8.4 数字问题（同步练习.含解析）-2025-2026学年四年级上册数学人教版
文档属性
| 名称 | 8.4 数字问题（同步练习.含解析）-2025-2026学年四年级上册数学人教版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-06 00:00:00 | ||
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文档简介
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8.4 数字问题
一．选择题（共5小题）
1．（2025春 渝中区期末）是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。F是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2025春 莱芜区期末）从1到100一共写了（ ）个9。
A．19 B．9 C．20
3．（2025春 和平区期末）一个三位数，各个数位上数字的和是3，这样的数中偶数有（ ）个．
A．2 B．3 C．5 D．4
4．（2025春 汉南区期末）已知三位数“4□1”正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024秋 南山区期末）如果三位数的中间位置的数字大于其首位数字与末位数字之和，我们就将其称为友好三位数。那么连续的友好三位数最多可能有（ ）个。
A．5 B．6 C．7 D．8
E．9
二．填空题（共3小题）
6．（2025 岳麓区）设a和b是从集合{1，21，22，23，……，210}中取出的两个数，且满足ab﹣（a+b）＝104，则a+b＝ 。
7．（2025 岳麓区）有一列正整数1、2、3、4、……、9、10、11、12、……，顺次排成12345678910111213……，第11个数字是0，第15个数字是2；则第208位数字是 。
8．（2025 渝北区）自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为S（n），偶数数字的和记为E（n），例如S（134）＝1+3＝4，E（134）＝4，则S（1）+S（2）+……+S（100）＝ ，E（1）+E（2）+……+E（100）＝ 。
三．判断题（共4小题）
9．（2025春 沂源县期中）从1写到100，一共写了21个8。
10．（2024春 沂源县期中）从1写到100一共写出了20个1。
11．（2021春 河口区期末）从1写到100，一共写了10个8。
12．（2010 慈溪市校级自主招生）从1991到5678的自然数中，十位上的数字与个位上的数字相同的数共有369个．… ．
四．应用题（共3小题）
13．（2025 济南）有一个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2倍，百位与个位数字的乘积恰好是十位上数字的2倍，这个三位数是多少？请用合理的方式表示你的思考过程。
14．（2025 九龙坡区）如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”。
（1）最小的四位依赖数是 ；
（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫作“特色数”，求所有特色数。
15．（2024 北碚区校级模拟）黑板上任意写上一个正整数，在它的约数之外，找出最小的正整数，擦去原数，写上这个最小的正整数（例如：开始写的数是12，在12的约数之外，最小的正整数是5，擦去12，写上5）。这样继续下去，直到黑板上出现2为止。对于任意的一个正整数，最多擦多少次，黑板上就可以出现2？请说明理由。
8.4 数字问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025春 渝中区期末）是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。F是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】数字问题．
【专题】数感；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意可知，前两位数是2的倍数，说明B是偶数，则B可能是2、4、6；前三位数是3的倍数，说明A+B+C是3的倍数；前四位数是4的倍数，则CD组成的两位数是4的倍数；前五位数是5的倍数，说明E是5；整个六位数是6的倍数，说明这个六位数同时是2和3的倍数，即F可能是2、4、6，且各个位上数字之和是3的倍数，1+2+3+4+5+6＝21，21是3的倍数，即这六个数字组成的六位数一定是3的倍数，F只需考虑符合条件的偶数，据此分析确保满足题目中的所有条件。
【解答】解：
