北师大版（2024）八年级上期末检测模拟试卷2（含解析）

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2024北师大版八年级上期末检测模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共12小题。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
某校对九年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为（单位：h）：3.5，4，3.5，5，5，3.5．这组数据的众数是（ ）
A． 3 B． 3.5 C． 4 D． 5
如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（ ）
A．1:5 B．1:25 C．5:1 D．25:1
如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　）
A．78 cm2 B．（4+）2cm2 C．cm2 D．cm2
若方程3x+by+c=0与cx-2y+12=0图象重合，设n为满足上述条件的（b，c）的组数，则n等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．有限多个但多于2
一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是（　　）
A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝
如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
利用教材中时计算器依次按键下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（　　）
A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a）
在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱 设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（　　）
A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣1）
1 、填空题（本大题共6小题）
为优选品种，某农业科技小组对甲、乙两种杂交水稻进行种植对比试验研究，近五年来这两种杂交水稻的亩产量的平均数（单位：千克）及方差s2见表格．明年准备从中选出一种品质更优的杂交水稻进行种植，则应选的品种是_______．
甲 乙
880 880
s2 2160 2500
若与互为相反数，则的值为___________．
点（2， b）与（a，- 4）关于y轴对称，则a= ，b=
在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE的度数等于__________．
定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边上的BC长为4，则等腰三角形ABC底边中线的长度为　 　 ．
1 、解答题（本大题共8小题）
请把下列解题过程补充完整并在括号中注明理由。
已知：如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=80°，求∠AGD．
解：∵EF∥AD （已知）
∴∠2 = ，（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠3 （ 等量代换 ）
∴AB∥ ， （ ）
∴∠BAC＋ =180°（ ）
又∵∠BAC = 80°， （已知）
∴∠AGD = °
（1）解方程组；
（2）化简．
已知：如图，DE∥BC,∠C=600,∠ADE=700，求∠A、∠B的度数．
如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发，甲轮船向南偏东 45°方向航行，乙轮船以每小时 15 海里的速度向南偏西 45°方向航行，2 小时后两艘轮船之间的距离为 50 海里，问甲轮船平均每小时航行多少海里？
实验室里，水平桌面上有甲、乙两个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2，用一个管子在甲、乙两个容器的15厘米高度处连通（即管子底端离容器底15厘米）．已知只有乙容器中有水，水位高2厘米，如图所示．现同时向甲、乙两个容器注水，平均每分钟注入乙容器的水量是注入甲容器水量的k倍．开始注水1分钟，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米．其中a，k均为正整数，当甲、乙两个容器的水位都到达连通管子的位置时，停止注水．甲容器的水位有2次比乙容器的水位高1厘米，设注水时间为t分钟．
（1）求k的值（用含a的代数式表示）．
（2）当甲容器的水位第一次比乙容器的水位高1厘米时，求t的值．
（3）当甲容器的水位第二次比乙容器的水位高1厘米时，求a，k，t的值．
为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比
七年级 7.5 a 7 45%
八年级 7.5 8 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
某商品的定价是5元，元旦期间，该商品优惠活动：若一次购买该商品的数量，超过2千克，则超过2千克的部分，价格打8折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款．
（1）根据题意，填写如表：
购买的数量/千克 1.5 2 3.5 4 …
付款金额/元 7.5 16 …
（2）若一次购买的数量为x千克，请你写出付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式；
（3）若某顾客一次购买该商品花费了38元，求该顾客购买商品的数量．
综合与探究：
如图，直线与轴，轴分别交于，两点，其中.
(1)求的值；
(2)若点是直线上的一个动点，当点仅在第一象限内运动时，试写出的面积与的函数关系式；
(3)探索：
①在(2)条件下，当点运动到什么位置时，的面积是；
②在①成立的情况下，在轴上是否存在一点，使△是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析
1 、选择题
【考点】众数．.
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
解：在这一组数据中3.5出现了3次，次数最多，故众数是3.5．
故选B．
【点评】本题考查了众数的定义，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
【考点】勾股定理的证明
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式，即可分别表示出大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积，从而得到结果.
由图可知，大正方形ABCD的面积，
小正方形EFGH的边长为，面积，
则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是25:1，
故选D.
【点评】解答本题的关键是读懂图形，知道大正方形ABCD的面积正好等于直角三角形斜边的平方.
