人教版九年级数学上册试题 第22章《二次函数》复习题---次函数的图像和性质、方程与不等式（含答案）

第22章《二次函数》复习题---次函数的图像和性质、方程与不等式
题型一：二次函数的图像和性质
1.已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．与轴的交点坐标
C．与轴有两个交点 D．顶点坐标
2.关于二次函数的性质，下列说法错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的对称轴是
C．该函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小
3.在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为，对称轴为直线
B．的最小值为5
C．当时，的值随值的增大而减小
D．抛物线与轴的交点坐标为
题型二：二次函数的图像和性质
1.已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：
… …
… …
(1)求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围是____________．
2.已知二次函数
(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
3.二次函数的部分图象如图， 其中图象与轴交于点， 与 轴交于点， 且经过点．
(1)求此二次函数的解析式
(2)图象过三点， 比较的大小．（用 <连接）
(3)直接写出不等式的解集；
题型三：二次函数图像和系数的关系
1.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则；⑤当时，， 其中正确的结论是（ ）．（填写代表正确结论的序号）
A．②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①②⑤
2.已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.抛物线与轴交于点，其对称轴是，结合图象分析下列结论：①；②；③一元二次方程的两根分别为；④；⑤若两点在二次函数图象上，则；⑥；其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
1.在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
2.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
题型五：二次函数的对称性问题
1.二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
3.抛物线图象上有三点，，．其中，，，以下说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．若，、、三点在对称轴的同一侧
C．当，存在
D．当，总有
题型六：二次函数的最值问题
1.若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ．
2.已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ．
3.已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
题型七：二次函数的最短路径问题
1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ．
2.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．

3.如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ．
题型八：二次函数的平移问题
1.抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ．
2.把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ．
3.已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）．
题型九：求二次函数解析式问题
1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式．
(1)已知抛物线顶点为，且过点；
(2)已知抛物线经过点和．
2.求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)图象经过点，和；
(2)图象顶点坐标为，且经过点．
3.已知是的二次函数，与的部分对应值如下表：
… 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，的取值范围为_____．
(3)将该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为_____．
题型十：二次函数与一元二次方程
1.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3.如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
题型十一：二次函数和不等式问题
1.二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
2.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
3.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案
题型一：二次函数的图像和性质
1.C
【详解】解：抛物线，
抛物线的开口向下上，
故选项A错误；
令，则，
与轴的交点坐标为，
故选项B错误；
令，则，
即，
，
抛物线与轴有两个交点，
故选项C正确；
抛物线的顶点坐标为，
故选项D错误
故选：C ．
2.D
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，二次函数有最小值，
当时，随的增大而增大，
故A，B，C选项说法正确，不符合题意，
D选项说法错误，符合题意．
故选：D．
3.D
【详解】解：A、图像顶点坐标为，对称轴为直线，原说法正确，不符合题意；
B、的最小值为，原说法正确，不符合题意；
C、当时，的值随的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
D、当，，抛物线与轴的交点坐标为，原说法错误，符合题意；
故选： D．
题型二：二次函数的图像和性质
1.（1）解：当时，；当时，；当时，，
∴，解方程得，
∴二次函数解析式为．
（2）解：二次函数解析式为，图像如图所示，
函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意．
（3）解：当时，根据（2）中图示可知，
当时，；当当时，；当时，．
∴当时，．
2.（1）解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）解：∵抛物线的开口向下，
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．
3.（1）将、、分别代入中得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）将分别代入中得，
，，，
；
（3）令二次函数得，，
解得，
∴二次函数的图象开口向上，与x轴的交点为，
∴的解集为或．
题型三：二次函数图像和系数的关系
1.C
【详解】解：由图象可知，，，，
，故①错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故②正确；
抛物线对称轴为，与轴交于，
，，
，，
，故③正确；
、为函数图象上的两点，
，故④错误；
抛物线对称轴为，与轴交于，
抛物线与轴另一个交点是
由图象可知，时，，故⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：C．
2.C
【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，，
由函数的对称轴，
则，
∵，
∴，
∴，故①正确；
②∵，对称轴在y轴左侧，，
则，
图象与y轴交于负半轴，则，
故；故②正确；
③当时，，③正确；
④当时，，④错误；
⑤当时，，⑤错误；
故正确的有①②③，共3个．
故选：C．
3.C
【详解】解： ∵抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴另外一个交点坐标为，
∴时，，
∴，故①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴，
∵，
∴，
∴，故②错误，不符合题意．
∴，故⑥正确，符合题意．
∵抛物线与x轴交点为，
∴的两根分别为，故③正确，符合题意．
∵抛物线顶点在x轴上方，
∴，故④正确，符合题意．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确，符合题意．
综上所述，①③④⑤⑥符合题意．
故选：C．
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
1.C
【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意；
D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C．
2.A
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意．
故选：A．
3.D
【详解】A、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
B、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
C、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
D、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故符合题意；
故选：D．
题型五：二次函数的对称性问题
1.A
【详解】解：∵，在二次函数图象上，
∴，两点关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∵，在二次函数图象上，
∴，，
∴，
∴，
∵在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2.A
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，则，所以②正确；
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①正确；
时，，
，
③错误；
点与点关于对称轴对称，
，所以④错误．
故选：A．
3.C
【详解】A．抛物线为，故对称轴为，故A错误；
B．抛物线开口向下（），对称轴为．左侧（）函数递增，右侧（）函数递减．若，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如，在左侧，、在右侧，此时最大，最小，与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误；
C． 当时，存在．例如：，取，，，计算得，，，满足，故C正确；
D． 当时，并非总有．例如：，取，，，计算得，，，此时，不符合题意，故D错误．
综上，正确答案为C．
题型六：二次函数的最值问题
1.
【详解】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
当时，函数值最小，，
二次函数，
抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小，
，
当时，函数值最小，，
，
故答案为：．
2.1
【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远，
∴当时，取得最大值，最大值为，
又∵当时，的最大值为9，
∴，
解得，
故答案为：1．
3.
【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大，
∵，，
∴当时，取最小值，最小值为，
又∵，
∴当时，取最大值，最大值为，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：．
题型七：二次函数的最短路径问题
1.
【详解】解：令，则，
解得，，
，，
抛物线的对称轴为：
点的横坐标为：
当 时， ；
设直线解析式为，
则，
解得，
由抛物线的对称性可知：
∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小，
将 代入得：
故此时点的坐标是
故答案为：．
2.
【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，