由分析可知，E一定是5，B可能是2、4、6，D可能是2、4、6，F可能是2、4、6，因为只有三个偶数，所以这三个偶数一定不相邻，前四位数是4的倍数，则CD可能是12、16、32、36，当CD为12时，A只能是3，这个六位数是341256（3+4+1＝8，8不是3的倍数）或361254（3+6+1＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当CD为16时，A只能是3，这个六位数是321654（3+2+1＝6，6是3的倍数）或341652（3+4+1＝8，8不是3的倍数），341652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数321654符合题意；当CD为32时，A只能是1，这个六位数是143256（1+4+3＝8，8不是3的倍数）或163254（1+6+3＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当CD为36时，A只能是1，这个六位数是123654（1+2+3＝6，6是3的倍数）或143652（1+4+3＝8，8不是3的倍数），143652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数123654符合题意。
综上所述，这个六位数是321654或123654，所以F是4。
故选：B。
【点评】本题主要考查2、3、4、5、6的倍数特征，先确定E的值，再从4的倍数特征解决问题，逐步分析找出符合所有条件的六位数是解答题目的关键。
2．（2025春 莱芜区期末）从1到100一共写了（ ）个9。
A．19 B．9 C．20
【考点】数字问题．
【专题】数感．
【答案】C
【分析】分类计数，再相加。如：1﹣9中有1个9，10﹣89中一共有8个9，90﹣100中，有11个9。然后加和算出答案选择即可。
【解答】解：经分析得：
从1到100一共写的9的个数为：
1+8+11
＝9+11
＝20
故选：C。
【点评】本题考查数字问题。分类计数再相加解决问题即可。
3．（2025春 和平区期末）一个三位数，各个数位上数字的和是3，这样的数中偶数有（ ）个．
A．2 B．3 C．5 D．4
【考点】数字问题．
【专题】整除性问题．
【答案】D
【分析】把3拆分为3个数字的和，再根据排列组合知识和偶数的特征（个位是0、2、4、6、8）列举解答即可．
【解答】解：3＝0+0+3＝0+1+2＝1+1+1
①3＝0+0+3
这样的数中偶数有：300
②3＝0+1+2
这样的数中偶数有：210、120、102
③3＝1+1+1
不能组成偶数，
所以共有：1+3＝4（个）
答：这样的数中偶数有4个．
故选：D．
【点评】解答本题关键是明确偶数的特征：个位是0、2、4、6、8．
4．（2025春 汉南区期末）已知三位数“4□1”正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；推理能力．
【答案】B
【分析】4□1是连续三个自然数的和，意味着平均值是中间的哪个数，也意味着4□1可以被3整除，4+1＝5，那么□里可能是1、4、7，也就是3个连续自然数的和可能是411、441、471，据此解答．
【解答】解：4□1是连续三个自然数的和，意味着平均值是中间的哪个数，也意味着4□1可以被3整除，
4+1＝5，那么□里可能是1、4、7，
所以只有选项B符合要求．
故选：B．
【点评】认真分析题意，知道“4□1是连续三个自然数的和，意味着平均值是中间的哪个数，也意味着4□1可以被3整除”是解题的关键．
5．（2024秋 南山区期末）如果三位数的中间位置的数字大于其首位数字与末位数字之和，我们就将其称为友好三位数。那么连续的友好三位数最多可能有（ ）个。
A．5 B．6 C．7 D．8
E．9
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】D
【分析】三位数的中间位置的数字大于其首位数字与末位数字之和，要使连续的友好三位数个数最多，首位数字应是1，中间数字是9，则末位数字可以是0到7，据此解答。
【解答】解：通过分析可得连续的友好三位数最多是190、191、192、193、194、195、196、197，共8个。
答：连续的友好三位数最多可能有8个。
故选：D。
【点评】本题考查了位值原理与数字问题的综合运用。
二．填空题（共3小题）
6．（2025 岳麓区）设a和b是从集合{1，21，22，23，……，210}中取出的两个数，且满足ab﹣（a+b）＝104，则a+b＝ 24 。
【考点】数字问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】24。
【分析】已知ab﹣（a+b）＝104，则ab﹣a﹣b+1＝104+1，即（a﹣1）（b﹣1）＝105，因为105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15，分情况去解答。
【解答】解：已知ab﹣（a+b）＝104，
则ab﹣a﹣b+1＝104+1，
即（a﹣1）（b﹣1）＝105，
因为105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15，
当a﹣1＝1，b﹣1＝105时，a＝2，b＝106，106不在集合{1，21，22，23，……，210}中，不符合要求；
当a﹣1＝3，b﹣1＝35时，a＝4，b＝36，36不在集合{1，21，22，23，……，210}中，不符合要求；
当a﹣1＝6，b﹣1＝21时，a＝6，b＝22，6、22不在集合{1，21，22，23，……，210}中，不符合要求；
当a﹣1＝7，b﹣1＝15时，a＝8，b＝16，8、16在集合{1，21，22，23，……，210}中，符合要求，
所以a+b＝8+16＝24
