人教版九年级数学上册试题 第22章《二次函数》复习题--二次函数综合应用（含答案）

第22章《二次函数》复习题--二次函数综合应用
题型一：动点问题
1.如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．
2.如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
题型二：线段问题
1.已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值．
2.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．已知点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
3.已知：如图，抛物线与轴交于点，．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)观察图象，当时，y的取值范围为________；
(3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值．
题型三：周长问题
1.已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为．
(1)求此函数的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标．
2.已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)抛物线的顶点为D，连接CD、BD、BC，求的面积；
(3)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标．
3.已知抛物线与轴交于点，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）．
①若，求点坐标；
②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值．
题型四：面积问题
1.如图，已知二次函数的图象过点和．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，直线经过A，C两点，在抛物线上找一点P（异于点B），使得，求点P的坐标．
2.已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式及点坐标；
(2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值；
3.如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2．
(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积．
题型五：角度问题
1.如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数；
(2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标．
2.如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标．
3.如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集；
(3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
题型六：特殊三角形问题
1.如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接．
(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标；
(3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标．
2.如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，判断的形状；
(3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
3.如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由；
(3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
题型七：特殊四边形问题
1.如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式与点的坐标；
(2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值；
(3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标．
(3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值．
(3)在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型八：二次函数与其他知识交汇综合
1.如图，已知经过点和的抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D．
(1)请用含m的代数式表示n和点D的坐标；
(2)设直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F，连接，，，求m的值；
(3)若在（2）的条件下，若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线的距离分别是，且，①求d关于t的函数解析式；②当时，直接写出t的取值范围．
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）．
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标；
(2)求线段的长；
(3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式．
3.在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，其对称轴为直线，点、在该抛物线上（点与点不重合），且点、的横坐标分别为、，将此抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）记为．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)当图象的最低点是抛物线的最低点时，求的取值范围．
(3)当点、到直线距离相等时，求的值．
(4)设点、的坐标分别为、，连接，当线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
4.如图，在 ABC中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
(1) ， ， ；
(2)t为何值时的面积为？
(3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？
5.如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，若有，求出点P的横坐标；
(3)若将抛物线沿直线方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当时，有最大值为0，直接写出抛物线L的对称轴．
7.已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、．
(1)求的长度；
(2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标．
8.如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当和时，y的值相等，直线与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M．
(1)求顶点M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式．
(2)P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，连接，设，四边形的面积为S，
①求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围．
②当t为何值时，四边形的面积最大，求出这个最大值．
10.已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E；
(3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
11.如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标．
12.已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值；
