4.1 对数的概念（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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4.1 对数的概念
一．选择题（共6小题）
1．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（　　）
（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6）
A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14
2．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255．若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（　　）天
（参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956）
A．200天 B．210天 C．220天 D．230天
3．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则2.51051的估算值为（　　）
A．10418 B．10419 C．10420 D．10421
4．已知a，b∈R，则“b＝ea”是“a＝lnb”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（　　）
A．ln2 B．ln3 C． D．
6．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（　　）
A．54小时 B．72小时 C．108小时 D．144小时
二．多选题（共3小题）
（多选）7．若实数a，b满足2a＝3b＝6，则（　　）
A． B．logab＞logba
C．a＞b D．aa＞ab＞bb
（多选）8．已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则（　　）
A．y＞x B．x+y＞1 C． D．
（多选）9．已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是（　　）
A．lga＞lgb B．a+b＝ab
C． D．a+4b＞9
三．填空题（共4小题）
10．已知实数a，b，c满足9a＝24b＝c且，则c＝ 　 　 ．
11．关于x的方程ex＝2的解为　 　 ．
12．若log2x＝3，则实数x的值为 　 　 ．
13．已知f（x）＝3x，则f（log32）＝　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．将下列指数式与对数式互化：
（1）ea＝16；
（2）；
（3）log39＝2；
（4）logxy＝z（x＞0且x≠1，y＞0）．
15．把下列对数式写成指数式：
（1）log39＝2； （2）log5125＝3；
（3）log22； （4）log34．
4.1 对数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（　　）
（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6）
A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得．
【解答】解：某海域6米深处的光强是海面光强的40%，
依题意得，，
化成对数式，，
则该海域消光系数K的值约为K≈0.15．
故选：C．
【点评】本题考查指数式、对数式互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255．若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（　　）天
（参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956）
A．200天 B．210天 C．220天 D．230天
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意可列出方程100×0.99x＝1.01x，求解即可，
【解答】解：设经过x天“进步“的值是“退步”的值的100倍．
则100×0.99x＝1.01x，
即（）x＝100，
∴x＝log100230．
故选：D．
【点评】本题考查利用对数函数解决问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
3．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则2.51051的估算值为（　　）
A．10418 B．10419 C．10420 D．10421
【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：因为lg2≈0.301，lg5≈0.699，
所以lg2.51051＝1051lg2.5＝1051（lg5﹣lg2）≈1051×（0.699﹣0.301）≈418，
所以2.51051≈10418．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
4．已知a，b∈R，则“b＝ea”是“a＝lnb”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】A
【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案．
【解答】解：因为b＝ea a＝lnb，
所以“b＝ea”是“a＝lnb”的充要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，属于基础题．
5．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（　　）
A．ln2 B．ln3 C． D．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】应用题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学建模．
【答案】D
【分析】易知，它们的初速度相等，故Q点的速度为107，然后可以根据，求出P在中点、分点时的x，则Q点移动的距离可求，结合速度，时间可求．
【解答】解：由题意，P点初始速度107即为Q点的速度．
当P在靠近A点的三等分点时：，解得：x，
当P在二等分点时：，解得：x＝107ln2，
所以经过的时间为：．
故选：D．
【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题．
6．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（　　）
