第3章 指数运算与指数函数（单元测试.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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第3章 指数运算与指数函数
一．选择题（共6小题）
1．已知0＜a＜1＜b，则（　　）
A．ba＜ab＜aa＜bb B．ab＜aa＜ba＜bb
C．bb＜ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa＜bb
2．已知a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）
A．y＝2x B． C．y＝|x| D．y＝﹣x2+1
4．已知函数f（x）＝ax﹣1过定点M，点M在直线mx+ny＝1上且m，n＞0，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数y＝ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则（　　）
A． B．9 C． D．3
6．若函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点，则函数y＝loga|x|的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列命题中，正确的有（　　）
A．函数与函数表示同一函数
B．若函数f（1）＝x﹣3，则f（x）＝x2﹣x﹣2（x≥﹣1）
C．关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则8a+4b+3c＜0
D．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+xn的图象不经过第四象限
（多选）8．下列不等式不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．（﹣1.2）3＜（﹣0.8）3
（多选）9．已知a＞0且a≠1，b∈R，则函数f（x）＝bx﹣a与g（x）＝b ax在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
10．　 　 ．
11．已知，则x2+x﹣2＝　 　 ．
12．已知x＞0，y＞0，化简：　 　 ．
13．已知常数a＞0且a≠1，如果无论a取何值，函数y＝ax﹣2的图像恒过定点P，则P的坐标是　 　 ．
四．解答题（共3小题）
14．已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：．
15．计算：
（1）；
（2）计算：．
16．已知集合A＝{x||6x﹣1|≤2}，B．
（1）求A∩B；
（2）求A∪（ RB）．
第3章 指数运算与指数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知0＜a＜1＜b，则（　　）
A．ba＜ab＜aa＜bb B．ab＜aa＜ba＜bb
C．bb＜ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa＜bb
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性及中间值法比较大小即可．
【解答】解：因为0＜a＜1＜b，函数y＝ax是减函数，
所以0＜ab＜aa＜1，
函数y＝bx是增函数，所以1＜ba＜bb．
综上，可得ab＜aa＜ba＜bb．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
2．已知a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
【解答】解：．
故选：D．
【点评】本题主要考查指数幂的运算性质，属于基础题．
3．下列函数既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）
A．y＝2x B． C．y＝|x| D．y＝﹣x2+1
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；奇函数偶函数的判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由常见函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：对于A，y＝2x是非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，y是奇函数，不符合题意；
对于C，y＝|x|在区间（﹣∞，0）上是减函数，不符合题意；
对于D，y＝﹣x2+1是偶函数，在区间（﹣∞，0）上为增函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
4．已知函数f（x）＝ax﹣1过定点M，点M在直线mx+ny＝1上且m，n＞0，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有m+n＝1，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值．
【解答】解：令x﹣1＝0，得x＝1，∴函数f（x）＝ax﹣1恒过点M（1，1），则m+n＝1，
∴（）（m+n）＝33+23+2，
当且仅当，即m1，n＝2时等号成立，
∴的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题．
5．已知函数y＝ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则（　　）
A． B．9 C． D．3
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】A
【分析】令x﹣2＝0求得f（x）图象恒过定点P的坐标，再利用待定系数法求得幂函数y＝f（x）的解析式，计算的值．
【解答】解：函数y＝ax﹣2+3中，
令x﹣2＝0，解得x＝2，此时y＝a0+3＝4，
所以f（x）的图象恒过定点P（2，4）；
又点P在幂函数y＝f（x）＝xα的图象上，
即2α＝4，解得α＝2，
所以f（x）＝x2，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查了幂函数与指数函数的定义与性质应用问题，是基础题．
6．若函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点，则函数y＝loga|x|的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】指数函数的图象；对数函数的图象；函数的图象与图象的变换．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据图象过点，求出a，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解结论．
【解答】解：因为函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点，
故，可得a，
又函数y＝loga|x|＝lo|x|满足偶函数的定义，
故其图象关于y轴对称，其x＞0时，函数单调递减．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的性质，考查计算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列命题中，正确的有（　　）
A．函数与函数表示同一函数
B．若函数f（1）＝x﹣3，则f（x）＝x2﹣x﹣2（x≥﹣1）
C．关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则8a+4b+3c＜0
