期末复习 5.2 导数的运算（专项练习.含解析）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

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期末复习 5.2导数的运算
一．选择题（共5小题）
1．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，则f（1）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．若函数f（x）满足f（x）＝x3f′（2）x2﹣3x，则f′（2）的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数f（x）＝x3+3xf′（2），则f′（2）＝（　　）
A．﹣15 B．﹣6 C．3 D．15
4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数f（x）＝2f′（0）ex﹣x2+3x，则f（0）＝（　　）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
二．多选题（共3小题）
（多选）6．下列求导运算正确的是（　　）
A．（ex﹣1）′＝ex﹣1 B．（cos3x）′＝﹣3sin3x
C． D．（xlnx）′＝1+lnx
（多选）7．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（cosx）′＝﹣sinx D．
（多选）8．下列求导正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共5小题）
9．已知函数f（x）＝ex+f′（1）x2，则f′（1）＝　 　 ．
10．设a∈R，f（x）＝acosx+sinx，记f（x）的导数为f′（x）．若函数y＝f（x）+f′（x）为奇函数，则a的值为 　 　 ．
11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝　 　 ．
12．已知函数，则f（e）＝ 　 　 ．
13．函数f（x）＝f′（1）x2+x﹣1，则f（1）＝　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．求下列函数的导数：
（1）y＝xex；
（2）y＝（x+1）（r+2）（x+3）；
（3）y；
（4）y＝xsinx．
15．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+3x（a∈R），且f′（1）＝2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．
期末复习 5.2导数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，则f（1）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】A
【分析】把已知函数解析式求导，取x＝1求得f′（1），进一步求解得答案．
【解答】解：由f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，
得f′（x）f′（1），
令x＝1，可得f′（1）＝2﹣f′（1），
则f′（1）＝1，则f（x）＝2lnx﹣x﹣2，
所以f（1）＝2ln1﹣1﹣2＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查基本初等函数的导函数，是基础题．
2．若函数f（x）满足f（x）＝x3f′（2）x2﹣3x，则f′（2）的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】求解导函数，再赋值x＝2，解关于f′（2）的方程可得．
【解答】解：对f（x）求导可得，f′（x）＝3x2﹣f′（2）x﹣3，
则f′（2）＝12﹣2f′（2）﹣3，解得f′（2）＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
3．已知函数f（x）＝x3+3xf′（2），则f′（2）＝（　　）
A．﹣15 B．﹣6 C．3 D．15
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】对等式两边求导，再赋值计算即得．
【解答】解：因为函数f（x）＝x3+3xf′（2），
所以f′（x）＝3x2+3f′（2），
令x＝2得，f′（2）＝12+3f′（2），
解得f′（2）＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，对等式两边求导，再令即可得出答案．
【解答】解：根据题意，因为，所以，
令，则，
变形可得．
故选：C．
【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
5．已知函数f（x）＝2f′（0）ex﹣x2+3x，则f（0）＝（　　）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据函数的求导公式及运算法则化简得解．
【解答】解：对函数求导得，f′（x）＝2f′（0）ex﹣2x+3，
把x＝0代入可得，f′（0）＝2f′（0）e0+3＝2f′（0）+3，即f′（0）＝﹣3，
所以f（x）＝﹣6ex﹣x2+3x，f（0）＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的求导，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．下列求导运算正确的是（　　）
A．（ex﹣1）′＝ex﹣1 B．（cos3x）′＝﹣3sin3x
C． D．（xlnx）′＝1+lnx
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：（ex﹣1）′＝ex﹣1 （x﹣1）'＝ex﹣1，故A正确；
（cos3x）′＝﹣3sin3x，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）7．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（cosx）′＝﹣sinx D．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】由基本初等函数的导数计算求解即可．