A．54小时 B．72小时 C．108小时 D．144小时
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】将两组数据代入解析式，利用指对互化和对数的运算法则求出k和b的值，令x＝0，求解即可．
【解答】解：由题意，可得，
即，解得，
即食品的保鲜时间y与储藏温度x满足，
令x＝0，可得y＝e2ln12＝144，
所以该食品在0℃的保鲜时间是144小时．
故选：D．
【点评】本题考查指、对数的运算，属基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．若实数a，b满足2a＝3b＝6，则（　　）
A． B．logab＞logba
C．a＞b D．aa＞ab＞bb
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用指数式与对数式的互化结合对数运算的性质，指数函数的单调性、幂函数数的单调性进行求解即可．
【解答】解：对于A，因为2a＝3b＝6，所以b＝log36，a＝log26，，A正确；
对于B，C，由已知得，a＝log26＞b＝log36＞1，所以logba＞1＞logab，B错误，C正确；
对于D，因为a＞b＞1，f（x）＝ax单调递增，所以f（a）＝aa＞f（b）＝ab，
又g（x）＝xb在（0，+∞）上单调递增，所以g（a）＝ab＞g（b）＝bb，故aa＞ab＞bb，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查对数运算的性质、指数式与对数式互化，属于中档题．
（多选）8．已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则（　　）
A．y＞x B．x+y＞1 C． D．
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；有理数指数幂及根式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由已知结合指数及对数的转化及对数函数的性质检验选项A；结合对数的运算性质检验选项B；结合基本不等式检验选项C，D即可．
【解答】解：因为12x＝3，所以x＝log123，
因为12y＝4，所以y＝log124，则y＞x，A正确；
x+y＝log1212＝1，所以B错误；
因为x＞0，y＞0，，当x＝y成立，而x＜y，故，所以C正确；
，即，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了指数与对数的转化公式，还考查了对数函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）9．已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是（　　）
A．lga＞lgb B．a+b＝ab
C． D．a+4b＞9
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D．
【解答】解：由题可得a＝log315＞log33＝1＞0，b＝log515＞log55＝1＞0．
∴，即，所以a＞b＞0，
对于A，因为a＞b＞0，所以lga＞lgb，故A正确；
对于B，∵，∴a+b＝ab，故B正确；
对于C，因为a＞b＞0，所以，故C错误；
对于D，因为a＞b＞0，．
所以．
当且仅当，即a＝2b时等号成立，这与已知3a＝5b矛盾，所以a+4b＞9，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查指数函数和对数函数，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．已知实数a，b，c满足9a＝24b＝c且，则c＝ 　6　 ．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】6．
【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可．
【解答】解：∵实数a，b，c满足9a＝24b＝c，∴c＞0，a＝log9c，b＝log24c，
∴，即c3＝216，
∴c＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查对数的运算，属于基础题．
11．关于x的方程ex＝2的解为ln2　 ．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ln2．
【分析】根据对数运算得解．
【解答】解：由ex＝2，可得x＝ln2，
故答案为：ln2．
【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题．
12．若log2x＝3，则实数x的值为 　8　 ．
【考点】对数的概念．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】8．
【分析】把对数化为指数即可．
【解答】解：log2x＝3，x＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了对数与指数的运算问题，是基础题．
13．已知f（x）＝3x，则f（log32）＝　2　 ．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据指数恒等式，直接代入即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝3x，
∴f（log32）＝3log32＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查指数和对数的基本运算，要求熟练掌握指数恒等式的计算．
四．解答题（共2小题）
14．将下列指数式与对数式互化：
（1）ea＝16；
（2）；
（3）log39＝2；
（4）logxy＝z（x＞0且x≠1，y＞0）．
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝ln16；（2）log64；（3）32＝9；（4）xz＝y．
【分析】根据题意把指数化为对数，把对数化为指数即可．
【解答】解：（1）ea＝16，化为对数：a＝ln16；
（2），化为对数：log64；
（3）log39＝2，化为指数：32＝9；
（4）logxy＝z，化为指数：xz＝y．
【点评】本题考查了指数与对数的互化问题，是基础题．
15．把下列对数式写成指数式：
（1）log39＝2； （2）log5125＝3；
（3）log22； （4）log34．
【考点】指数式与对数式的互化．
【答案】见试题解答内容
【分析】若logaN＝b，则ab＝N；由此可以把对数式写成指数式．
【解答】解：（1）32＝9；
（2）53＝125；
（3）；
（4）．
【点评】本题考查指数式和对数式的互化，解题时要注意logaN＝b ab＝N．
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