4.3 对数函数（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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4.3对数函数
一．选择题（共6小题）
1．设a＝log0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log51.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
2．已知函数f（x），甲同学将f（x）的图象向左平移1个单位长度，得到图象C1；乙同学将f（x）的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象C2．若C1与C2恰好重合，则下列给出的f（x）中符合题意的是（　　）
A． B．f（x）＝log2x
C． D．f（x）＝2x
3．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{y|y＝x2+1}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2） B．[1，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，2）
4．已知集合A＝{x|x2≥2x}，B＝{x|ln（﹣x2+8x﹣14）≥0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|4≤x≤5} B．{x|3＜x＜4} C．{x|3≤x≤4} D．{x|2≤x≤4}
5．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，集合B＝{x|y＝ln（﹣x2+6x﹣5）}，则A∪B＝（　　）
A．{x|1＜x＜5} B．{x|1＜x≤8} C．{x|2≤x＜5} D．{x|5≤x≤8}
6．设函数的定义域为D，则对D内的任意实数x，有（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知ab＝1，a＞0，且a≠1，函数y＝loga（﹣x）与y＝bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）8．若0＜a＜1，则函数y＝loga（x+5）的图象经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）9．已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（　　）
A． B．xy＞2z2
C． D．3x＞4y＞6z
三．填空题（共4小题）
10．若对任意的a∈（0，1）∪（1，+∞），函数y＝loga（x﹣1）+2的图像均经过定点P，则点P的坐标是　 　 ．
11．若函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点P，则点P的坐标是 　 　 ．
12．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ．
13．已知函数，若f（x）的值域为R，则实数k的取值范围是　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝logax﹣loga（6﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（4）＝﹣1，求不等式f（x）＞f（2x﹣3）的解集．
15．已知a∈R，函数f（x）＝log2（a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（2x）＞1的解集；
（2）若a＝1，当x∈[2，3]时，F（x）＝f（2x）+log2（2x+1），求函数y＝F（x）的最小值；
（3）当a≠3且a≠4时，关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
4.3对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．设a＝log0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log51.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先根据对数的运算性质，将a与b、b与c化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性，即可比较大小．
【解答】解：因为a＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，b＝log0.20.5＜log0.20.2＝1，
故a＞b．
又因为b＝log0.20.5＝loglog52＞log51.5，即b＞c，
综上所述：a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题．
2．已知函数f（x），甲同学将f（x）的图象向左平移1个单位长度，得到图象C1；乙同学将f（x）的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象C2．若C1与C2恰好重合，则下列给出的f（x）中符合题意的是（　　）
A． B．f（x）＝log2x
C． D．f（x）＝2x
【考点】对数函数的图象．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】通过图象变换得到C1和C2的函数表达式，再根据重合条件逐一验证选项．
【解答】解：根据图象变换规则，甲得到的C1对应的函数为f（x+1），乙得到的C2对应的函数为2f（x），
因为C1与C2重合，故f（x+1）＝2f（x），
选项A，，则，两者不相等，排除；
选项B，f（x）＝log2x，则f ，两者不相等，排除；
选项C，，则，两者不相等，排除；
选项D，f（x）＝2x，则f（x+1）＝2x+1＝2 2x，2f（x）＝2 2x，两者相等，符合条件．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的运算，属于中档题．
3．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{y|y＝x2+1}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2） B．[1，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，2）
【考点】求对数函数的定义域；求集合的交集；二次函数的值域．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；集合；运算求解．
【答案】A
【分析】先求得集合A和B，再结合交集定义求解即可．
【解答】解：集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}＝{x|x＜2}，B＝{y|y＝x2+1}＝{y|y≥1}，
故A∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
4．已知集合A＝{x|x2≥2x}，B＝{x|ln（﹣x2+8x﹣14）≥0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|4≤x≤5} B．{x|3＜x＜4} C．{x|3≤x≤4} D．{x|2≤x≤4}
【考点】求对数型复合函数的定义域；求集合的交集；指、对数不等式的解法；解一元二次不等式．
【专题】转化思想；数形结合法；集合；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】本题可先求解集合B，由于最终求的是交集，故可以先把x的范围限定在（0，+∞）内，通过比较在该范围内f（x）＝x2、g（x）＝2x的函数图象得到集合A中大于0的元素范围，再根据交集的定义求出A∩B．
【解答】解：∵ln（﹣x2+8x﹣14）≥0，∴﹣x2+8x﹣14≥1，
∴（x﹣3）（x﹣5）≤0，得3≤x≤5，
∴求集合A时可只考虑x＞0的范围，
∵x2≥2x存在底数为2的指数，求导难以判断单调性（ln2的近似值未告知），
∴可通过观察f（x）＝x2、g（x）＝2x的函数图象得到不等式解集，
比较特殊点，可得：
x 0 1 2 3 4 5
f（x） 0 1 4 9 16 25
g（x） 1 2 4 8 16 32
当x继续增大时，指数函数比幂函数增长速度快，再无其他交点，
故在x＞0的范围内，x2≥2x解集为2≤x≤4，
∴A∩B＝{x|3≤x≤4}，
故选：C．
【点评】本题考查幂函数、指数函数的定义、性质、图象、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，集合B＝{x|y＝ln（﹣x2+6x﹣5）}，则A∪B＝（　　）
