第2章 函数（单元测试.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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第2章 函数
一．选择题（共6小题）
1．已知函数y＝loga（3x﹣8）+27（a＞0，a≠1）的图像恒过定点P，P在幂函数f（x）图象上，则的值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
2．若函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，则函数g（x）的定义域是（　　）
A．[0，2] B．[0，2） C．[0，1）∪（1，2] D．[0，4]
3．函数y＝lg（10x﹣x2）的单调递增区间是（　　）
A．（0，5） B．（﹣∞，5） C．（5，10） D．（5，+∞）
4．已知函数满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．[2，+∞） D．[1，2]
5．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）
A．f（﹣2）＜f（π）＜f（﹣3） B．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
C．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（π） D．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（π）
6．函数f（x）为定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（x﹣2）＞f（3）的解集为（　　）
A．（﹣1，5） B．（﹣5，1）
C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列函数中，在区间（﹣∞，2）上单调递减的是（　　）
A．f（x）＝|x﹣2| B．
C．h（x）＝ex﹣2 D．φ（x）＝ln（2﹣x）
（多选）8．已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝1
B．若f（4）＝5，则f（1）＝2
C．f（x）是R上的减函数
D．若f（4）＝9，则不等式f（x2﹣2）＜f（3x）+4的解集是（﹣1，4）
（多选）9．已知幂函数f（x）的图象经过点，则（　　）
A．f（x）的定义域为[0，+∞）
B．f（x）的值域为[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）
三．填空题（共4小题）
10．给定函数f（x）＝x+4，g（x）＝x2﹣2x， x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的最小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}，当x∈（﹣2，2）时，m（x）的最大值为　 　 ．
11．若是在R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为　 　 ．
12．若函数在区间[﹣2025，2025]上的最小值为﹣3，则最大值为　 　 ．
13．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+2） xn过点，则m+n＝　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知幂函数y＝f（x）的图象过点．
（1）求f（x）的表达式，并写出其单调区间；
（2）若0＜f（a+1）≤f（4﹣2a），求实数a的取值范围．
15．已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0，求实数a的取值范围．
第2章 函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数y＝loga（3x﹣8）+27（a＞0，a≠1）的图像恒过定点P，P在幂函数f（x）图象上，则的值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【考点】求幂函数的解析式；对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据对数函数和幂函数的图象特点和定义求解即可．
【解答】解：令3x﹣8＝1，即x＝3时y＝27，点P的坐标为（3，27）．
设f（x）＝xα，
则3α＝27，所以α＝3，所以f（x）＝x3．
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数函数及幂函数性质的应用，属于基础题．
2．若函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，则函数g（x）的定义域是（　　）
A．[0，2] B．[0，2） C．[0，1）∪（1，2] D．[0，4]
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】函数g（x）有意义，只需0≤2x≤4，且x﹣1≠0，解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：由函数y＝f（x）的定义域是[0，4]，
可得函数g（x）有意义，
只需0≤2x≤4，且x﹣1≠0，
解得0≤x≤2且x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意定义域的含义和分式的分母不为0，考查运算能力，属于基础题．
3．函数y＝lg（10x﹣x2）的单调递增区间是（　　）
A．（0，5） B．（﹣∞，5） C．（5，10） D．（5，+∞）
【考点】复合函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先利用对数函数的定义域得到0＜x＜10，再结合复合函数的性质求解单调区间即可．
【解答】解：根据题意，函数y＝lg（10x﹣x2），设t＝0x﹣x2，则y＝lnt，
由10x﹣x2＞0，解得0＜x＜10，即函数的定义域为（0，10），
由二次函数性质得y＝10x﹣x2在（0，5）上单调递增，在（5，10）上单调递减，
由对数函数性质得y＝lgx在（0，+∞）上单调递增，
则y＝lg（10x﹣x2）的单调递增区间是（0，5）．
故选：A．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
4．已知函数满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．[2，+∞） D．[1，2]
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定函数f（x）的单调性，再利用分段函数单调性列式求解．
【解答】解：已知函数满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
得函数f（x）在R上单调递增，
则，
解得，
所以实数a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，属中档题．
5．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）
A．f（﹣2）＜f（π）＜f（﹣3） B．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
C．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（π） D．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（π）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间[0，+∞）上，然后利用函数的单调性比较大小关系．
【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，
∴f（﹣3）＝f（3），f（﹣2）＝f（2）．
∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（π）＞f（3）＞f（2），
即f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查了偶函数的性质，以及函数的单调性的应用，一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小．
6．函数f（x）为定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（x﹣2）＞f（3）的解集为（　　）
A．（﹣1，5） B．（﹣5，1）
C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：函数f（x）为定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调递增，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
则不等式f（x﹣2）＞f（3）可得|x﹣2|＞3，
解得x＞5或x＜﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列函数中，在区间（﹣∞，2）上单调递减的是（　　）
A．f（x）＝|x﹣2| B．
C．h（x）＝ex﹣2 D．φ（x）＝ln（2﹣x）