故答案为：24。
【点评】本题考查的是数字问题的应用。
7．（2025 岳麓区）有一列正整数1、2、3、4、……、9、10、11、12、……，顺次排成12345678910111213……，第11个数字是0，第15个数字是2；则第208位数字是 1 。
【考点】数字问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】1。
【分析】这列数中一位数占9位，两位数占[（99﹣10+1）×2]位，计算三位数从第几位开始，然后计算第208位数字。
【解答】解：一位数占9位，
两位数占：（99﹣10+1）×2＝180（位），
这些数字共占：9+180＝189（位），
三位数从：189+1＝190（位）开始，
208﹣190＝19（位）
19÷3＝6（个）……1（位）
第208位数字是三位数106的百位上数字，则第208位数字是1。
答：第208位数字是1。
故答案为：1。
【点评】本题考查的是数字问题的应用。
8．（2025 渝北区）自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为S（n），偶数数字的和记为E（n），例如S（134）＝1+3＝4，E（134）＝4，则S（1）+S（2）+……+S（100）＝ 501 ，E（1）+E（2）+……+E（100）＝ 400 。
【考点】数字问题．
【专题】穷举法；推理能力．
【答案】501，400。
【分析】把两位数的十位上的数字分为偶数字和奇数字来个解答。
【解答】解：S（1）+S（2）+……+S（100）：十位上是偶数的两位数和一位数S（n）的和是：（1+0+3+0+5+0+7+0+9）×5；十位上是奇数的两位数S（n）的和是：（1+3+5+7+9）×5+（2+4+6+8+10）+（4+6+8+10+12）+（6+8+10+12+14）+（8+10+12+14+16）+（10+12+14+16+18）+1。
S（1）+S（2）+……+S（100）＝25×5+25×5+30+40+50+60+70+1＝501。
E（1）+E（2）+……+E（100）：十位上是奇数的两位数和一位数E（n）的和是（0+2+0+4+0+6+0+8+0）×6；十位上是偶数的两位数E（n）的和是：（2+4+6+8+10+2×5）+（4+6+8+10+12+4×5）+（6+8+10+12+14+6×5）+（8+10+12+14+16+8×5），
E（1）+E（2）+……+E（100）＝120+40+60+80+100+0＝400。
故答案为：501，400。
【点评】分类计算，找出规律是解决本题的关键
三．判断题（共4小题）
9．（2025春 沂源县期中）从1写到100，一共写了21个8。 ×
【考点】数字问题．
【专题】应用意识．
【答案】×。
【分析】根据题意，写出1到100中含有“8”的数，8、18、28、38、48、58、68、78、88、98、80、81、82、83、84、85、86、87、89，这里需要注意88里面书写了2个8，据此解答。
【解答】解：从1写到100，一共写了20个8，不是21个8，即原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了数字问题的应用。
10．（2024春 沂源县期中）从1写到100一共写出了20个1。 ×
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；推理能力．
【答案】×
【分析】分别写出个位、十位、百位上1的数字，数一数一共有几个，就写了几个“1”。
【解答】解：个位上1的数字是：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91，共10个数；
十位上1的数字是：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，共10个数；
百位上1的数字是：100，1个数。
一共有：10+10+1＝21（个）。
即一共写了21个“1”，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查了数字问题，明确要求写了几个“1”就是数一数个位、十位、百位上1的数字一共有多少即可，注意，重复的数字不用减掉。
11．（2021春 河口区期末）从1写到100，一共写了10个8。 ×
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】×
【分析】本题根据数位进行分析，在1～100中，8在个位出现了10次，十位出现了10次，据此解答即可。
【解答】解：8在个位出现了10次，
在十位出现了10次，
所以在这100个数中，共写了：10+10＝20（个）；
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此类数字问题我们也可分段进行分析。
12．（2010 慈溪市校级自主招生）从1991到5678的自然数中，十位上的数字与个位上的数字相同的数共有369个．… √ ．
【考点】数字问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】1999算一个．从0到99里，共有10个这样的数字（00算一个，比如2000）．那么，从0到999就有10×10个．那么，从2000到2999，从3000到3999，4000到4999，一共有300个．从5000到5678共有68个，再加上1999，所以共有300+68+1＝369个．
