期末复习 4.1 数列（专项练习.含解析）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

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期末复习 4.1数列
一．选择题（共6小题）
1．设数列{xn}为项数为n（n≥3，n∈N）的严格增数列，且每一项均为正整数．若对于数列{xn}中的任意两项xi、xj（1≤i＜j≤n），均有，则项数n的最大值为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．11
2．已知数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝n，则a4＝（　　）
A．20 B．18 C．15 D．10
3．数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
4．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为单调递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2+3n+2，则下列判断正确的是（　　）
A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11
C．数列{Sn}存在最大值 D．数列存在最大值
6．已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+n（n∈N+），则a4的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，an＝an+1+3，则下列说法正确的是（　　）
A．a5﹣a1＝﹣12
B．{an}是递增数列
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
（多选）8．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．
D．数列{an}中最大项为第6项
（多选）9．已知Sn等差数列{an}的前n项和，且a8＜0，a5+a10＞0，则下列选项不正确的是（　　）
A．数列{an}为递减数列 B．a7＜0
C．Sn的最大值为S7 D．S15＞0
三．填空题（共4小题）
10．已知数列{an}的通项公式为，则{an}中最小项的值为 　 　 ．
11．已知数列{an}的前4项分别为，则数列{an}的通项公式为an＝　 　
12．数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an＝﹣3n2+11n，则{an}的峰值为 　 　 ；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围为 　 　 ．
13．已知数列{an}的通项公式为，则{an}的最小项的值为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．数列{an}的通项公式是．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
15．设数列{an}的首项a1为常数，且an+1＝3n﹣2an，（n∈N*）
（1）证明：{an}是等比数列；
（2）若a1，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．
期末复习 4.1数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．设数列{xn}为项数为n（n≥3，n∈N）的严格增数列，且每一项均为正整数．若对于数列{xn}中的任意两项xi、xj（1≤i＜j≤n），均有，则项数n的最大值为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．11
【考点】数列的函数特性．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据得到，再从x1＝1开始逐个推导，求出最大值．
【解答】解：∵数列{xn}每一项均为正整数，且，
∴，所以，
设，则数列{yk}是严格递减数列，
∴可转化为，i＜j，
想要n尽量大，就要让yk尽量慢的递减，且xk必须是正整数，
从x1＝1开始，则y1＝1，
，∴，满足该条件的最小正整数为2，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为3，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为4，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为5，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为6，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为8，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为11，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为16，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为29，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为150，∴，
，不满足条件，∴n的最大值为11．
故选：D．
【点评】本题考查数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2．已知数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝n，则a4＝（　　）
A．20 B．18 C．15 D．10
【考点】由通项公式求解或判断数列中的项．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意利用累加法分析求解即可．
【解答】解：数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝n，
则a4﹣a3＝3，a3﹣a2＝2，a2﹣a1＝1，
相加可得a4﹣a1＝6，即a4＝a1+6，
且a1＝9，
∴a4＝a1+6＝15．
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学抽象．
【答案】B
【分析】结合数列各项的规律检验各选项即可判断．
【解答】解：结合选项可知，当n＝1时，A，C，D与已知显然不符合；
故﹣2，，…的通项公式可以为（﹣1）n．
故选：B．
【点评】本题主要考查了由数列项的特点求解数列通项公式，属于基础题．
4．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为单调递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】数列的单调性．
【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q＝2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立．
若an＝﹣1 （）n﹣1为递增数列，但q1不成立，即必要性不成立，
故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2+3n+2，则下列判断正确的是（　　）
A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11
C．数列{Sn}存在最大值 D．数列存在最大值
【考点】数列的函数特性．
【专题】计算题；分类讨论；分析法；分类法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】根据Sn写出通项公式，根据通项公式逐项求解即可．
【解答】解：由可知，当n≥2时，，
∴即故数列{an}是从第二项开始的等差数列，故A错误．
将n＝5代入{an}的通项公式可得a5＝2×5+2＝12，故B错误．
由知，数列{Sn}为递增数列，Sn不存在最大值，故C错误．
由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的定义与数列的函数特性，属于中档题．
6．已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+n（n∈N+），则a4的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】数列的概念及简单表示法．
【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．
【答案】D
【分析】代值计算即可．
【解答】解：∵a1＝2，an+1＝an+n，
∴a2＝a1+1＝2+1＝3，
a3＝a2+2＝3+2＝5，
a4＝a3+3＝5+3＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及整体思想的应用．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，an＝an+1+3，则下列说法正确的是（　　）
A．a5﹣a1＝﹣12
B．{an}是递增数列
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
【考点】数列的函数特性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由题意可知，数列{an}是首项为9，公差为﹣3的等差数列，由此求得其通项公式和前n项和公式，并对选项逐一判断即可．
【解答】解：根据题意，因为数列{an}满足，an＝an+1+3，即an+1﹣an＝﹣3，