13.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在线段上运动（不含O、B），过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点Q的坐标．
14.如图，抛物线（是常数，且）与轴交于两点，与y轴交于点．并且两点的坐标分别是．
(1)①求抛物线的解析式；
②顶点的坐标为___________；
③直线的解析式为___________；
(2)若为线段上的一个动点，过点作轴于点，求四边形面积的最大值；
(3)若点是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作交轴于点．当点的坐标为___________时，四边形是平行四边形．
15.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标．
16.抛物线与 x 轴交于，两点，与 y 轴交于点 C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得三角形的周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 B， C 重合），过点 P 作 轴于点 D，交 于点 E．设点 P 的横坐标为 m，求线段 的最大值及此时点 P 的坐标．
参考答案
题型一：动点问题
1.A
【详解】解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴；
当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为．
综上，选项A的图象符合题意，
故选：A．
2.C
【详解】解：四边形是菱形，，
，．
如图1，当点N在上运动时，，．
过点M作于点E．
在中，，
．
．
当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）．
．
如图2，当点N在上运动时，，．
过点N作于点H．
在中，，
．
．
当时，．
解得，（不符合题意，舍去）．
．
故选：C．
3.B
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
题型二：线段问题
1.（1）解：∵二次函数的图象经过点和点，
∴，
∴，
∴这个二次函数的表达式为．
（2）解：∵点P是直线下方的抛物线上一动点，
∴设，，
设直线的解析式为，
将点和点代入得，
∴，
∴直线的解析式为．
∵过P点作y轴的平行线交直线于点E，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值为，
∴线段的最大值为．
2.（1）解：点的坐标为
．
抛物线过点，对称轴是直线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线对称轴为直线，点的坐标为，
点的坐标为．
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为．
设点，
则点，
．
，
当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为．
3.（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）得，
∴开口方向向下，对称轴为直线，
在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，
∵，
∴把代入，得，
∴观察图象，当时，y的取值范围为．
（3）解：当是边上的高时，的值最小，
由（2）得对称轴为直线，有最大值，且
∵点是的顶点，
即，
∵，，
∴，，点到轴的距离为，
∴，
∴，
∴的最小值是．
题型三：周长问题
1.（1）解：∵，且点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴，
∴，
把点A和点B的坐标代入抛物线解析式中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
如图所示，连接，
∵抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为；
∵，，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：如图所示，连接，
由对称性可得，
∴的周长，
∵的长为定值，
∴当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴点P的坐标为．
2.（1）解：将、、代入抛物线中，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式：；
（2）解：∵抛物线的解析式：；
∴：，
∴顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
将、)代入上式，得：
，
解得：，
∴直线的函数关系式，
设直线交抛物线对称轴于点N，
∴当时，，
∴．
∴，，
∴；
（3）解：连接，直线与直线的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴，
∴，
的周长为，当、、三点共线时，最小，即的周长最小。
∵直线的函数关系式，
当时，，即P的坐标；
3.（1）解：与轴交于、，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）∵，
∴，
设，则，
，，
①，
，
解得：（舍去）或，
；
②∵
∴直线解析式为，
∴，
，
设矩形周长为，
则，
∴当时，的最大值为．
题型四：面积问题
1.（1）解：二次函数的图象过点和，
，
，
；
（2）由题可得，抛物线对称轴为，
C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，，
，
直线过点，两点，
，
解得：，
，
在抛物线上，
设点，
由已知条件可得：，
当点在上方时，即，过点作轴，交直线于点，
，
，
，
，
，
，，
与不重合，
舍去，
，，
；
当点在直线下方，即或时，
当时，，，共线，不符合题意；
当时，
，
，
，
,
或，
，
，
，
；
综上所述：或．
2.（1）解：把，代入得：，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时， ，
解得，，
∴；
（2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、，
设直线的表达式为，
把、代入得：，
解得，
∴直线的表达式为，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴， ，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为．
3.（1）解：∵抛物线与轴交，，
∴抛物线的解析式为；
当时，；
∴；
（2）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：；
由题意得：，，
∴；
∵，
∴当时，；
此时，，即；
（3）解：
．
题型五：角度问题
1.（1）解：当时，，
解方程，得，，
点在点的左侧，且，
，，
当时，，
，
，
，
；
（2）解：当时，，，，，
当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点，
，
，，
，
设，
，
解得，
；
当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点，
，
同理可得，
设，
，即
解得，
；
综上所述，的坐标为或．
2.（1）解：直线与x轴交于点，
∴可有，解得，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴将点代入，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
当时，可有，
解得，
∴点，
设点，则点，
∴，
∵四边形面积，
∴当时，四边形面积有最大值，
此时点；
（3）如下图，当点在上方时，设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点，
设直线解析式为，将点，点代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点，
当点在下方时，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
3.（1）解：抛物线与轴交于点，点．
设抛物线解析式为
．
整理，得；
（2）解：．
将化为顶点式，得．
点坐标为.
点的坐标为，
不等式的解集为；
（3）解：存在．
由抛物线的对称性可知
故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为．
如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为，
可得Q点坐标为.
设直线的解析式为．
∵点，，
直线的解析式为．
联立方程组可得
解得（舍）．
将代入，
得．
故的坐标为.