【解答】解：1991～1999，有一个；
由于从0到99里，共有10个这样的数字，
所以从0到999就有10×10＝100（个），
则从2000～4999共有：100×3＝300（个）这样的数字；
从5000到5678共有68个；
则从1991到5678的自然数中，十位上的数字与个位上的数字相同的数共有：
1+300+68＝369（个）．
故答案为：√．
【点评】了解自然数的组合规律是完成本题的关键．
四．应用题（共3小题）
13．（2025 济南）有一个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2倍，百位与个位数字的乘积恰好是十位上数字的2倍，这个三位数是多少？请用合理的方式表示你的思考过程。
【考点】数字问题．
【专题】应用题；数据分析观念．
【答案】693。
【分析】根据“这个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2倍”，分别假设个位是1、2、3、4，再求出百位和十位数字，列举出所有情况即可解题。
【解答】解：百位数字是个位数字的2倍，假设个位是1，则百位是2，十位是：2×1÷2＝1，个位与十位数字相同，不符合题意；
假设个位是2，则百位是4，十位是：2×4÷2＝4，个位与十位数字相同，不符合题意；
假设个位是3，则百位是6，十位是：3×6÷2＝9，这个数是693，符合题意；
假设个位是4，则百位是8，十位是：4×8÷2＝16，不能组成三位数，不符合题意；
答：这个三位数是693。
【点评】解答本题的关键是设个位是1、2、3、4，再分别求出百位和十位数字。
14．（2025 九龙坡区）如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”。
（1）最小的四位依赖数是 1022 ；
（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫作“特色数”，求所有特色数。
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】（1）1022；（2）2226和3066。
【分析】（1）要使四位依赖数最小，那么千位数字是1，百位数字是0，然后求出十位数字和个位数字即可。
（2）设这个四位依赖数是，根据题意可得c＝2a﹣b，d＝2a﹣b，且3b﹣3就是7的倍数；据此解答即可。
【解答】解：（1）要使四位依赖数最小，那么千位数字是1，百位数字是0，
则十位数字＝1×2﹣0＝2
个位数字＝1×2+0＝2
所以最小的四位依赖数是1022。
（2）设这个四位依赖数是，根据题意可得：
c＝2a﹣b
d＝2a+b
3b﹣3就是7的倍数；
则3b﹣3
＝100b+10×（2a﹣b）+2a+b﹣3b﹣3
＝88b+22a﹣3
＝21×（4b+a）+（4b+a﹣3）
所以只要（4b+a﹣3）是7的倍数即可，
a为1～4，b最大为7，
如果a＝1，则4b+a﹣3＝2（2b﹣1）是7的倍数，则b＝4，c＝2a﹣b＝﹣2，不符合题意，舍去；
如果a＝2，则4b+a﹣3＝4b﹣1是7的倍数，则b＝2，c＝2a﹣b＝2，d＝2a+b＝6，符合题意，“特色数”＝2226；
如果a＝3，则4b+a﹣3＝4b是7的倍数，则b＝0或7，
①b＝0，c＝2a﹣b＝6，d＝2a+b＝6，符合题意，“特色数”＝3066；
②b＝7，c＝2a﹣b＝﹣1，不符合题意，舍去。
答：所有特色数是2226和3066。
故答案为：1022。
【点评】本题主要考查了数字问题与数的组成问题的灵活运用。
15．（2024 北碚区校级模拟）黑板上任意写上一个正整数，在它的约数之外，找出最小的正整数，擦去原数，写上这个最小的正整数（例如：开始写的数是12，在12的约数之外，最小的正整数是5，擦去12，写上5）。这样继续下去，直到黑板上出现2为止。对于任意的一个正整数，最多擦多少次，黑板上就可以出现2？请说明理由。
【考点】数字问题．
【专题】应用意识．
【答案】3次。理由为：①如果黑板上的数是偶数2，则不用擦；②如果黑板上的数是奇数，则擦后即出现2；③如果黑板上的数是偶数n（n＞2），则最多擦3次。
【分析】分析每次写上的数与原数约数的关系，找出出现2最多需要擦写的次数。我们从最初给定的正整数出发，按照规则依次找出在约数之外最小的正整数并替换原数，观察经过几次这样的操作能得到2。
【解答】解：第一次操作：
设最初写在黑板上的正整数为n。
当n＞1时，若n是奇数，那么1和n是它的约数，2不是它的约数，所以在它约数之外最小的正整数就是2，此时只需要擦1次就出现2；
若n是偶数，设n＝2k（k为正整数），1、2是它的约数，3有可能不是它的约数（比如4，约数是1、2、4，3不在约数中），所以在约数之外最小的正整数可能是3。
第二次操作：
若第一次写上的数是3，3的约数是1和3，那0么在它约数之外最小的正整数就是2，此时总共擦了2次就出现2了；
若第一次写上的数不是3，比如第一次写上的数是偶数且不是2的倍数，设这个数为m，1是它的约数，2不是它的约数，所以在它约数之外最小的正整数就是2，此时总共擦了2次就出现2了。
第三次操作：
若第一次写上的数既不是2也不是3，且经过第二次操作后得到的数既不是2也不是3。设第二次写上的数为P，若P不是2的倍数，那么在它约数之外最小的正整数就是2，此时总共擦了3次就出现2了。
