北师大版（2024）八年级上期末检测模拟试卷1（含解析）

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2024北师大版八年级上期末检测模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（　　）
A．一亩八十步 B．一亩二十步
C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25和4
如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（　　）
A．145° B．150° C．155° D．160°
下列四个实数中，比大的无理数是（ ）
A． 0 B． C． D．
平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（　　）
A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称
中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四，人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（　　）
A． B． C． D．
2 、填空题（本大题共6小题）
学校要从王静、李玉两同学中选拔1人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话、体育知识和旅游知识，并将成绩依次按4：3：3记分．两人的各项选拔成绩如表所示，则最终胜出的同学是 　 　．
普通话 体育知识 旅游知识
王静 80 90 70
李玉 90 80 70
如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=　 　．
使有意义的x的取值范围是　 　．
（2025 山东）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是　 　 ．
勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝　 　．
如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y=﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018=　 　．
3 、解答题（本大题共8小题）
解方程组：
（2025 陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）
（2025 潍坊）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用h表示株高，40cm≤h≤60cm）
组别类型 A（40≤h＜44） B（44≤h＜48） C（48≤h＜52） D（52≤h＜56） E（56≤h＜60）
试验田玉米株频数 4 8 13 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图．
（2）补全试验田频数分布直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数，
（3）已知此生长期的玉米株高h满足48cm≤h＜56cm为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
（4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
有一块矩形地块，米，米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米、60 元/米、40元/米，设三种花卉的种植总成本为元．
（1）当时，求种植总成本；
（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，求三种花卉的最低种植总成本．
（2025 台湾）商店中贩卖一款包含A．B两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为16公分×5公分、18公分×5公分的长方形，如图1所示．
小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图2的长方形，其中奇数层为A图案，偶数层为B图案，且最后一层为A图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个A图案？
（2）已知每个组合包中A．B两种圆案的艺术纸片数量比为4：3，若小灿想购买一些组合包，贴成图（2）的长方形，其中第一层的A图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（Ⅰ）AE的长等于　　　　　　；
（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　．
如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．
（1）求C点坐标，
（2）求直线MN的解析式，
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
答案解析
1 、选择题
【考点】二次根式有意义的条件．分式有意义的条件
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型。　
【考点】勾股定理的应用．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．　
【分析】根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．
解：根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
∴（12，17）对应的是半亩八十四步，
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．
【考点】一次函数的性质．
【分析】根据定义先列不等式：2x﹣1≥﹣x+3和2x﹣1＜﹣x+3，确定其y=min{2x﹣1，﹣x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
解：由题意得：，解得：，
当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，
∴当x≥时，y=min{2x﹣1，﹣x+3}=﹣x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当2x﹣1＜﹣x+3时，x＜，
∴当x＜时，y=min{2x﹣1，﹣x+3}=2x﹣1，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，y=min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x=所对应的y的值，
如图所示，当x=时，y=，
故选D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设有辆车，人数为人，依题意得：
，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点】众数，平均数
【分析】根据平均数和众数的定义即可得出答案．
解：在这一组数据中1.5是出现次数最多的，故众数是1.5，
平均数==1.2，
故选：A．
【点评】本题考查了众数及平均数的知识，掌握概念和算法是解题关键.
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．　
【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可．
解：，
∵是无理数，
故答案为：C．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案．
解：平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．
故选：B．
【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组，数学常识．
【分析】根据“每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差了3钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵每人出钱，会多出4钱，
∴y＝x﹣4，
∵每人出钱，会差3钱，
∴y＝x+3．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点】勾股数．
【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．
解：∵当m＝3，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，
∴选项A不符合题意，
∵当m＝5，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，
∴选项B不符合题意，
∵当m＝7，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，
∴选项D不符合题意，
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】此题是一道探索性题目，考查了一次函数的性质、平行线分线段成比例定理等知识．通过计算得出B1B2B3各点横坐标，分析数的特点，总结出规律，便可求出Bn点的坐标．
解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，
∴A1（1，0），
A2（2，0），
A3（3，0），
…
An（n，0），
An+1（n+1，0），
∵分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1，作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，
∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，
