4.2 对数的运算（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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4.2对数的运算
一．选择题（共6小题）
1．深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在_____年首次突破1×105PF．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）
A．2032 B．2033 C．2034 D．2035
2．计算的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．25
3．若x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，则x+3y的最小值为（　　）
A． B． C．12 D．16
4．已知正实数a，b满足aea﹣2＝e2025和b（lnb﹣2）＝e2029．则ab的值为（　　）
A．e2029 B．e2028 C．e2027 D．e2026
5．对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[1]＝1，[﹣1.6]＝﹣2．已知，则S为（　　）
A．0 B．1 C．﹣2020 D．﹣2021
6．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（　　）
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）
A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（　　）
A．若a＞0，b＝2，则a0+b2＝4
B．若，b＝27，则log3a+log3b＝2
C．若，则a＞b
D．若a＞b＞0，c＜0，则
（多选）8．若a＜b＜0，则（　　）
A．a2＜b2 B． C．ln（b﹣a）＞0 D．a3＜b3
（多选）9．已知a＝log210，，则（　　）
A．ab＜0 B．4a 9b＝1
C． D．
三．填空题（共4小题）
10．已知等比数列{an}，a1＝2，a4＝8，则log2a2+log2a3＝　 　 ．
11．若log2[log4（x+1）]＝1，则x＝　 　 ．
12．已知log23＝k，则log129＝　 　 ．（用k表示）
13．已知lg2＝a，10b＝3，则log62＝ 　 　 （结果用a、b表示）．
四．解答题（共2小题）
14．计算：
（1）；
（2）已知，求的值．
15．（1）设a2x＝5，且a＞0，求的值；
（2）若lg2＝a，10b＝3，用a和b表示log1225．
4.2对数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在_____年首次突破1×105PF．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）
A．2032 B．2033 C．2034 D．2035
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，列出不等式，再结合对数的运算法则，即可求解．
【解答】解：设2025年为第0年，算力为2250PF，
每年增长50%，则2250×（1.5）n＞105，即，
故n，
因此，n＝10，对应年份为2025+10＝2035年．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数运算求值，属于基础题．
2．计算的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．25
【考点】对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合指数、对手的运算法则，即可求解．
【解答】解：原式2+3+2﹣6＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．
3．若x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，则x+3y的最小值为（　　）
A． B． C．12 D．16
【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，
所以3x+y＞0，x＞0，y＞0，
所以ln（3x+y）＝lnx+lny＝lnxy，
所以3x+y＝xy，
所以，
所以，
当且仅当即x＝y＝4时取等号，
故x+3y的最小值为16．
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算性质，涉及到基本不等式的应用，属于基础题．
4．已知正实数a，b满足aea﹣2＝e2025和b（lnb﹣2）＝e2029．则ab的值为（　　）
A．e2029 B．e2028 C．e2027 D．e2026
【考点】对数的运算性质；函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定a，b的关联，最后结合题给条件求解ab．
【解答】解：∵aea﹣2＝e2025，
∴ln（aea﹣2）＝lne2025，即lna+lnea﹣2＝lne2025 lna+a＝2027，
∵b（lnb﹣2）＝e2029，
两边同时取对数，可得ln[b（lnb﹣2）]＝lne2029，即lnb+ln（lnb﹣2）＝2029，
则（lnb﹣2）+ln（lnb﹣2）＝2027，
f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
∴方程f（x）＝2027有唯一解，f（a）＝f（lnb﹣2），
∴a＝lnb﹣2，
∴ab＝（lnb﹣2）b＝e2029．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题．
5．对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[1]＝1，[﹣1.6]＝﹣2．已知，则S为（　　）
A．0 B．1 C．﹣2020 D．﹣2021
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】C
【分析】利用取整函数的性质得到f（x）＝[x]+[﹣x]的取值情况，即可得到答案．
【解答】解：由题意设f（x）＝[x]+[﹣x]，
若x是整数，则f（x）＝[x]+[﹣x]＝x+（﹣x）＝0，
若x不是整数，则[x]＜x＜[x]+1，从而﹣[x]﹣1＜﹣x＜﹣[x]，故[﹣x]＝﹣[x]﹣1，这就得到f（x）＝[x]+[﹣x]＝﹣1，
因为lgx＝﹣lg，所以S＝f（lg1）+f（lg2）+...+f（lg2024），
在lg1，lg2，…，lg2024中恰有lg1，lg10，lg100，lg1000是整数，所以有2020个不是整数，
故f（lg1）+f（lg2）+...+f（lg2024）＝﹣1×2020＝﹣2020．
故选：C．
【点评】本题考查了函数取整的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
6．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（　　）
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）