答：对于任意的一个正整数，最多擦3次，黑板上就可以出现2。
【点评】本题考查了最值问题的应用。
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8.4 数字问题
一．选择题（共5小题）
1．（2025春 渝中区期末）是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。F是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2025春 莱芜区期末）从1到100一共写了（ ）个9。
A．19 B．9 C．20
3．（2025春 和平区期末）一个三位数，各个数位上数字的和是3，这样的数中偶数有（ ）个．
A．2 B．3 C．5 D．4
4．（2025春 汉南区期末）已知三位数“4□1”正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024秋 南山区期末）如果三位数的中间位置的数字大于其首位数字与末位数字之和，我们就将其称为友好三位数。那么连续的友好三位数最多可能有（ ）个。
A．5 B．6 C．7 D．8
E．9
二．填空题（共3小题）
6．（2025 岳麓区）设a和b是从集合{1，21，22，23，……，210}中取出的两个数，且满足ab﹣（a+b）＝104，则a+b＝ 。
7．（2025 岳麓区）有一列正整数1、2、3、4、……、9、10、11、12、……，顺次排成12345678910111213……，第11个数字是0，第15个数字是2；则第208位数字是 。
8．（2025 渝北区）自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为S（n），偶数数字的和记为E（n），例如S（134）＝1+3＝4，E（134）＝4，则S（1）+S（2）+……+S（100）＝ ，E（1）+E（2）+……+E（100）＝ 。
三．判断题（共4小题）
9．（2025春 沂源县期中）从1写到100，一共写了21个8。
10．（2024春 沂源县期中）从1写到100一共写出了20个1。
11．（2021春 河口区期末）从1写到100，一共写了10个8。
12．（2010 慈溪市校级自主招生）从1991到5678的自然数中，十位上的数字与个位上的数字相同的数共有369个．… ．
四．应用题（共3小题）
13．（2025 济南）有一个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2倍，百位与个位数字的乘积恰好是十位上数字的2倍，这个三位数是多少？请用合理的方式表示你的思考过程。
14．（2025 九龙坡区）如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”。
（1）最小的四位依赖数是 ；
（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫作“特色数”，求所有特色数。
15．（2024 北碚区校级模拟）黑板上任意写上一个正整数，在它的约数之外，找出最小的正整数，擦去原数，写上这个最小的正整数（例如：开始写的数是12，在12的约数之外，最小的正整数是5，擦去12，写上5）。这样继续下去，直到黑板上出现2为止。对于任意的一个正整数，最多擦多少次，黑板上就可以出现2？请说明理由。
8.4 数字问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025春 渝中区期末）是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。F是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】数字问题．
【专题】数感；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意可知，前两位数是2的倍数，说明B是偶数，则B可能是2、4、6；前三位数是3的倍数，说明A+B+C是3的倍数；前四位数是4的倍数，则CD组成的两位数是4的倍数；前五位数是5的倍数，说明E是5；整个六位数是6的倍数，说明这个六位数同时是2和3的倍数，即F可能是2、4、6，且各个位上数字之和是3的倍数，1+2+3+4+5+6＝21，21是3的倍数，即这六个数字组成的六位数一定是3的倍数，F只需考虑符合条件的偶数，据此分析确保满足题目中的所有条件。
【解答】解：
由分析可知，E一定是5，B可能是2、4、6，D可能是2、4、6，F可能是2、4、6，因为只有三个偶数，所以这三个偶数一定不相邻，前四位数是4的倍数，则CD可能是12、16、32、36，当CD为12时，A只能是3，这个六位数是341256（3+4+1＝8，8不是3的倍数）或361254（3+6+1＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当CD为16时，A只能是3，这个六位数是321654（3+2+1＝6，6是3的倍数）或341652（3+4+1＝8，8不是3的倍数），341652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数321654符合题意；当CD为32时，A只能是1，这个六位数是143256（1+4+3＝8，8不是3的倍数）或163254（1+6+3＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当CD为36时，A只能是1，这个六位数是123654（1+2+3＝6，6是3的倍数）或143652（1+4+3＝8，8不是3的倍数），143652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数123654符合题意。