则B1（1，2），
同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，
则B2（2，4），
B3（2，6），
…
Bn（n，2n），
Bn+1（n+1，2n+2），
根据题意知：P n是AnBn+1与 BnAn+1的交点，
设：直线AnBn+1的解析式为：y=k1x+b1，
直线BnAn+1的解析式为：y=k2x+b2，
∵An（n，0），An+1（n+1，0），Bn（n，2n），Bn+1（n+1，2n+2），
∴直线AnBn+1的解析式为：y=（2n+2）x﹣2n2﹣2n，
直线BnAn+1的解析式为：y=﹣2n x+2n2+2n，
∴P n（， ）
∴△AnBnPn的AnBn边上的高为：=,
△AnBnPn的面积Sn为:．
故选D．
【点评】此题主要考查了一次函数函数的综合，根据一次函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律，进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．
2 、填空题
【考点】加权平均数．
【分析】根据不同的权计算每个人的得分即可作出比较．
解：王静的成绩是：（80×4+90×3+70×3）÷（4+3+3）＝80（分），
李玉的成绩是：（90×4+80×3+70×3）÷（4+3+3）＝81（分），
∵81＞80，
∴最终胜出的同学是李玉．
故答案为：李玉．
【点评】本题考查了加权平均数的概念及求法，属于基础题，牢记加权平均数的计算公式是解题的关键．
【考点】垂线；平行线的性质
【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．
解：∵DA⊥CE，
∴∠DAE=90°，
∵∠EAB=30°，
∴∠BAD=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠D=∠BAD=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：∵有意义，
∴x的取值范围是：x≥6．
故答案为：x≥6．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，要求同学们掌握二次根式有意义则被开方数为非负数．　
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
解：由题知，
将点P（3，4）向下平移2个单位长度后，所得点P′的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
【考点】勾股定理的证明，数学常识．
【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．
解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．
【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键．
【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
解：如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC=CA1=P1C=3，
设A1D=a，则P2D=a，
∴OD=6+a，
∴点P2坐标为（6+a，a），
将点P2坐标代入y=﹣x+4，得：﹣（6+a）+4=a，
解得：a=，
∴A1A2=2a=3，P2D=，
同理求得P3E=、A2A3=，
∵S1=×6×3=9、S2=×3×=、S3=××=、……
∴S2018=，
故答案为：．
【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
3 、解答题
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用代入消元法解之
由②，得2x－2y＝1；…③
1 －③，得y＝4；
将y＝4代入①，得 x＝；
∴
【考点】作图—复杂作图，平行线的性质
【分析】先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，则点P即为所求．
解：如图，先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，
∴25°，
∴∠AOP＝25°，CP∥OB，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】频数（率）分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，方差，频数（率）分布表
【分析】（1）根据样本中数据的个数，最大值、最小值、极差以及组距、组数综合进行判断可，
（2）根据“示意图”“对比田”的频数分布表完成频数分布直方图，计算“对照田”各组所占的百分比进而补全扇形统计图，计算相应圆心角的度数，
（3）根据两个统计图中所蕴含的信息进行解答即可，
（4）根据“试验田”，“对照田”的玉米株高的平均数、中位数、众数以及方差进行解答即可．
解：（1）不赞同，理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．若组距为4，可以分成5组是合适的．若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律，
（2）补全“试验田”频数分布直方图如下：
“对照田”的玉米株高扇形统计图中，D组对应的圆心角为360°×35%＝126°，
（3）试验田中长势良好的玉米株数为15+11＝26（株），占比65%，
对照田中长势良好数占比为35%+15%＝50%，
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田中长势良好的玉米株数占比，
（4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内，从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中，整体长势试验田好于对照田．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图，扇形统计图，中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数、方差的定义，掌握频率＝频数÷总数是正确解答的关键．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）参考（1），由题意得：；
（3），，则，即可求解．
解：（1）当时，，，
故
；
（2），，参考（1），由题意得：；
（3），
同理，
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，
，
解得：，
故，
而随的增大而减小，故当时，的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
【点评】本题考查了一次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）先求出16与18的最小公倍数为144，进而得出答案，
（2）设图案A的层数为m，B图案的层数为n，列出方程组，进而得出答案．
解：（1）16与18的最小公倍数为144，
144÷16＝9（个），
答：以上述方式贴成的长方形，第一层最少有9个A图案．
（2）不可以，理由如下：
设图案A的层数为m，B图案的层数为n，
解得：，
∵m、n为整数，
故不可以．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键．
【考点】平行线的判定；三角形的外角性质，三角形内角和定理，邻补角定义，角平分线定义．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理．
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
解：（Ⅰ）AE==；
故答案为：；
（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）通过解方程x2﹣14x+48＝0可以求得OC＝6，OA＝8．则C（0，6），
（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．把点A．C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值，
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0得
x1＝6，x2＝8．
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，
∴OC＝6，OA＝8．
∴C（0，6），
（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA＝8，则A（8，0）．
∵点A．C都在直线MN上，
∴，
解得，，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6，
（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
∵点P在直线MNy＝﹣x+6上，
∴设P（a，﹣a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3），
②当PC＝BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2＝64，
解得，a＝，则P2（﹣，），P3（，），
③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，
解得，a＝，则﹣a+6＝﹣，∴P4（，﹣）．
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．
【点评】本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．
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