【考点】二次根式的应用
【分析】首先根据题意求出大正方形的边长, 然后求出面积, 用大正方形的面积减去两个小正方形的面积,即可求得.
解:从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形,
大正方形的边长是(+)cm,
留下部分(即阴影部分)的面积是：(+)-30-48= cm2
故选D.
【点评】本题主要考查的是二次根式的加减法运算,属于基础题目.解决本题的关键是: 首先求出大正方形的边长,然后求出面积, 再减去两个小正方形的面积,即可求得.
【分析】将方程3x+by+c=0与cx-2y+12=0化为：y=--，y=+6，根据两图象重合，对应项相等即可求解．
解：已知方程可化为：y=--，y=+6，若两图象重合，
则有；-=，且-=6，解得（b，c）为（-1，6），（1，-6），
故n=2，
故选C．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．
解：设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是：+＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
【考点】平行线的判定，平行公理
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
解：
∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】计算器—数的开方
【分析】利用计算器得到的近似值即可作出判断．
解：∵≈2.646，
∴与最接近的是2.6，
故选：B．
【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是掌握计算器上常用按键的功能和使用顺序．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点即可求解．
解：点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（a，﹣b）．
故选A．
【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于x轴对称点纵坐标互为相反数，横坐标相等．　
【考点】一次函数的图象与系数的关系
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组即可.
解：甲需带钱x，乙带钱y，根据题意，得.故选:A.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
【考点】勾股定理，作图-基本作图
【分析】过点F作FG⊥AB于点G，根据作图信息及角平分线的性质可推出FC＝FG，再利用等面积法求出，最后由勾股定理即可求得结果．
解：过点F作FG⊥AB于点G，
由尺规作图可知，AF平分∠BAC，
∵，
∴FC⊥AC，
∴FC＝FG，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
在中，由勾股定理得；
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的作法与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作法与性质及利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
【考点】点的坐标
【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的长宽分别为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
解：矩形的长宽分别为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
…
此时甲、乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2012÷3=670…2，
故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
此时相遇点的坐标为：（﹣1，﹣1），
故选：D．
【点评】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
1 、填空题
【考点】方差
【分析】由表格可知两者的平均数相同，比较方差的大小即可.
解：由表格可知甲、乙两种水稻的平均数相同，但是甲的方差小于乙的方差
∴甲更稳定，
∴应该选甲，
故答案为：甲.
【点评】本题主要考查了利用方差作决策，解题的关键在于能够熟练掌握方差的定义.
【考点】非负数的性质：偶次方,非负数的性质：算术平方根
【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性以及相反数的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：5．
【点评】本题考查偶次方、算术平方根的非负性，理解算术平方根、偶次方的非负性以及相反数的定义是正确解答的前提．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；有理数的减法
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a、b的值
解：点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x ，y）．故a= - 2，b= - 4
【点评】此题主要考查了x轴、y轴对称的点的坐标，有理数的减法，掌握相应的运算法则是关键．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据反比例函数分母不为0求解即可．
解：∵，
∴x≠0，
故答案为：x≠0．
【点评】本题考查了反比例函数自变量x的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据AD是△ABC的角平分线，求出∠DAC的度数是多少；最后在Rt△ACE中，求出∠CAE的度数，即可求出∠DAE的度数．
解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=80°÷2=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°﹣∠C=20°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠CAE
=40°﹣20°
=20°，
即∠DAE的度数是20°．
故答案为：20°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形内角和是180°．
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，
∵底边BC的长为4，
∴腰长AB＝AC＝2，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，
∵底边BC的长为4，
∴腰长AB＝AC＝8，
∴等腰三角形ABC底边中线的长度为＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，分两种情况讨论是解题的关键．
1 、解答题
【考点】平行线的判定与性质
【分析】根据平行线的性质和判定填空即可．
解：∵EF∥AD（已知）
∴∠2 = ∠ 3 ，（ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠3（等量代换 ）
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行 ）
∴∠BAC＋∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAC = 80°，已知）
∴∠AGD = 100°
【点评】本题考查平行线的性质及判定，要熟练掌握并灵活运用．
【考点】二次根式的混合运算，解二元一次方程组
【分析】（1）根据加减消元法即可解答此方程组；
（2）根据二次根式的除法和平方差公式可以解答本题．
解：（1），
①+②，得：，
解得，
将代入①，得：，
∴原方程组的解是；
（2）
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法和解二元一次方程组的方法．
【考点】三角形内角和定理，平行线的性质
【分析】根据可知∠B=∠ADE，在△ABC中根据三角形内角和求出∠A即可.