综合以上可得点M的坐标为或．
题型六：特殊三角形问题
1.（1）解：把点B和点D的坐标代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
∵抛物线解析式为，
∴顶点E的坐标为；
如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴点F的坐标为；
（3）解：在中，当时，解得或，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，则点P的坐标为或；
当时，∵，
∴，
∴点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
2.（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的表达式为．
又，
点的坐标为，
代入表达式，得，
解得，
抛物线的表达式为，即；
（2）解：令，则，
解得，
点的坐标为，
，
，
是直角三角形；
（3）解：设直线的表达式为，
将点，点的坐标代入，得：
，
解得，
直线的表达式为；
设，
如图，作轴交于点，则，
，
，
当时，有最大值为．
3.（1）解：把，代入抛物线解析式中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下：
如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，
设直线的解析式为，
把，代入得∶
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大，
∵，
∴当最大时，最大，即此时的面积最大，
∵点M的横坐标为m，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，即此时的面积最大；
（3）解：设，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为或．
题型七：特殊四边形问题
1.（1）解：由已知，、代入，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，顶点坐标为；
（2）解：当时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接，经过点E作x轴的垂线，交直线于点F，
设点，则点，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∴，
∴
（3）解：如图（3），
∵，，
设，
当为对角线时，
，
解得：，
；
当为对角线时，
，
解得：，
；
当为对角线时，
，
解得：，
；
综上所述，存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
2.（1）解：对于，令，则，
解得，，
∵点在点的右侧，
∴，，
令，得，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，得：
，
解得 ，
∴直线的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴，交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
由（）知，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
当时，，
∴当的面积最大时，点的坐标为；
（3）解：点的坐标为或或，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴点的横坐标为，
由（）知，由（）知点的横坐标为，
设点的坐标为，
分三种情况：
当为平行四边形的对角线时，如图，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当为平行四边形的对角线时，如图，
∵，
解得，
∴点的坐标为；
当为平行四边形的对角线时，如图，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
3.（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：在令，得或，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴，且
∴，
在线段上取点，作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，取得最小值，最小值为的长度，点为与的交点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为，的最小值为．
（3）解：∵直线都经过，两点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
根据题意可知，，
若点，，，是平行四边形的四个顶点，则，
设，则，
若点在点的上方，则，
解得或，
当时，，，
当时，，，
若点在点的下方，则，
解得或，
当时，，，
当时，，，
∴存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或．
题型八：二次函数与其他知识交汇综合
1.（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，
∴点的坐标为．
（2）解：设与对称轴交于点，则，，
∵点与点关于抛物线对称轴对称，，轴
∴ CDF是等腰直角三角形，，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：①∵，，
∴抛物线的解析式为，
∴，，抛物线对称轴方程为，直线的方程为，
∴，
∵点在轴右侧的抛物线上运动，，
∴当时，；
当时，；
当时，，
∴与之间的函数关系式为；
②如图：
当时，，解得：或（舍去），
当时，，解得：或（舍去），
当时，，解得：或（舍去），
当时，，解得：或（舍去），
当时，，解得：或（舍去），
∴当时，的取值范围为或或．
2.（1）解：
，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵，令得，
解得，
∴；
∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，
∴抛物线的解析式为
当时，，
解得，
∴，
∴；
（3）由（2）得，，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设，
∴，得，
∴或，
∵
∴或，
∴平移后新抛物线的表达式为或．
3.（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线，
∴，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为．
（2）解：①当，即时，P在Q左侧，也在对称轴直线左侧，
∵图象G的最低点是抛物线的最低点，
∴Q不在对称轴直线左侧，即，解得：，
∴此时m范围是；
②当，即时，Q在P左侧，
∵图象G的最低点是抛物线的最低点，
∴，解得：，
∴此时m范围是．
综上，m的范围是或．
（3）解：在中，令得，
∴，
在中，令，得：，
∴，
∵点P、Q到直线距离相等，
∴，
∴或，解得：或（此时P，Q重合，舍去）或．
∴m的值为4或．
（4）解：在中，令得：，解得或，
∴抛物线与直线交点为，
①当，即时，A在B左侧，
∵线段与图象G只有一个公共点，
∴或，解得：；
②当，即时，A．B重合，不存在线段，这种情况不存在；
③当，即时，B在A左侧，
∵线段与图象G只有一个公共点，