D．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+xn的图象不经过第四象限
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；由一元二次不等式的解求参数；判断两个函数是否为同一函数；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】选项A，根据两函数的定义域不同，判断不是同一函数；
选项B，利用换元法即可求出f（x）的解析式；
选项C，根据一元二次不等式与对应方程的关系，求出a与b、c的关系，代入8a+4b+3c中判断即可；
选项D，根据指数函数的图象恒过定点求出m，n，再判断函数g（x）的图象是否过第四象限．
【解答】解：对于A，y 的定义域为{x|x≥1}，y的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，两函数的定义域不同，不是同一函数，选项A错误；
对于B，设t1，t≥﹣1，则x＝（t+1）2，所以f（t）＝（t+1）2﹣3（t+1）＝t2﹣t﹣2，即f（x）＝x2﹣x﹣2，其中x≥﹣1，选项B正确；
对于C，由不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}知，，解得，
所以8a+4b+3c＝8a﹣4a﹣18a＝﹣14a＞0，选项C错误；
对于D，因为函数f（x）＝ax﹣1﹣2的图象恒过定点M（1，﹣1），所以函数g（x）＝1+x﹣1的图象不过第四象限，选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用，是基础题．
（多选）8．下列不等式不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．（﹣1.2）3＜（﹣0.8）3
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】根据函数的单调性，即可判断选项中两个函数值的大小．
【解答】解：对于A，根据y是定义域R上的减函数，得，选项A错误；
对于B，根据y是定义域R上的增函数，得，选项B错误；
对于C，根据y在（0，+∞）上单调递减，得，选项C错误；
对于D，根据y＝x3是定义域R上单调递增，得（﹣1.2）3＜（﹣0.8）3，选项D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了根据函数的单调性判断大小，是基础题．
（多选）9．已知a＞0且a≠1，b∈R，则函数f（x）＝bx﹣a与g（x）＝b ax在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】因为f（x）＝bx﹣a为一次函数，所以函数f（x）的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可．
【解答】解：对于A，由图象结合一次函数图象性质可知b＞0，a＞0，
当a＞1时，g（x）＝b ax单调递增，故A符合题意；
对于B，由图象结合一次函数图象性质可知b＞0，a＞0，
当0＜a＜1时，g（x）＝b ax单调递减，故B符合题意；
对于C，由图象结合一次函数图象性质可知b＜0，a＞0，
当a＞1时，g（x）＝b ax单调递减其图象与y＝﹣bax的图象关于x轴对称，故C符合题意；
对于D，由图象结合一次函数图象性质可知b＞0，a＞0，
而y＝ax＞0恒成立，所以g（x）＝b ax图象在x轴上方，故D不符合题意．
故选：ABC．
【点评】本题考查一次函数与指数函数的图象与性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．　256﹣i ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】256﹣i．
【分析】直接利用复数的运算法则求解即可．
【解答】解：原式可化简为：i2019＝i3＝﹣i，（i）8＝（）8（1+i）8＝24×（2i）4＝28×i4＝256，
（）50i，
i，
将以上结果代入原式，得：﹣i+256﹣i+i＝256﹣i．
因此，原式的值为256﹣i．
故答案为：256﹣i．
【点评】本题考查了复数的运算，是中档题，
11．已知，则x2+x﹣2＝　3　 ．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】两边平方后，求出答案．
【解答】解：因为，所以（x+x﹣1）2＝5，
即x2+x﹣2＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
12．已知x＞0，y＞0，化简：　　 ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用指数运算及根式运算求解即可．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，
所以4．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
13．已知常数a＞0且a≠1，如果无论a取何值，函数y＝ax﹣2的图像恒过定点P，则P的坐标是　（0，﹣1）　 ．
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据指数函数的性质计算可得．
【解答】解：函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1）恒过点（0，﹣1），即P（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
14．已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：．
【考点】指数函数的值域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】（1）y＝2x；
（2）{x|x}．
【分析】（1）把点（2，4）代入函数解析式，结合指数函数的定义可求a，进而可求函数解析式；
（2）结合指数函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）由题意得（a﹣1）2＝4且a﹣1＞0，
所以a﹣1＝2，
所以y＝2x；
（2）由于a﹣1＞0且a﹣1≠1，即a＞1且a≠2，原不等式可转化为|3x﹣4|＜3，
解得x，
故不等式的解集为{x|x}．
【点评】本题主要考查了指数函数解析式的求解，还考查了指数函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
15．计算：
（1）；
（2）计算：．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）1；
（2）
【分析】（1）根据特殊角三角函数值和指数幂的运算法则计算可得结果；
（2）通分化简代数式可得结果．
【解答】解：（1）
＝1；
（2）
．
【点评】本题主要考查了三角函数值的计算，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
16．已知集合A＝{x||6x﹣1|≤2}，B．
（1）求A∩B；
（2）求A∪（ RB）．
【考点】指数函数的值域；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】（1）（0，]；
（2）．
【分析】（1）结合交集的定义，即可求解；
（2）结合并集，补集的定义，即可求解．
【解答】解：（1）|6x﹣1|≤2，即﹣2≤6x﹣1≤2，解得，
故；
，当x≥0时，0＜y≤1，故B＝（0，1]，
故A∩B＝（0，]；
（2） RB＝（﹣∞，0]∪（1，+∞），
则．
【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于基础题．
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