【解答】解：，故A错误；
，故B正确；
（cosx）′＝﹣sinx，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）8．下列求导正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；简单复合函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断．
【解答】解：对于A，（xe3）′＝（）′，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，（4x﹣sin）＝（4x）′＝4xln4，C正确；
对于D，．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了函数求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
三．填空题（共5小题）
9．已知函数f（x）＝ex+f′（1）x2，则f′（1）＝　﹣e ．
【考点】导数的加法与减法法则．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】﹣e．
【分析】含未知导数值的函数，可将导数值看作常数，对函数求导后代入自变量1得到关于f′（1）的关系式，即可求出f′（1）的值．
【解答】解：由函数f（x）＝ex+f′（1）x2，
可得，f′（x）＝ex+2f′（1）x，
所以f′（1）＝e+2f′（1），
解得f′（1）＝﹣e．
故答案为：﹣e．
【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．
10．设a∈R，f（x）＝acosx+sinx，记f（x）的导数为f′（x）．若函数y＝f（x）+f′（x）为奇函数，则a的值为 　﹣1　 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】求导，结合奇函数的定义即可求解．
【解答】解：由f（x）＝acosx+sinx，得f′（x）＝﹣asinx+cosx，
所以y＝g（x）＝f（x）+f′（x）＝acosx+sinx﹣asinx+cosx，
因为y＝f（x）+f′（x）为奇函数，定义域为R，
所以y＝g（0）＝a+1＝0，
所以a＝﹣1，
即g（x）＝2sinx，g（﹣x）＝2sin（﹣x）＝﹣2sinx＝﹣g（x），满足题意，
所以a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了导数的计算，考查了奇函数的性质，属于基础题．
11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝　　 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】导数的概念及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．
【解答】解：求导得：f′（x）＝2f'（e），
把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），
解得：f′（e）＝﹣e﹣1，
故答案为：
【点评】本题要求学生掌握求导法则．学生在求f（x）的导函数时注意f′（e）是一个常数，这是本题的易错点．
12．已知函数，则f（e）＝ 　1　 ．
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】先求导，再将x＝e代入导数可求f′（e）的值，最后将x＝e代入原函数即可得答案．
【解答】解：因为，
则，
所以，
所以，
故，
因此f（e）＝2lne﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
13．函数f（x）＝f′（1）x2+x﹣1，则f（1）＝　﹣1　 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】对函数求导并令x＝1可求得f′（1）＝﹣1，将x＝1代入原函数可得结果．
【解答】解：由题意可知，f′（x）＝2f′（1）x+1，
令x＝1，可得f′（1）＝2f′（1）+1，解得f′（1）＝﹣1；
所以f（x）＝﹣x2+x﹣1，可得f（1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．求下列函数的导数：
（1）y＝xex；（2）y＝（x+1）（r+2）（x+3）；
（3）y；（4）y＝xsinx．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）y′＝（x+1）ex；
（2）y′＝2x2+12x+11；
（3）y′；
（4）y′＝sinx+xcosx．
【分析】已已知结合函数的求导公式及求导法则即可求解．
【解答】解：（1）y′＝ex+xex＝（x+1）ex；
（2）y′＝（x+2）（x+3）+（x+1）[（x+2）（x+3）]′＝（x+2）（x+3）+（x+1）（2x+5）＝2x2+12x+11；
（3）y′；
（4）y′＝sinx+xcosx．
【点评】本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
15．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+3x（a∈R），且f′（1）＝2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．
【考点】简单复合函数的导数；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝1；
（2）x+2y﹣2ln2﹣6＝0．
【分析】（1）根据导数的性质即可求解；
（2）根据切线方程的性质即可求解．
【解答】解：（1）对函数f（x）求导，
∵，∴a＝1；
（2）由（1）可知a＝1，∴f（x）＝lnx﹣x2+3x，∴f（2）＝2+ln2，
∴，
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率，
由点斜式方程可得：，化简为x+2y﹣2ln2﹣6＝0，
即函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为：x+2y﹣2ln2﹣6＝0．
【点评】本题考查了导数的性质，属于基础题．
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