又a1＝9，所以数列{an}是首项为9，公差d＝﹣3的等差数列，
故an＝a1+（n﹣1）×d＝﹣3n+12，，
依次分析选项：
对于A：a5﹣a1＝4d＝﹣12，A正确．
对于B：因为公差为﹣3，所以数列{an}是递减数列，B错误．
对于C：当n＞4，﹣3n+12＜0，即an＜0，C正确．
对于D：，
所以Sn在1≤n≤3时单调递增，在n≥4时单调递减，因为S3＝18，S4＝18，
所以当n＝3或4时，Sn取得最大值，最大值为18，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查等差数列的性质，涉及数列的单调性，属于基础题．
（多选）8．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．
D．数列{an}中最大项为第6项
【考点】数列的单调性；数列的最大项最小项；求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到a7＜0，a6+a7＞0，再利用等差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判断AC；利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质计算判定B；利用单调性判定D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，a3＝12，S12＞0，S13＜0，
依次分析选项：
对于A、C，由于S12＞0，S13＜0，则，，
则a7＜0，a6+a7＞0，
又a3＝12，则，解得，
由于d＜0，则等差数列{an}是递减数列，A错误，C正确；
对于B，由a3＝12，得，B正确；
对于D，由等差数列{an}是递减数列，得数列{an}中最大项为第1项，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及数列的单调性，属于基础题．
（多选）9．已知Sn等差数列{an}的前n项和，且a8＜0，a5+a10＞0，则下列选项不正确的是（　　）
A．数列{an}为递减数列 B．a7＜0
C．Sn的最大值为S7 D．S15＞0
【考点】数列的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BD
【分析】AB选项，由等差数列的性质得到a7＞0，从而确定d＝a8﹣a7＜0；C选项，a7＞0，a8＜0，故C正确；D选项，根据等差数列求和公式和性质得到S15＝15a8＜0．
【解答】解：根据题意，数列{an}为等差数列，设其公差为d，
依次分析选项：
对于A、B，由等差数列性质得到a5+a10＝a8+a7＞0，
又a8＜0，所以a7＞0，
则d＝a8﹣a7＜0，数列{an}为递减数列，A正确，B错误；
对于C，因为a7＞0，a8＜0，则Sn的最大值为S7，C正确．
对于D，因为a1+a15＝2a8，故，D错误．
故选：BD．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知数列{an}的通项公式为，则{an}中最小项的值为 　﹣6　 ．
【考点】数列的最大项最小项；数列的函数特性．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】﹣6．
【分析】由通项公式得，n∈N*，根据二次函数的性质确定最小项的值．
【解答】解：由，
当n＝2时，a2＝8﹣22+9＝﹣5，当n＝3时，a3＝18﹣33+9＝﹣6，
所以{an}中最小项的值为﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了数列的函数特性的应用，属于基础题．
11．已知数列{an}的前4项分别为，则数列{an}的通项公式为an＝　　
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合数列的规律，即可求解．
【解答】解：数列{an}的前4项分别为，
即为：，，，，
故数列{an}的通项公式为an．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数列的通项公式，属于基础题．
12．数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an＝﹣3n2+11n，则{an}的峰值为 　10　 ；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围为 　（﹣∞，）　 ．
【考点】数列的函数特性．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】10；（﹣∞，）．
【分析】（1）令，根据二次函数的单调性、数列的基本概念，求出{an}的峰值；
（2）若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则相应的函数不存在极大值，从而运用导数研究函数的单调性，求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）若，令f（n）＝﹣3n2+11n，相应的二次函数图象开口向下，关于直线x对称．
因此，存在n＝2，满足a2≥a1且a2≥a3，所以{an}的峰值为a2＝﹣3×4+11×2＝10；
（2）令f（x）＝tlnx﹣x（x≥1），则f′（x），
①若t≤0，则f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减，此时{an}不存在峰值，符合题意；
②若t＞0，则当0＜x＜t时，f′（x）＞0，x＞t时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，
若要an＝f（n）＝tlnn﹣n（n∈N*）不存在峰值，则必须，即，解得0＜t．
综上所述，t，即实数t的取值范围为（﹣∞，）．
故答案为：10；（﹣∞，）．
【点评】本题主要考查数列的基本概念、数列的函数特征、运用导数研究函数的单调性与极值等知识，属于中档题．
13．已知数列{an}的通项公式为，则{an}的最小项的值为 　4　 ．
【考点】数列的函数特性．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】4
【分析】由对勾函数的性质求解即可．
【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式为，
设f（x）＝x，（x≥1），
由对勾函数的性质可知：f（x）min＝f（2），即当x＝2时，f（x）＝x取得最小值，
当n＝2时，{an}取得最小项，其最小项为a2＝24．
故答案为：4．
【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的最小项问题，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．数列{an}的通项公式是．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．
【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）﹣6；（2）16项．
【分析】（1）利用数列{an}的通项公式能求出这个数列的第4项．
（2）由150，能求出结果．
【解答】解：（1）数列{an}的通项公式是．
∴这个数列的第4项是：
a4＝42﹣7×4+6＝﹣6．
（2）150，即n2﹣7n﹣144＝0，
解得n＝16或n＝﹣9（舍），
∴150是这个数列的项，是第16项．
【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．设数列{an}的首项a1为常数，且an+1＝3n﹣2an，（n∈N*）
（1）证明：{an}是等比数列；
（2）若a1，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．
【考点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列递推式．
【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于an+1＝3n﹣2an，（n∈N*），可得2，即可证明．
（2）{an}是公比为﹣2，首项为a1的等比数列．通项公式为an（﹣2）n﹣1，若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1＝an+an+2，代入解出即可得出．
（3）如果an+1＞an成立，即（a1）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．化简得（﹣2）n，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．
【解答】（1）证明：∵an+1＝3n﹣2an，（n∈N*），
∴2，
∴数列{an}是等比数列．
（2）解：{an}是公比为﹣2，首项为a1的等比数列．
通项公式为an（a1）（﹣2）n﹣1（﹣2）n﹣1，
若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1＝an+an+2，
即，
解得n＝4，即a4，a5，a6成等差数列．
（3）解：如果an+1＞an成立，
即（a1）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．
化简得（﹣2）n，
当n为偶数时，
∵p（n）是递减数列，
∴p（n）max＝p（2）＝0，即a1＞0；
当n为奇数时，a1，
∵q（n）是递增数列，
∴q（n）min＝q（1）＝1，即a1＜1；
故a1的取值范围为（0，1）．
【点评】本题考查了数列的递推关系、等差数列与等比数列的定义与通项公式、数列的单调性、不等式解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
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