综上所述，这个六位数是321654或123654，所以F是4。
故选：B。
【点评】本题主要考查2、3、4、5、6的倍数特征，先确定E的值，再从4的倍数特征解决问题，逐步分析找出符合所有条件的六位数是解答题目的关键。
2．（2025春 莱芜区期末）从1到100一共写了（ ）个9。
A．19 B．9 C．20
【考点】数字问题．
【专题】数感．
【答案】C
【分析】分类计数，再相加。如：1﹣9中有1个9，10﹣89中一共有8个9，90﹣100中，有11个9。然后加和算出答案选择即可。
【解答】解：经分析得：
从1到100一共写的9的个数为：
1+8+11
＝9+11
＝20
故选：C。
【点评】本题考查数字问题。分类计数再相加解决问题即可。
3．（2025春 和平区期末）一个三位数，各个数位上数字的和是3，这样的数中偶数有（ ）个．
A．2 B．3 C．5 D．4
【考点】数字问题．
【专题】整除性问题．
【答案】D
【分析】把3拆分为3个数字的和，再根据排列组合知识和偶数的特征（个位是0、2、4、6、8）列举解答即可．
【解答】解：3＝0+0+3＝0+1+2＝1+1+1
①3＝0+0+3
这样的数中偶数有：300
②3＝0+1+2
这样的数中偶数有：210、120、102
③3＝1+1+1
不能组成偶数，
所以共有：1+3＝4（个）
答：这样的数中偶数有4个．
故选：D．
【点评】解答本题关键是明确偶数的特征：个位是0、2、4、6、8．
4．（2025春 汉南区期末）已知三位数“4□1”正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；推理能力．
【答案】B
【分析】4□1是连续三个自然数的和，意味着平均值是中间的哪个数，也意味着4□1可以被3整除，4+1＝5，那么□里可能是1、4、7，也就是3个连续自然数的和可能是411、441、471，据此解答．
【解答】解：4□1是连续三个自然数的和，意味着平均值是中间的哪个数，也意味着4□1可以被3整除，
4+1＝5，那么□里可能是1、4、7，
所以只有选项B符合要求．
故选：B．
【点评】认真分析题意，知道“4□1是连续三个自然数的和，意味着平均值是中间的哪个数，也意味着4□1可以被3整除”是解题的关键．
5．（2024秋 南山区期末）如果三位数的中间位置的数字大于其首位数字与末位数字之和，我们就将其称为友好三位数。那么连续的友好三位数最多可能有（ ）个。
A．5 B．6 C．7 D．8
E．9
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】D
【分析】三位数的中间位置的数字大于其首位数字与末位数字之和，要使连续的友好三位数个数最多，首位数字应是1，中间数字是9，则末位数字可以是0到7，据此解答。
【解答】解：通过分析可得连续的友好三位数最多是190、191、192、193、194、195、196、197，共8个。
答：连续的友好三位数最多可能有8个。
故选：D。
【点评】本题考查了位值原理与数字问题的综合运用。
二．填空题（共3小题）
6．（2025 岳麓区）设a和b是从集合{1，21，22，23，……，210}中取出的两个数，且满足ab﹣（a+b）＝104，则a+b＝ 24 。
【考点】数字问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】24。
【分析】已知ab﹣（a+b）＝104，则ab﹣a﹣b+1＝104+1，即（a﹣1）（b﹣1）＝105，因为105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15，分情况去解答。
【解答】解：已知ab﹣（a+b）＝104，
则ab﹣a﹣b+1＝104+1，
即（a﹣1）（b﹣1）＝105，
因为105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15，
当a﹣1＝1，b﹣1＝105时，a＝2，b＝106，106不在集合{1，21，22，23，……，210}中，不符合要求；
当a﹣1＝3，b﹣1＝35时，a＝4，b＝36，36不在集合{1，21，22，23，……，210}中，不符合要求；
当a﹣1＝6，b﹣1＝21时，a＝6，b＝22，6、22不在集合{1，21，22，23，……，210}中，不符合要求；
当a﹣1＝7，b﹣1＝15时，a＝8，b＝16，8、16在集合{1，21，22，23，……，210}中，符合要求，
所以a+b＝8+16＝24
故答案为：24。
【点评】本题考查的是数字问题的应用。
7．（2025 岳麓区）有一列正整数1、2、3、4、……、9、10、11、12、……，顺次排成12345678910111213……，第11个数字是0，第15个数字是2；则第208位数字是 1 。
