第1章 预备知识（单元测试.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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第1章 预备知识
一．选择题（共6小题）
1．设a＞0，b＞0，且a+2b＝2ab，则2a+b的最小值为（　　）
A． B．9 C．3 D．4
2．若x＞3，则函数取得最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．若a＞0，b＞0，且ab＝a+b+3，则a+b的最小值为（　　）
A．2 B．6 C．9 D．12
5．已知集合M＝{x|1＜x＜4}，集合N＝{1，3}，则M∩N＝（　　）
A．{x|1＜x＜4} B．{1，2，3，4} C．{1，3} D．{3}
6．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜3}，那么集合A∪B等于（　　）
A．[﹣1，3） B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则a＜b
B．若a2＞b2，ab＞0，则
C．若b＞a＞0，m＞0，则
D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
（多选）8．已知x，y为正实数，，则（　　）
A．xy的最大值为4 B．x2+y2的最小值为
C．x+4y的最小值为 D．的最小值为﹣12
（多选）9．若一元二次不等式对一切实数x都成立，则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．2
三．填空题（共4小题）
10．不等式x2+x﹣12＜0的解集为 　 　 ．（结果用区间表示）
11．已知实数a，b，c∈（0，1），设，，这三个数的最大值为M，则M的最小值为　 　 ．
12．设集合A＝{y|y＝2x}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝　 　 ．
13．若函数y＝ax2+x+2的图像恒在函数y＝3x﹣1图像的上方，则实数a的取值范围是　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．对于二次函数y＝mx2+nx+t（m≠0），若存在x0∈R，使得nx0+t＝x0成立，则称x0为二次函数y＝mx2+nx+t（m≠0）的不动点．
（1）求二次函数y＝x2﹣x﹣3的不动点；
（2）若二次函数y＝2x2﹣（3+a）x+a﹣1有两个不相等的不动点x1、x2，且x1、x2＞0，求的最小值．
（3）若对任意实数b，二次函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）恒有不动点，求a的取值范围．
15．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}．
（1）若a＝1，写出A的所有子集；
（2）若集合A中只含有一个元素，求a的值．
第1章 预备知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．设a＞0，b＞0，且a+2b＝2ab，则2a+b的最小值为（　　）
A． B．9 C．3 D．4
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】A
【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求解．
【解答】解：由a+2b＝2ab，可得：，a＞0，b＞0，
∵，
当且仅当，即时取等号．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最求解中的应用，属于基础题．
2．若x＞3，则函数取得最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【答案】D
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞3，∴函数x﹣33≥23＝7，当且仅当x＝5时取等号．
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】A
【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，直接求解即可．
【解答】解：因为，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
4．若a＞0，b＞0，且ab＝a+b+3，则a+b的最小值为（　　）
A．2 B．6 C．9 D．12
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由基本不等式得到（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，求出a+b≥6．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，由基本不等式可得：，
即（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，
因为a＞0，b＞0，解得：a+b≥6，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
5．已知集合M＝{x|1＜x＜4}，集合N＝{1，3}，则M∩N＝（　　）
A．{x|1＜x＜4} B．{1，2，3，4} C．{1，3} D．{3}
【考点】求集合的交集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】结合集合交集运算即可求解．
【解答】解：集合M＝{x|1＜x＜4}，集合N＝{1，3}，
则M∩N＝{3}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
6．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜3}，那么集合A∪B等于（　　）
A．[﹣1，3） B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
【考点】并集及其运算．
【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】先求出B的等价条件，利用并集定义进行计算即可．
【解答】解：∵B＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合并集定义是解决本题的关键，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则a＜b
B．若a2＞b2，ab＞0，则
C．若b＞a＞0，m＞0，则
D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；作差确定正负判断C．
【解答】解：对于A，由，得c2＞0，则a＜b，A正确；
对于B，取a＝﹣2，b＝﹣1，B显然错误；
对于C，由b＞a＞0，m＞0，得，则，C正确；
对于D，由c＜d，得﹣c＞﹣d，而a＞b，则a﹣c＞b﹣d，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）8．已知x，y为正实数，，则（　　）
A．xy的最大值为4 B．x2+y2的最小值为
C．x+4y的最小值为 D．的最小值为﹣12
