期末复习 5.1 导数的概念（专项练习.含解析）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

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期末复习 5.1 导数的概念
一．选择题（共8小题）
1．设函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．0 D．﹣4
2．若函数的图象在点M（1，1）处的切线与直线2x﹣y+6＝0垂直，则ba＝（　　）
A． B．0 C． D．
3．若直线2x+y﹣3＝0与函数f（x）＝ax﹣3lnx的图象相切，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：s＝t2，则该质点在[1，1+Δt]内的平均速度是（　　）
A．2+Δt B．2﹣Δt C．﹣1+2Δt D．﹣2+Δt
5．已知函数f（x）在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2）
C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜0
6．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
7．已知曲线f（x）x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）＝（　　）
A． B． C． D．
8．函数f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．0
二．多选题（共1小题）
（多选）9．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（　　）
A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点
B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值
C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝lnx+ex，则的值为　 　 ．
11．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与跳起后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的图象如图所示，已知曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0；
②曲线h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；
③曲线h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，
其中所有正确结论的序号是　 　 ．
12．已知某质点运动的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+4），则该质点在t＝2s时的瞬时速度为 　 　 cm/s．
13．已知直线y＝kx+1与曲线相切，则实数k的值为　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．
15．已知函数f（x）＝5x2+2x﹣3．
（1）当x1＝2，且Δx＝0.1时，求函数的增量Δy和平均变化率；
（2）设x2＝x1+Δx，分析（1）问中的平均变化率的几何意义．
期末复习 5.1 导数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．设函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．0 D．﹣4
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知结合导数的定义即可求解．
【解答】解：因为函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2，
则22f′（x0）＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数定义的应用，属于基础题．
2．若函数的图象在点M（1，1）处的切线与直线2x﹣y+6＝0垂直，则ba＝（　　）
A． B．0 C． D．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】函数求导得，由题意可得，解得a，b的值，代入所求式计算即得．
【解答】解：由题可得：，
依题意，有，解得，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题．
3．若直线2x+y﹣3＝0与函数f（x）＝ax﹣3lnx的图象相切，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先求导函数设切点，再根据斜率及点代入列式求解即可．
【解答】解：由函数f（x）＝ax﹣3lnx得，
设直线2x+y﹣3＝0与函数f（x）＝ax﹣3lnx的图象相切于（x0，y0），
则，
解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于中档题．
4．某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：s＝t2，则该质点在[1，1+Δt]内的平均速度是（　　）
A．2+Δt B．2﹣Δt C．﹣1+2Δt D．﹣2+Δt
【考点】平均变化率．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由平均速度的定义求解即可．
【解答】解：质点在[1，1+Δt]内的平均速度是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平均变化率的定义，属于基础题．
5．已知函数f（x）在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2）
C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜0
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义即可求解．
【解答】解：根据导数的几何意义，f'（x）表示函数f（x）在x处切线的斜率，
观察图像可知，函数图像从左到右上升，且切线斜率逐渐增大，
因此，x＝2处的切线斜率大于x＝1处的切线斜率，即f'（1）＜f'（2），
故B正确，A，C错误；
f'（1）和f'（2）均为正，其和大于0，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
6．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
【考点】变化的快慢与变化率．
【专题】导数的概念及应用．
【答案】D
【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；
由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．
【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，
g（x）在a到b之间的平均变化率是，
∴，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，
即函数f（x）在该点处的切线的斜率，
同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，
即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的概念及其应用问题，解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确，是基础题．
7．已知曲线f（x）x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】求导可得f′（1）＝1，进而求解．
【解答】解：，，f′（x）＝x，所以f′（1）＝1，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查导数及其几何意义，属于基础题．
8．函数f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．0
【考点】平均变化率．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据平均变化率的计算即可求解．