【考点】数字问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】1。
【分析】这列数中一位数占9位，两位数占[（99﹣10+1）×2]位，计算三位数从第几位开始，然后计算第208位数字。
【解答】解：一位数占9位，
两位数占：（99﹣10+1）×2＝180（位），
这些数字共占：9+180＝189（位），
三位数从：189+1＝190（位）开始，
208﹣190＝19（位）
19÷3＝6（个）……1（位）
第208位数字是三位数106的百位上数字，则第208位数字是1。
答：第208位数字是1。
故答案为：1。
【点评】本题考查的是数字问题的应用。
8．（2025 渝北区）自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为S（n），偶数数字的和记为E（n），例如S（134）＝1+3＝4，E（134）＝4，则S（1）+S（2）+……+S（100）＝ 501 ，E（1）+E（2）+……+E（100）＝ 400 。
【考点】数字问题．
【专题】穷举法；推理能力．
【答案】501，400。
【分析】把两位数的十位上的数字分为偶数字和奇数字来个解答。
【解答】解：S（1）+S（2）+……+S（100）：十位上是偶数的两位数和一位数S（n）的和是：（1+0+3+0+5+0+7+0+9）×5；十位上是奇数的两位数S（n）的和是：（1+3+5+7+9）×5+（2+4+6+8+10）+（4+6+8+10+12）+（6+8+10+12+14）+（8+10+12+14+16）+（10+12+14+16+18）+1。
S（1）+S（2）+……+S（100）＝25×5+25×5+30+40+50+60+70+1＝501。
E（1）+E（2）+……+E（100）：十位上是奇数的两位数和一位数E（n）的和是（0+2+0+4+0+6+0+8+0）×6；十位上是偶数的两位数E（n）的和是：（2+4+6+8+10+2×5）+（4+6+8+10+12+4×5）+（6+8+10+12+14+6×5）+（8+10+12+14+16+8×5），
E（1）+E（2）+……+E（100）＝120+40+60+80+100+0＝400。
故答案为：501，400。
【点评】分类计算，找出规律是解决本题的关键
三．判断题（共4小题）
9．（2025春 沂源县期中）从1写到100，一共写了21个8。 ×
【考点】数字问题．
【专题】应用意识．
【答案】×。
【分析】根据题意，写出1到100中含有“8”的数，8、18、28、38、48、58、68、78、88、98、80、81、82、83、84、85、86、87、89，这里需要注意88里面书写了2个8，据此解答。
【解答】解：从1写到100，一共写了20个8，不是21个8，即原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了数字问题的应用。
10．（2024春 沂源县期中）从1写到100一共写出了20个1。 ×
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；推理能力．
【答案】×
【分析】分别写出个位、十位、百位上1的数字，数一数一共有几个，就写了几个“1”。
【解答】解：个位上1的数字是：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91，共10个数；
十位上1的数字是：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，共10个数；
百位上1的数字是：100，1个数。
一共有：10+10+1＝21（个）。
即一共写了21个“1”，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查了数字问题，明确要求写了几个“1”就是数一数个位、十位、百位上1的数字一共有多少即可，注意，重复的数字不用减掉。
11．（2021春 河口区期末）从1写到100，一共写了10个8。 ×
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】×
【分析】本题根据数位进行分析，在1～100中，8在个位出现了10次，十位出现了10次，据此解答即可。
【解答】解：8在个位出现了10次，
在十位出现了10次，
所以在这100个数中，共写了：10+10＝20（个）；
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此类数字问题我们也可分段进行分析。
12．（2010 慈溪市校级自主招生）从1991到5678的自然数中，十位上的数字与个位上的数字相同的数共有369个．… √ ．
【考点】数字问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】1999算一个．从0到99里，共有10个这样的数字（00算一个，比如2000）．那么，从0到999就有10×10个．那么，从2000到2999，从3000到3999，4000到4999，一共有300个．从5000到5678共有68个，再加上1999，所以共有300+68+1＝369个．
【解答】解：1991～1999，有一个；
由于从0到99里，共有10个这样的数字，
所以从0到999就有10×10＝100（个），
