥BC交AB于点E，设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，∴，解得x=1.08（m），∴树的影长为：1.08+2.7=3.78（m），∴解得h=4.2（m）．答：测得的树高为4.2米．
【解析】【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
22．将图中的四边形作下列运动，画出相应的图形，并写出各个顶点的坐标；
①关于y轴对称的四边形A′B′C′D′；
②以坐标原点O为位似中心，放大到原来的2倍的四边形A″B″C″D″．
【答案】解：①如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求；
②如图所示：四边形A″B″C″D″即为所求．
【解析】【分析】①直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
23．分别在直角坐标系中描出点（1）（0，0），（5，4），（3，0），（5，1）（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）；按描点的顺序连线．
（2）（0，0），（10，8），（6，0），（10，2），（10，﹣2），（6，0），（8，﹣4），（0，0）按描点的顺序连线．
（3）你得到两个怎样的图形？
（4）两个图形有什么特点？（从形状和大小来回答）
【答案】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：得到两个小鱼的图形；（4）两个图形是以原点为位似中心的位似图形．故答案为：以原点为位似中心的位似图形．
【解析】【分析】（1）根据各点坐标，在坐标系中分别描出即可；
（2）根据各点坐标，在坐标系中分别描出即可；
（3）根据所画图形，进而得出其形状；
（4）利用位似图形的定义得出答案．
24．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．
【答案】解：∵四边形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC，∴ ，由于矩形长与宽的比为3：2，∴分两种情况：①若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则 ，解得：k=2，∴PQ=6cm，PN=4cm；②PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则 ，解得：k= ，∴PN= cm，PQ= cm；综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为 cm，宽为 cm．
【解析】【分析】先利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”证得△APQ∽△ABC，即可得到，再分两种情况①若PQ为长，PN为宽与②PN为6，PQ为宽，求得k的值即可求得矩形的长与宽.
25． 如图， 四边形 是正方形， 点 在 上， 点 在 的延长线上， ， 连结 ， 点 在 的延长线上， ， 点 在线段 上， 且 ， 将线段 绕点 沿逆时针旋转得到线段 ， 使得 ， 交 于点 ．
（1）线段 与线段 的关系是
（2） 若 ， 求 的长．
（3） 求证： ．
【答案】（1）垂直且相等
（2）解：∵∠H =∠H， ∠HEG=∠MAH，
∴△HEF∽△HAM，
∵线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，
∴EH = EG = EF+FG=9，
（3）证明： 如图，延长MB至X， 使 作 交AX于R，
∴∠XAB =∠BAM， ∠X =∠AMB，
设∠XAB=∠BAM=α，
∴∠MAH =∠XAM =∠HEF =2α，∠X=∠AMB=90°-α，
∴∠AMR=∠H =90°-∠BAH =90°-3α，
∴∠MRX=∠XAM+∠AMR=2α+(90°-3α)=90°-α
∴∠X =∠MRX，
∴RM=XM，
∵∠XAM =∠HEF=2α， ∠AMR=∠H，EH=AM，
∴△HEF≌△MAR(ASA)，
∴FH= RM = XM =2BM.
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADN=∠ADC =∠B=90°， AD=AB，
∵BM = DN，
∴△ADN≌△ABM(SAS)，
∴BM =CN， ∠DAN =∠BAM，
∴∠DAN+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠BAD =90°
∴∠MAN = 90°，
∴AM⊥AN，
故答案为：垂直且相等；
【分析】(1)证明△ADN≌△ABM，从而得到BM =CN，∠DAN =∠BAM， 进而可得∠MAN =90°；
(2)先证得△HEF∽△HAM， 从而得到 进而得到 即可求出AH；
(3)延长MB至X， 使BX = BM， 作∠AMB=∠H， 交AX于R， 设∠XBA=∠BAM =α， 可推出∠X =∠AMB=∠MRX=90°-α， 从而得出RM = XM， 可证得△HEF≌△MAR， 从而得出FH = RM = XM =2BM.
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