人教版九年级数学上册试题 第23章《旋转》复习题---旋转、对称几何变换（含答案）

第23章《旋转》复习题---旋转、对称几何变换
题型一：旋转的性质
1.如图，在 ABC中，，，，将 ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，是 ABC的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数．
3.如图，在 ABC中，，． 将 ABC绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．

题型二：旋转中的坐标问题
1.已知线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别为，将线段顺时针旋转后得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，将 ABC绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3.如图，已知 ABC三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：
(1)作出 ABC绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出的坐标；
(2)作出 ABC关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标
题型三：中心对称变换
1.已知点和关于原点对称，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．5
2.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.已知点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 ．
题型四:旋转变换之线段问题
1.已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明）
(1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；
(2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明．
2.如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．

3.正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到．
(1)求证： ；
(2)当时，求的长．
题型五：旋转变换之面积问题
1.将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（ ）
B． C． D．
2.把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
3.（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．
题型六：旋转变换之角度问题
1.如图， ABC中，，将 ABC绕点A逆时针方向旋转得到 ADE，与交于点G、F．
(1)求的度数；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
2.如图，在 ABC中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．

(1)若，写出旋转角及其度数；
(2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．
3.将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．

(1)求的值；
(2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
题型七：旋转与其他知识交汇问题
1.如图，以的斜边为一边在 ABC同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则正方形的边长为 ．

2.将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．

(1)如图，当点E在上时．
①若，则_____________°；
②求证：；
(2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由．
题型八：旋转的压轴问题
1.如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．
(1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到；
(2)求证：；
(3)若，，求正方形的边长．
2.如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．
(1)证明：．
(2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，求线段的长度．
3.如图， ABC和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
4.【模型建立】
（1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长．
【模型迁移】
（3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由．
5.如图，在 ABC中，，，将 ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数．
6.把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）．
（Ⅰ）当DE⊥AC时，旋转角α＝　 　度，AD与BC的位置关系是 　 　，AE与BC的位置关系是 　 　；
（Ⅱ）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（Ⅲ）当旋转角α＝　 　时，△ABD的面积最大．
参考答案
题型一：旋转的性质
1.B
【详解】解：∵将 ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，，
∴，
故选：B．
2.
【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转恰好得到，
∴，
∵，
∴．
3.证明：是由 ABC旋转得到

，，
，
题型二：旋转中的坐标问题
1.A
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
∵
∴
∵
∴
∴
∴点的坐标为
故选：A．
2.D
【详解】
解：由题知，点C是的中点，
，，
设，，．得，．即．
故选：D．
3.（1）解： ABC绕点顺时针旋转，如图所示，
∴点．
（2）解：根据 ABC关于原点成中心对称的，作图如下，
原因原点的中心对称，则点，，与点，，的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数，
∴，，，
∴．
题型三：中心对称变换
1.B
【详解】解：∵点和关于原点对称，
， ，
，
故选：B．
2.B
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
3.
【详解】解：∵点与点关于原点中心对称，
∴，即，
∴．
故答案为：．
题型四:旋转变换之线段问题
1.（1）解：将顺时针旋转，如图，

∵，，
∴A与点C重合，
∴，∵，，
∴，∵，∴，∴，∴ ；
（2）解：不成立，新结论为，
将顺时针旋转，如图，

∵，，
∴A与点C重合，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2.8
【详解】解：过点A作于M，

ABC是等边三角形，边长为6，
，
，
，
，
，
在中，，
当点E在DA延长线上时，，此时取最小值，
在中，，
正方形的边长为6，
，
在中，，
故答案为：8．
3.（1）证明：，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，即，
解得：，
则．
题型五：旋转变换之面积问题
1.C
【详解】解：∵ ABC和是等腰直角三角形，且斜边相等，
∴，
∴(ASA) ，
故选项A正确；
根据旋转的性质可得，
故选项B正确；
∵，，并不一定相等，
∴不一定全等，
故选项C错误；
∵，
∴,
∵,
∴，
∴，
∴,
∵ ，
∴，
故选项D正确；
故选C．
2.C
【详解】解：连接，如图，
四边形为正方形，，，
正方形绕点逆时针旋转得到正方形，
点在上，，
为等腰直角三角形，
而，
，
四边形的面积．
故选C．
3.（1），理由如下：
如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，
将顺时针旋转得，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
（2）如图，以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，连接．
绕点逆时针旋转得到，
，，．
由题知，，，
．．
．
，．
．
是等腰直角三角形，
．
．
，
．
（3）．
如图，连接，过点作于，
四边形是菱形，，
ADE，是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，，
，
题型六：旋转变换之角度问题
1.（1）解：∵
∴，
∵将绕点A顺时针方向旋转得到，
∴，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形．
2.（1）当时，
，
∵旋转得到，其中旋转到.
∴旋转角为；
（2）∵，
，
∵旋转得到，
∴ ABD≌ ACE
，
，
即，
，
即，
；
3.（1）根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
（2）根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，

∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
题型七：旋转与其他知识交汇问题
1.
【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，

∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵正方形的中心为O，
∴，
∵，
∴点A、C、O、B四点共圆，
∴，
∴，
又∵，
∴点C、三点共线，
过点A作于F，则，
∴，
在中，，
∴正方形的边长．
故答案为：．
2.（1）解：①四边形是矩形，
，
由旋转得：，
，
，
，
故答案：；
②由旋转可得：
，
，
，
，
又，
，
，
在和 FDE中
，
（），
，
又，
．
（2）解：如图，当时，
则点G在的垂直平分线上，
①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，

，
，
四边形是矩形，
，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，
旋转角；
②如图，当点G在左侧时，

同理可得是等边三角形，
，
旋转角．
题型八：旋转的压轴问题
1.（1）解：在正方形中，，
又顺时针旋转一定角度后得到，
绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到,
故答案为：A，90；
（2）证明：由旋转的性质得：，
四边形是正方形，
，即，
，即，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：设正方形的边长为，则，
，
，
由旋转的性质得：，
，
由（2）已证：，
，
又四边形是正方形，
，
则在中，，
即，
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为．
2.（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
由（1）得：，且，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（3）解：∵正方形的边长为，
∴，
设正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴线段的长度为．
3.（1）解：∵ ABC和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
，∵，，
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．
4.（1）证明：如图1中，∵四边形是正方形，
∴，，
在 ADE和中，
，
∴；
（2）解：如图2中，设交于点J．
由（1）知，，
，
∵EF是绕点E逆时针旋转得到，
∴，
在中，；
（3）解：结论：．
理由：如图3中，
∵四边形是菱形，
∴，，
在 ADE和中，
，
∴，
∴，
是绕点E逆时针旋转得到的，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
5.（1）
解：证明：∵ ABC绕点B按逆时针方向旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴．
（2）
解：由旋转可得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
6．解：（Ⅰ）如图所示，
∵ ADE为等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
∵ ABC为等腰直角三角形
∴，
∴
∴旋转角
∵，
∴
∴
∴与的位置关系是垂直
∵,
∴
∴
∴∥
（Ⅱ）如图所示
∵，
∴
∵ ABC与 ADE为等腰直角三角形
∴
在与中
∴≌
∴
∵
∴
∴
（Ⅲ）如图3、图4所示
∵ ADE绕点按逆时针方向旋转
∴点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动
∴当以为底边，点到的距离最大时，的面积最大
∴当时的面积最大
∴旋转角或时的面积最大