则从2000～4999共有：100×3＝300（个）这样的数字；
从5000到5678共有68个；
则从1991到5678的自然数中，十位上的数字与个位上的数字相同的数共有：
1+300+68＝369（个）．
故答案为：√．
【点评】了解自然数的组合规律是完成本题的关键．
四．应用题（共3小题）
13．（2025 济南）有一个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2倍，百位与个位数字的乘积恰好是十位上数字的2倍，这个三位数是多少？请用合理的方式表示你的思考过程。
【考点】数字问题．
【专题】应用题；数据分析观念．
【答案】693。
【分析】根据“这个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2倍”，分别假设个位是1、2、3、4，再求出百位和十位数字，列举出所有情况即可解题。
【解答】解：百位数字是个位数字的2倍，假设个位是1，则百位是2，十位是：2×1÷2＝1，个位与十位数字相同，不符合题意；
假设个位是2，则百位是4，十位是：2×4÷2＝4，个位与十位数字相同，不符合题意；
假设个位是3，则百位是6，十位是：3×6÷2＝9，这个数是693，符合题意；
假设个位是4，则百位是8，十位是：4×8÷2＝16，不能组成三位数，不符合题意；
答：这个三位数是693。
【点评】解答本题的关键是设个位是1、2、3、4，再分别求出百位和十位数字。
14．（2025 九龙坡区）如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”。
（1）最小的四位依赖数是 1022 ；
（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫作“特色数”，求所有特色数。
【考点】数字问题．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】（1）1022；（2）2226和3066。
【分析】（1）要使四位依赖数最小，那么千位数字是1，百位数字是0，然后求出十位数字和个位数字即可。
（2）设这个四位依赖数是，根据题意可得c＝2a﹣b，d＝2a﹣b，且3b﹣3就是7的倍数；据此解答即可。
【解答】解：（1）要使四位依赖数最小，那么千位数字是1，百位数字是0，
则十位数字＝1×2﹣0＝2
个位数字＝1×2+0＝2
所以最小的四位依赖数是1022。
（2）设这个四位依赖数是，根据题意可得：
c＝2a﹣b
d＝2a+b
3b﹣3就是7的倍数；
则3b﹣3
＝100b+10×（2a﹣b）+2a+b﹣3b﹣3
＝88b+22a﹣3
＝21×（4b+a）+（4b+a﹣3）
所以只要（4b+a﹣3）是7的倍数即可，
a为1～4，b最大为7，
如果a＝1，则4b+a﹣3＝2（2b﹣1）是7的倍数，则b＝4，c＝2a﹣b＝﹣2，不符合题意，舍去；
如果a＝2，则4b+a﹣3＝4b﹣1是7的倍数，则b＝2，c＝2a﹣b＝2，d＝2a+b＝6，符合题意，“特色数”＝2226；
如果a＝3，则4b+a﹣3＝4b是7的倍数，则b＝0或7，
①b＝0，c＝2a﹣b＝6，d＝2a+b＝6，符合题意，“特色数”＝3066；
②b＝7，c＝2a﹣b＝﹣1，不符合题意，舍去。
答：所有特色数是2226和3066。
故答案为：1022。
【点评】本题主要考查了数字问题与数的组成问题的灵活运用。
15．（2024 北碚区校级模拟）黑板上任意写上一个正整数，在它的约数之外，找出最小的正整数，擦去原数，写上这个最小的正整数（例如：开始写的数是12，在12的约数之外，最小的正整数是5，擦去12，写上5）。这样继续下去，直到黑板上出现2为止。对于任意的一个正整数，最多擦多少次，黑板上就可以出现2？请说明理由。
【考点】数字问题．
【专题】应用意识．
【答案】3次。理由为：①如果黑板上的数是偶数2，则不用擦；②如果黑板上的数是奇数，则擦后即出现2；③如果黑板上的数是偶数n（n＞2），则最多擦3次。
【分析】分析每次写上的数与原数约数的关系，找出出现2最多需要擦写的次数。我们从最初给定的正整数出发，按照规则依次找出在约数之外最小的正整数并替换原数，观察经过几次这样的操作能得到2。
【解答】解：第一次操作：
设最初写在黑板上的正整数为n。
当n＞1时，若n是奇数，那么1和n是它的约数，2不是它的约数，所以在它约数之外最小的正整数就是2，此时只需要擦1次就出现2；
若n是偶数，设n＝2k（k为正整数），1、2是它的约数，3有可能不是它的约数（比如4，约数是1、2、4，3不在约数中），所以在约数之外最小的正整数可能是3。
第二次操作：
若第一次写上的数是3，3的约数是1和3，那0么在它约数之外最小的正整数就是2，此时总共擦了2次就出现2了；
若第一次写上的数不是3，比如第一次写上的数是偶数且不是2的倍数，设这个数为m，1是它的约数，2不是它的约数，所以在它约数之外最小的正整数就是2，此时总共擦了2次就出现2了。
第三次操作：
若第一次写上的数既不是2也不是3，且经过第二次操作后得到的数既不是2也不是3。设第二次写上的数为P，若P不是2的倍数，那么在它约数之外最小的正整数就是2，此时总共擦了3次就出现2了。
答：对于任意的一个正整数，最多擦3次，黑板上就可以出现2。
【点评】本题考查了最值问题的应用。
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