【解答】解：f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查平均变化率的求解，是基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）9．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（　　）
A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点
B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值
C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增
【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据导函数图像判断函数的单调性，再根据选项逐一判断即可．
【解答】解：根据导函数y＝f'（x）的图象，
可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0且仅当x＝1时，f'（x）＝0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上函数f（x）单调递减；在（﹣2，+∞）函数f（x）单调递增，
所以﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，所以A正确；
其中x＝1两侧函数的单调性不变，则在x＝1处不是函数y＝f（x）的最小值，所以B不正确；
由图像可知f'（0）＞0，所以函数y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于零，所以C不正确；
由y＝f（x）图象可得，当x∈（﹣2，2）时，f'（x）≥0，
所以函数y＝f（x）在x∈（﹣2，2）上单调递增，所以D正确，
故选：AD．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义和函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝lnx+ex，则的值为e+1　 ．
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】e+1．
【分析】求出导函数f′（x），然后即可得出f′（1）的值，然后根据导数的定义即可得解．
【解答】解：，f′（1）＝1+e，
所以．
故答案为：e+1．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，导数的定义，是基础题．
11．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与跳起后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的图象如图所示，已知曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0；
②曲线h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；
③曲线h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，
其中所有正确结论的序号是　①③　 ．
【考点】导数与切线的斜率；瞬时变化率．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】①③．
【分析】对于①，因为曲线h（t）在t＝t1处的切线l0平行于t轴，所以切线的斜率为0，即h′（t0）＝0；对于②，比较|h′（t1）|，|h′（t2）|的大小即可；对于③，比较|h′（t3）|，|h′（t4）|的大小即可．
【解答】解：因为h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，所以h′（t）＝﹣9.8t+4.8，
①，因为曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，
所以切线l0的斜率为0，即h′（t0）＝0，
所以在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0，故①正确；
②，由图可知曲线h（t）在t＝t1处的切线的斜率h′（t1）＜0，在t＝t2处的切线的斜率h′（t2）＜0，
又t1＜t2，所以h′（t1）＝﹣9.8t1+4.8＞﹣9.8t2+4.8＝h′（t2），
所以|h′（t1）|＜|h′（t2）|，
即曲线在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得快，故②错误；
③，由图可知曲线h（t）在t＝t3处的切线的斜率h′（t3）＞0，在t＝t4处的切线的斜率h′（t4）＞0，
又t3＜t4，所以h′（t3）＝﹣9.8t3+4.8＞﹣9.8t4+4.8＝h′（t4），
所以|h′（t3）|＞|h′（t4）|，
即曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，故③正确；
所以所有正确结论的序号是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了导数的性质，属于基础题．
12．已知某质点运动的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+4），则该质点在t＝2s时的瞬时速度为 　　 cm/s．
【考点】瞬时变化率．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据导数可求瞬时速度．
【解答】解：因为y（t）＝ln（2t+1），所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了瞬时变化率的求解，属于基础题．
13．已知直线y＝kx+1与曲线相切，则实数k的值为　　 ．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数f（x）的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数k的值．
【解答】解：由题意直线y＝kx+1与曲线相切，
可得直线y＝kx+1过定点（0，1），
函数求导可得，
设直线与曲线的切点坐标为，
则，
则x0＝2，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，是中档题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．
【考点】导数与切线的斜率；利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，f（x）在x＝1处的切线的斜率等于，据此求解a；
（2）利用导数判断f（x）的单调性，进而利用单调性解不等式．
【解答】解：（1）由函数可得：，
又在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，
可得，∴；
（2）∵函数的定义域为（0，+∞），
∴x2﹣1和5x﹣7都大于0，可得，
又∵，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
又f（x2﹣1）＜f（5x﹣7），故x2﹣1＞5x﹣7，解得：x＜2或x＞3，
因此原不等式的解集为．
【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
15．已知函数f（x）＝5x2+2x﹣3．
（1）当x1＝2，且Δx＝0.1时，求函数的增量Δy和平均变化率；
（2）设x2＝x1+Δx，分析（1）问中的平均变化率的几何意义．
【考点】变化率的极限与导数的概念．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）2.25，22.5；
（2）曲线上两点P0（2，21）和P1（2.1，23.25）所在的直线的斜率为22.5．
【分析】（1）当x1＝2且Δx＝0.1时，求得Δy＝2.25，得到函数的增量为2.25，再求得的值，即可得到答案；
（2）根据题意，得到，结合直线斜率的概念，即可求解．
【解答】解：（1）函数f（x）＝5x2+2x﹣3，
当x1＝2且Δx＝0.1时，可得Δy＝f（2+0.1）﹣f（2）＝f（2.1）﹣f（2）＝2.25，
即函数的增量为2.25，
则平均变化率；
（2）由x2＝x1+Δx，可得，
且f（2）＝21，f（2.1）＝23.25，
所以平均变化率的几何意义表示曲线上两点P0（2，21）和P1（2.1，23.25）所在的直线的斜率为22.5．
【点评】本题主要考查了平均变化率的定义和几何意义，属于中档题．
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