A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用归纳可知，从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，解不等式，即可得出结论．
【解答】解：根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%，
截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率，
由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到2026年，其算力提升至2250×1.5PetaFLOPS，
到2027年，其算力提升至2250×1.52PetaFLOPS， ，
以此类推可知，
从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，
由，可得，
∴，
∴DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500PetaFLOPS．
故选：C．
【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（　　）
A．若a＞0，b＝2，则a0+b2＝4
B．若，b＝27，则log3a+log3b＝2
C．若，则a＞b
D．若a＞b＞0，c＜0，则
【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D．
【解答】解：对A，若a＞0，b＝2时，则a0+b2＝1+4＝5＞4，故A错误；
对B，若，b＝27时，log3a+log3b1+3＝2，故B正确；
对C，若，当a＝b＝1时，，但a＝b，命题不成立，故C错误；
对D，当a＞b＞0时，，又c＜0，所以，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查对数的运算及性质，不等式的性质，属于基础题．
（多选）8．若a＜b＜0，则（　　）
A．a2＜b2 B． C．ln（b﹣a）＞0 D．a3＜b3
【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．
【答案】BD
【分析】对于AB可用作差比较法比较大小即可判断，对于C，根据对数函数性质，易知当0＜b﹣a＜1时，ln（b﹣a）＜0从而排除C项；对于D，可用不等式的性质直接推得．
【解答】解：对于A，由a＜b＜0，则a﹣b＜0，a+b＜0，
由a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＞0，
可得a2＞b2，
故A错误；
对于B，由a＜b＜0，
则b﹣a＞0，ab＞0，
将b﹣a＞0两边同时除以AB可得：，
故B正确；
对于C，因a＜b＜0，当0＜b﹣a＜1时，ln（b﹣a）＜0，
故C错误；
对于D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b＞0，利用不等式的性质可得（﹣a）3＞（﹣b）3，
即﹣a3＞﹣b3，故a3＜b3，
故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了不等式的性质，重点考查了对数函数的性质，属基础题．
（多选）9．已知a＝log210，，则（　　）
A．ab＜0 B．4a 9b＝1
C． D．
【考点】对数运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对数函数的单调性判断a，b符号可判断A．利用对数的运算计算可判断B，根据换底公式及对数的运算可判断CD．
【解答】解：对于A，，所以ab＜0，故A正确；
对于B，因为a＝log210，，
所以，故B正确；
对于C，因为a＝log210，，
所以，故C错误；
对于D，因为a＝log210，，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知等比数列{an}，a1＝2，a4＝8，则log2a2+log2a3＝　4　 ．
【考点】对数运算求值；等比数列的性质．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】4．
【分析】结合等比数列的性质，以及对数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵{an}为等比数列；
∴a1a4＝a2a3；
∴log2a2+log2a3＝log2a1a4＝log216＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
11．若log2[log4（x+1）]＝1，则x＝　15　 ．
【考点】对数运算求值．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】15．
【分析】利用对数的运算性质计算即可．
【解答】解：由题意得，log4（x+1）＝2，所以x+1＝42，解得x＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题．
12．已知log23＝k，则log129＝　　 ．（用k表示）
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】利用换底公式即可求解．
【解答】解：因为log23k，所以lg3＝klg2，
所以log129．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题．
13．已知lg2＝a，10b＝3，则log62＝ 　　 （结果用a、b表示）．
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】利用指数与对数的互化求出b，再利用换底公式及对数运算法则计算作答．
【解答】解：由已知可得b＝lg3，又lg2＝a，
则由对数的换底公式可得：log62．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．计算：
（1）；
（2）已知，求的值．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）通过对数运算性质化简各项后求和；
（2）利用完全平方公式和立方差公式，结合已知条件逐步推导求解．
【解答】解：（1）
＝（lg5）2+lg2×（lg5+lg10）+2+1
＝（lg5）2+lg2lg5+lg2+3
＝lg5（lg5+lg2）+lg2+3
＝lg5×1+lg2+3
＝lg（5×2）+3
＝1+3
＝4．
（2）由，两边平方得，即．
又．
故．
【点评】本题主要考查对数运算、根式和指数运算，属于基础题．
15．（1）设a2x＝5，且a＞0，求的值；
（2）若lg2＝a，10b＝3，用a和b表示log1225．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知结合立方和公式求解；
（2）化指数式为对数式可得b，再由对数的运算性质求解．
【解答】解：（1）∵a2x＝5，且a＞0，
∴；
（2）∵10b＝3，∴b＝lg3，又lg2＝a，
∴log1225．
【点评】本题考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．
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