∵，
∴，
∴当与点重合时，取得最小值，最小值为，
∵，当时，，则
当时，，
解得：,
∴，
∴
即的最小值为，
故答案为：．
3.
【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：，
即抛物线的解析式为：，
将代入得：，
抛物线的解析式为：；
顶点坐标 ；
连接交直线于点，
此时 最小，点即为所求 ，
由，，
设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴直线：
当时：，
．
题型八：二次函数的平移问题
1.
【详解】解：∵，
∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为．
故答案为：．
2.且
【详解】解：∵二次函数向上平移k个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，
∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，
∴且，
解得且，
∴k的取值范围为且．
故答案为：且．
3.
【详解】解：，
∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵关于轴对称的点为∵，
∴，
故答案为：．
题型九：求二次函数解析式问题
1.（1）解：设抛物线解析式为，
由抛物线顶点为，得，
由抛物线过点，得，
解得，
；
（2）解：将点和代入抛物线，
得，
解得，
．
2.（1）解：由题意，设二次函数的表达式，
把，和代入得：，
．
二次函数的表达式．
（2）解：由题意，设抛物线的解析式为：，
把代入解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
3.（1）解：由表格得，抛物线的顶点为，
设函数关系式为，
∵该二次函数过，则，
解得：，
二次函数的表达式为．
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，
又开口向上，
图象上的点到对称轴的距离越大，函数值也越大，
，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为．
故答案为：．
（3）解：由（1）得抛物线的顶点为，
点关于直线的对称点为，
该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为．
故答案为：．
题型十：二次函数与一元二次方程
1.B
【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点，
将代入，得，
∴，
∴原方程为，
解得：；
故选：B．
2.B
【详解】解：二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线，
二次函数（为常数）的图象与x轴的一个交点为，
二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为，
关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，．
故选：B．
3.B
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和，
∴当或时，，即方程的根为．
故选B．
题型十一：二次函数和不等式问题
1.C
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴二次函数与轴的另一个交点的横坐标为，
∴二次函数与轴的另一个交点的坐标为，
∵二次函数的图象开口向下，
∴不等式的解集为，
故选：C．
2.D
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴直线与抛物线交于点，两点，
图象如图所示，
当时，，
∴的解集是，
故选：D．
3.B
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与x轴没有交点，
∴，，故①正确，②错误；
把点代入，得：
，
∴，即，故③正确；
∵抛物线的顶点在x轴的上方，且开口向上，
∴抛物线与直线没有交点，
∴关于的方程没有实数根，故④错误；
如图，
设过点的直线的解析式为，
∴，解得：，
∴过点的直线的解析式为，
观察图象得：当时，抛物线的图象位于直线的下方，
∴不等式的解集为，
即不等式的解集为，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤，正确个数为3个，
故选：B