∴或，解得：．
综上所述，m的范围是或．
4.（1）解：根据题意得：，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：的面积
，
解得：或4，
即当秒或4秒时，的面积是；
（3）解：，
∴当t为3秒时，的面积最大，最大面积是．
5.（1）解：当时，；当时，，
∵直线与x轴交于点B，与 y轴交于点C，
∴点．
将点 B，C的坐标分别代入抛物线 中，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵点G在抛物线 上，
∴设点，
∴以为底的的高为，
在抛物线中，当时，，
解得或，
∴，
∴，
，
，即，
解得，
当时， ；
当时， ；
∴点G的坐标为或．
（3）解：存在，点Q的坐标为或．
∵抛物线的对称轴是直线，
∴设，
则，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴有以下两种情况，如图：
①当为斜边时，则，
即，解得．
②当为斜边时，则，
即，解得．
综上所述，存在点Q，点Q的坐标为或．
6.（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为，
令，则，
故点C的坐标为；
（2）解：过点P作y轴的平行线交于点H，
设直线的表达式为，
把，代入上式得，
解得，
故直线的表达式为，
设点P的坐标为，则点H的坐标为，
则，
解得，
故点P的横坐标为或；
（3）解：，
设直线的表达式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的表达式为，
∵，
故设抛物线沿方向向右平移m个单位，则向上平移个单位，
则平移后的抛物线为，
原抛物线在时，取得最大值，
∴当时，平移后的抛物线必定也在时取得最大值，
即，
解得（舍去负值），
故抛物线L的对称轴为直线．
7.（1）解：由得，
，
，，
，，
；
（2）如图1，
设点，
点，，
的解析式是：，
如图，过点P作y轴平行线交于D，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
．
8.（1）解：抛物线与x轴相交于、两点，
设抛物线的解析式为，即，
，，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在．理由如下：
连接，如图，
当时， ，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
点坐标为；
当时，
若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为，
综上所述，满足条件的P点坐标为或或．
9.（1）解：∵当和时，y的值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点M的横坐标为1，
又∵顶点M在直线上，
∴将代入得
∴，
把代入得，
∴设抛物线对应的函数解析式为，
将点的坐标代入得，
解得，
∴抛物线对应的函数解析式为，即；
（2）①∵，
∴将代入得，，
∴，
将代入得，，
解得或，
∴，，
∴设直线对应的函数解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线对应的函数解析式为，
∵P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，，
∴，
∴，
∵P为线段上一点（P不与点重合），
∴，
∴S与t的函数解析式为；
②∵，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为．
10.（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴C点的坐标为．
将点B、C的坐标分别代入，得
，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点E，此时的周长最小．

∵，点B的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
∵的对称轴是直线，
∴当时，，
∴点E的坐标是；
（3）解：∵点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为．
∵，，
∴，
即．m的取值范围是．
将化成顶点式为．
∴当时，S有最大值，．
11.（1）解：把，代入，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，设，，
∵，
∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）；
∴；
当以为对角线时，，解得：或，
∴或；
当以为对角线时，，解得：或（舍去）；
∴；
综上：或或或．
12.（1）解：设抛物线的表达式为：
将点代入得，
∴表达式为：；
（2）解：当时，，
得，，
∴，
设直线的表达式为：，
将代入得，解得，
∴直线的表达式为：，
过点作轴的垂线交于点，
设点，则点，
∴，
∴，
∵，
∴当是，的面积有最大值；最大值为8；
13.（1）解：把点，点代入抛物线，
得，
解得，
所以抛物线的解析式为，
令，
解得，
∴点B的坐标，
设直线的解析式为，
把，B的坐标代入，得，
解得
所以直线的解析式为．
（2）解：∵轴，点P的横坐标为m．
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴四边形面积，
，
∵，
∴有最大值，
∴当时，最大值为；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点，
∵，
∴，，；
分三种情况讨论：
①当时，，
∴，
解得，
∴；
②当时，，
∴，
解得，
∴；
③当时，，
∴，
整理得，
解得，
∴或，
综上所述，点的坐标为、、或．
14.（1）解：①把分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
故答案为：
②∵，
∴顶点D的坐标为；
故答案为：
③设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
故答案为：
（2）解：设点P的坐标为，
∵轴，
∴，
对于，当时，，
∴点C的坐标为，
即，
∴四边形面积，
∵，
∴当时，S取得最大值，最大值为；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，即轴，
∵点C的坐标为，
∴点M的纵坐标为3，
对于，当时，
，
解得：，
∴点M的坐标为．
15.（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶
解得∶．
∴抛物线的解析式为．
（2）①抛物线的解析式为，
抛物线与y轴交点坐标为，
，
设点坐标为，
∵
，
．
当时，，
当时，．
点的坐标或，
②设直线的解析式为，将代入，
得，
解得∶．
即直线的解析式为．
如图，
设点坐标为，则点坐标为，，
当时，有最大值．
此时的最大值为，
当时，，
∴点坐标为．
16.（1）解：将，代入得：
，
解得：，
二次函数的解析式为：．
（2）解：存在点M，使的周长最小，理由如下：
连接交抛物线对称轴于M，连接，如图：
∵得抛物线对称轴是，
，关于抛物线对称轴对称，
，
，
而当B、M、C共线时，最小，此时也最小，
故此时的周长最小
设直线为，将，代入得：
，
解得：，
直线解析式为：，
令时，得，
．
（3）解：如图，
设 ，则 ，
．
∵，
当时，有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为．