【考点】复合函数的单调性；函数图象的简单变换；函数的单调性与函数图象的特征．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，故A正确；
对于B，函数，由函数y向右平移2个单位得到，
故g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，故B错误；
对于C，函数y＝x﹣2在（﹣∞，2）上单调递增，函数y＝ex在R上单调递增，
所以函数h（x）＝ex﹣2在（﹣∞，2）上单调递增，故C错误；
对于D，函数y＝2﹣x在（﹣∞，2）上单调递减，函数y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，
所以函数φ（x）＝ln（2﹣x）在（﹣∞，2）上单调递减，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意函数单调性的判断方法，属于基础题．
（多选）8．已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝1
B．若f（4）＝5，则f（1）＝2
C．f（x）是R上的减函数
D．若f（4）＝9，则不等式f（x2﹣2）＜f（3x）+4的解集是（﹣1，4）
【考点】抽象函数的奇偶性；定义法求解函数的单调性．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】通过对x，y合理赋值求解．
【解答】解：已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y，均有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1，
对于A：令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）﹣1，解得f（0）＝1，A正确；
对于B：令x＝y＝2，则f（4）＝f（2）+f（2）﹣1＝5，解得f（2）＝3，
再令x＝y＝1，则f（2）＝f（1）+f（1）﹣1＝3，解得f（1）＝2，B正确；
对于C： x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，令x＝x1，y＝x2﹣x1，
则f（x2）＝f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1，即f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，
因为x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在R上是增函数，C错误；
对于D：令x＝y＝2，则f（4）＝f（2）+f（2）﹣1＝9，解得f（2）＝5，
所以f（3x）+4＝f（3x）+f（2）﹣1＝f（3x+2），
因为f（x）在R上是增函数，且f（x2﹣2）＜f（3x+2），
所以x2﹣2＜3x+2，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，
即不等式f（x2﹣2）＜f（3x）+4的解集是（﹣1，4），D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查抽象函数单调性，奇偶性相关知识，属于中档题．
（多选）9．已知幂函数f（x）的图象经过点，则（　　）
A．f（x）的定义域为[0，+∞）
B．f（x）的值域为[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，图象过点（27，3），得27α＝3，
解得α，所以f（x），其定义域为[0，+∞），选项A正确；f（x）的值域为[0，+∞），选项B正确；
f（x）是非奇非偶函数，选项C错误；
f（x）的单调递增区间为[0，+∞），选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．给定函数f（x）＝x+4，g（x）＝x2﹣2x， x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的最小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}，当x∈（﹣2，2）时，m（x）的最大值为　3　 ．
【考点】求函数的最值；分段函数的应用．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】作出函数m（x）图象，数形结合即可解题．
【解答】解：令x+4≤x2﹣2x，
即x2﹣3x﹣4≥0，
解得x≤﹣1或x≥4，
令x2﹣2x＜x+4，
解得﹣1＜x＜4，
所以，
故函数m（x）的图象如图所示：
数形结合可知，当x∈（﹣2，2）时，m（x）max＝m（﹣1）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分段函数的应用，重点考查了数形结合的思想，属中档题．
11．若是在R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为　（﹣2，0]　 ．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（﹣2，0]．
【分析】根据分段函数在R上递增，列出关于a的不等式组，可解得a的取值范围．
【解答】解：因为f（x）是在R上的单调递增函数，所以，解得﹣2＜a≤0，
故a的取值范围为（﹣2，0]．
故答案为：（﹣2，0]．
【点评】本题主要考查由函数单调性求参数取值范围，属于基础题．
12．若函数在区间[﹣2025，2025]上的最小值为﹣3，则最大值为　﹣1　 ．
【考点】由函数的最值求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】结合函数的奇偶性及对称轴即可求解．
【解答】解：令x∈[﹣2025，2025]，则 f（x）＝g（x）﹣2，
因为，
所以函数g（x）为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，
所以g（x）在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为0，
即g（x）max+g（x）min＝0，
则f（x）max+f（x）min＝g（x）max+g（x）min﹣4＝﹣4，
因为f（x）min＝﹣3，
故f（x）max＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性在最值求解中的应用，属于基础题．
13．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+2） xn过点，则m+n＝　﹣1　 ．
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】结合幂函数定义可求m，结合已知点的坐标可求n，即可求解．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣2m+2） xn过点，
所以m2﹣2m+2＝1，解得m＝1，f（x）＝xn，则2n，
所以n＝﹣2，m+n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了幂函数定义的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知幂函数y＝f（x）的图象过点．
（1）求f（x）的表达式，并写出其单调区间；
（2）若0＜f（a+1）≤f（4﹣2a），求实数a的取值范围．
【考点】求幂函数的解析式；由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣∞，0），（0，+∞）；
（2）{a|1≤a＜2}．
【分析】（1）用待定系数法求幂函数的解析式，再写出单调区间；
（2）由f（x）的单调性，把不等式0＜f（a+1）≤f（4﹣2a）转化求解即可．
【解答】解：（1）设幂函数y＝f（x）＝xα，图象过点（2，），得2α，
解得α＝﹣1，所以f（x）＝x﹣1，其单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；
（2）由f（x）＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减知，不等式0＜f（a+1）≤f（4﹣2a）可化为，
解得1≤a＜2，所以a的取值范围是{a|1≤a＜2}．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用，是基础题．
15．已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0，求实数a的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】（1）
（2）{a|0＜a≤2}．
【分析】（1）设﹣3≤x＜0，利用，可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，f（0）＝0，
设﹣3≤x＜0，则0＜﹣x≤3，
则，
因为f（x）为奇函数，则，
则．
（2）当0＜x≤3时，为单调递增函数，
由奇函数可知f（x）是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵f（a+1）+f（2a﹣1）＞0，∴f（a+1）＞﹣f（2a﹣1）＝f（1﹣2a），
故有：，则有，解得：0＜a≤2
所以实数a取值范围是：{a|0＜a≤2}．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用及抽象不等式的求解，属于中档题．
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