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式，即可结合选项逐一求解．
【解答】解：对于A，由x，y为正实数，且，则，故，当且仅当时取等号，故A错误，
对于B，，当且仅当时取等号，故B正确，
对于C，，
当且仅当，即时取等号，故x+4y的最小值为，C正确，
对于D，，当且仅当，即x＝2时取等号，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）9．若一元二次不等式对一切实数x都成立，则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．2
【考点】一元二次不等式恒成立问题．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据一元二次不等式相关知识可解．
【解答】解：若一元二次不等式对一切实数x都成立，
若a＝0时，则，不满足题意；
若a≠0时，则，则a，
只有A，C，D选项符合题意．
故选：ACD．
【点评】本题考查一元二次不等式相关知识，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．不等式x2+x﹣12＜0的解集为 　（﹣4，3）　 ．（结果用区间表示）
【考点】解一元二次不等式．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（﹣4，3）．
【分析】直接转化求解即可．
【解答】解：不等式x2+x﹣12＜0，
即（x+4）（x﹣3）＜0，解得﹣4＜x＜3．
故不等式的解集为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于基础题．
11．已知实数a，b，c∈（0，1），设，，这三个数的最大值为M，则M的最小值为　　 ．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】解题思想；解题方法；不等式；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质及基本不等式求出最小值．
【解答】解：依题意，M，M，M，
则，
即，
由0＜a＜1，得
，当且仅当，即时取等号，
同理当时，取得最小值；当时，取得最小值，
因此，解得，
所以当时，M取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
12．设集合A＝{y|y＝2x}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝　（0，+∞）　 ．
【考点】求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】（0，+∞）．
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}；
则A∩B＝（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
13．若函数y＝ax2+x+2的图像恒在函数y＝3x﹣1图像的上方，则实数a的取值范围是　（）　 ．
【考点】一元二次不等式恒成立问题．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（）．
【分析】根据一元二次不等式相关知识可解．
【解答】解：若函数y＝ax2+x+2的图像恒在函数y＝3x﹣1图像的上方，
则ax2+x+2＞3x﹣1恒成立，
则ax2﹣2x+3＞0，
当a＝0时，﹣2x+3＞0，不恒成立，不满足题意；
当a≠0时，，a，
则a的取值范围（）．
【点评】本题考查一元二次不等式相关知识，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．对于二次函数y＝mx2+nx+t（m≠0），若存在x0∈R，使得nx0+t＝x0成立，则称x0为二次函数y＝mx2+nx+t（m≠0）的不动点．
（1）求二次函数y＝x2﹣x﹣3的不动点；
（2）若二次函数y＝2x2﹣（3+a）x+a﹣1有两个不相等的不动点x1、x2，且x1、x2＞0，求的最小值．
（3）若对任意实数b，二次函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）恒有不动点，求a的取值范围．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由x2﹣x﹣3＝x求得不动点．
（2）由2x2﹣（3+a）x+a﹣1＝x有两个不相等的正实数根列不等式，结合根与系数关系以及基本不等式求得的最小值．
（3）由ax2+（b+1）x+（b﹣1）＝x（a≠0）恒有解，结合判别式求得a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知：x2﹣x﹣3＝x，x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，所以不动点为﹣1和3．
（2）依题意，2x2﹣（3+a）x+a﹣1＝x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2﹣（4+a）x+a﹣1＝0有两个不相等的正实数根，
所以，解得a＞1，
所以，
因为a＞1，所以a﹣1＞0，
所以，当且仅当，即a＝6时等号成立，
所以的最小值为8．
（3）由题知：ax2+（b+1）x+（b﹣1）＝x（a≠0），
所以ax2+bx+（b﹣1）＝0，由于函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）恒有不动点，
所以Δ＝b2﹣4a（b﹣1）≥0，即b2﹣4ab+4a≥0，
又因为b是任意实数，所以Δ′＝（﹣4a）2﹣16a≤0，
即a（a﹣1）≤0（a≠0），解得0＜a≤1，
所以a的取值范围是（0，1]．
【点评】本题主要考查了新定义问题，求解关于“不动点”的问题，关键是把握住“不动点”的定义f（x0）＝x0，涉及一元二次方程根的问题，可结合根与系数关系、判别式来进行求解，属于中档题．
15．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}．
（1）若a＝1，写出A的所有子集；
（2）若集合A中只含有一个元素，求a的值．
【考点】子集的判断与求解．
【专题】分类讨论；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1） ，{1}，{2}，{1，2}；
（2）0或．
【分析】（1）先将a＝1代入，求解一元二次方程得到集合A的元素，再根据子集的定义列出所有子集；
（2）分类讨论，当a＝0时，方程为一元一次方程，求解得到集合A的元素；
当a≠0时，方程为一元二次方程，利用判别式Δ＝0时方程有且仅有一个实数根，求出a的值，再验证集合A的元素个数．
【解答】解：（1）当a＝1时，集合A＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，其子集有 ，{1}，{2}，{1，2}；
（2）当a＝0时，集合A＝{x∈R|﹣3x+2＝0}＝{}，满足要求；
当a≠0时，要满足题意只需方程ax2﹣3x+2＝0有两个相同的解，即Δ＝（﹣3）2﹣4a 2＝0，解得，
代入方程，解得，此时集合，满足要求，
综上，a的值为0或．
【点评】本题考查了集合的子集的求解，涉及到集合的元素与方程的求解，考查了学生的分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
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