解：∵DE//BC，，
∴∠B=∠ADE=70°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A=180°-60°-70°=50°
【点评】本题考查平行线定理及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键.
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间求得OB=30 海里，在Rt△AOB中，根据勾股定理求得OA的长，即可求得甲轮船的速度．
解：根据题意知∠AOB=90°，
OB=2×15=30 海里，AB=50 海里，
由勾股定理得，OA====40 海里，
则甲轮船每小时航行=20 海里．
答：甲轮船每小时航行 20 海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求得OA的长是解决问题的关键．
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程的应用
【分析】（1）根据“开始注水1分钟，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米”，即可得出a、k之间的关系式，变形后即可得出结论；
（2）根据两容器水位间的关系列出a、k、t的代数式，将（1）的结论代入其内整理后即可得出结论；
（3）由（1）中的k＝4﹣结合a、k均为正整数即可得出a、k的值，经检验后可得出a、k值合适，再将乙容器内水位上升的高度转换成甲容器内水位上升的高度结合水位上升的总高度＝单位时间水位上升的高度×注水时间即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）根据题意得：a+1＝2+，
解得；k＝4﹣．
（2）根据题意得：at＝1+2+，
∵k＝4﹣，
∴at＝3+（4﹣）＝3+at﹣t，
∴t＝3．
（3）∵k＝4﹣，且a、k均为正整数，
∴或．
∵a＜＝5，k＜4，
∴或符合题意．
①当时，15+（14﹣2）×4＝at+akt＝2t+4t，
解得：t＝；
②当时，15+（14﹣2）×4＝at+akt＝4t+12t，
解得：t＝．
综上所述：a、k、t的值为2、2、或4、3、．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据两容器半径及注水量的关系列出代数式是解题的关键．
【考点】平均数，众数，中位数，条形统计图
【分析】（1）七年级20名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出a的值，由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级8分及以上人数除以总人数20人即可得出c的值；
（2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论；
（3）用七八年级的合格总人数除以总人数40人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以1200即可得出答案．
解：（1）七年级20名学生的测试成绩的众数是：7，
∴，
由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：，
∴，
八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：50%
∴，
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高；
（3）七年级合格人数：18人，
八年级合格人数：18人，
人，
答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1080人．
【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数的概念是解决本题的关键．
【考点】 一元一次方程的应用．一次函数的应用
【分析】（1）根据某商品的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上种子，超过2千克的部分的商品的价格打8折，分别得出即可；
（2）根据当0≤x≤2，当x＞2时，分别求出即可，利用图表中点的坐标画出图象即可；
（3）根据y=38，求出x即可得出答案．
解：（1）填表如下：
购买的数量/千克 1.5 2 3.5 4 …
付款金额/元 7.5 10 16 18 …
故答案为：10，18．
（2）∵购买种子数量x与付款金额y之间的解析式，
当0≤x≤2时，y=5x，
当x＞2时，
y=10+0.8（x﹣2）×5=4x+4，
（3）依题意有4x+4=38，
解得：x=9.5．
答：该顾客购买商品的数量9.5千克．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知得出图表中点的坐标是解题关键．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；
（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
（3）①利用三角形的面积求出求出点A坐标；
解：（1）∵OB=1，
∴B（1，0），
∵点B在直线y=kx-2上，
∴k-2=0，
∴k=2
（2）由（1）知，k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，
∵点A（x，y）是第一象限内的直线y=2x-2上的一个动点，
∴y=2x-2（x＞1），
∴S=S△AOB=×OB×|yA|=×1×|2x-2|=x-1，
（3）①如图，
由（2）知，S=x-1，
∵△AOB的面积是1；
∴x=2，
∴A（2，2），
∴OA=2，
②设点P（m，0），
∵A（2，2），
∴OP=|m|，AP=，
①当OA=OP时，
∴2=|m|，
∴m=±2，
∴P1（-2，0），P2（2，0），
②当OA=AP时，
∴2=，
∴m=0或m=4，
∴P3（4，0），
③当OP=AP时，
∴|m|=，
∴m=2，
∴P4（2，0），
即：满足条件的所有P点的坐标为P1（-2，0），P2（2，0），P3（4，0），P4（2，0）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出点A的坐标．
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