A．{x|1＜x＜5} B．{x|1＜x≤8} C．{x|2≤x＜5} D．{x|5≤x≤8}
【考点】求对数型复合函数的定义域；求集合的并集．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求解对数型复合函数定义域得到集合B，然后利用并集运算求解即可．
【解答】解：因为﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣1）（x﹣5）＞0，解得1＜x＜5，
则集合B＝{x|y＝ln（﹣x2+6x﹣5）}＝{x|1＜x＜5}，
又A＝{x|2≤x≤8}，
所以A∪B＝{x|1＜x≤8}．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集的运算，属于基础题．
6．设函数的定义域为D，则对D内的任意实数x，有（　　）
A． B．
C． D．
【考点】求对数函数的定义域；对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据对数性质即可求解．
【解答】解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
利用对数性质，可得，
计算可得．
故选：C．
【点评】本题考查了对数性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知ab＝1，a＞0，且a≠1，函数y＝loga（﹣x）与y＝bx的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】讨论底数a，根据函数的单调性进行判断
【解答】解：由ab＝1，a＞0，且a≠1，则，所以，
若a＞1，则0＜a＜1，曲线函数图象下降，即为减函数，
且y＝logax单调递增，又函数y＝loga（﹣x）与y＝logax关于y轴对称，
所以函数y＝loga（﹣x）的图象下降，即为减函数，选项C符合条件，
若0＜a＜1时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数，
且y＝logax单调递减，又函数y＝loga（﹣x）与y＝logax关于y轴对称，
所以曲线y＝loga（﹣x）为增函数，选项B符合条件．
故选：BC．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题．
（多选）8．若0＜a＜1，则函数y＝loga（x+5）的图象经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】对数函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用对数函数性质得出其大致图象．
【解答】解：因为0＜a＜1，
令x+5＝1，则x＝﹣4，此时y＝0，
所以y＝loga（x+5）过定点（﹣4，0）且在（﹣5，+∞）上单调递减，
结合函数的图象可知，图象经过第二、三、四象限．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了对数函数图象的应用，属于基础题．
（多选）9．已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（　　）
A． B．xy＞2z2
C． D．3x＞4y＞6z
【考点】对数值大小的比较．
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可．
【解答】解：x、y、z＞0，令3x＝4y＝6z＝t（t＞1），则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t．
（）2，故A正确；
1（）＞12，故B正确；
logt3logt4＝logt6，故C正确；
4logt3＝logt81，3logt4＝logt64，因为t＞1，所以，即3x＜4y，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查对数值比较大小，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．若对任意的a∈（0，1）∪（1，+∞），函数y＝loga（x﹣1）+2的图像均经过定点P，则点P的坐标是　（2，2）　 ．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（2，2）．
【分析】由题意可得x﹣1＝1，即x＝2时，y＝2恒成立，可得函数过的定点的坐标．
【解答】解：对任意的a∈（0，1）∪（1，+∞），函数y＝loga（x﹣1）+2的图像均经过定点P，
即当x﹣1＝1时，即x＝2时，y＝2恒成立，
则点P的坐标是（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数型函数恒过的定点坐标的求法，属于基础题．
11．若函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点P，则点P的坐标是 　（2，1）　 ．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（2，1）．
【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可．
【解答】解：由对数函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1，令3﹣x＝1，得x＝2，
且f（2）＝2loga1+1＝1，所以f（x）的图象过定点P（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了对数函数的图象过定点问题，是基础题．
12．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则x1+x2＝　2　 ．
【考点】反函数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，结合反函数的定义，以及函数的对称性，即可求解．
【解答】解：方程ex+x＝2，即ex＝2﹣x，
x1看作y＝ex与y＝2﹣x函数图象的交点，
lnx+x＝2，即lnx＝2﹣x，
x2看作y＝lnx与y＝2﹣x函数图象的交点，
函数y＝ex，y＝lnx为反函数，二者图象关于直线y＝x对称，
联立，解得x＝1，y＝1，
由对称性可知，x1+x2＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题．
13．已知函数，若f（x）的值域为R，则实数k的取值范围是　[4，+∞）　 ．
【考点】求对数型复合函数的值域．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】[4，+∞）．
【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数y＝kx2+kx+1值域包含正实数集，进而列式求解．
【解答】解：由题意可得y＝kx2+kx+1的值域包含（0，+∞），
当k＝0时，y＝1不满足题意；
则函数y＝kx2+kx+1是二次函数，其图象开口向上，且与x轴有公共点，
于是，解得k≥4，所以实数k的取值范围是[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．
【点评】本题考查复合函数值域相关知识，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝logax﹣loga（6﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（4）＝﹣1，求不等式f（x）＞f（2x﹣3）的解集．
【考点】求对数函数的定义域；求对数函数及对数型复合函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（0，6）；
（2）（3，）．
【分析】（1）根据对数函数的定义域即可得出f（x）的定义域；
（2）根据f（4）＝﹣1即可求出a的值，然后即可判断f（x）在定义域上的单调性，然后即可得出不等式f（x）＞f（2x﹣3）的解集．
【解答】解：（1）f（x）有意义时，需满足，解得0＜x＜6，
所以f（x）的定义域为：（0，6）；
（2）f（4）＝loga4﹣loga2＝loga2＝﹣1，解得a，
所以f（x）在（0，6）上单调递减，
所以由f（x）＞f（2x﹣3）得：，解得，
所以不等式f（x）＞f（2x﹣3）的解集为：．
【点评】本题考查了对数函数的定义域和单调性，减函数的定义，是基础题．
15．已知a∈R，函数f（x）＝log2（a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（2x）＞1的解集；
（2）若a＝1，当x∈[2，3]时，F（x）＝f（2x）+log2（2x+1），求函数y＝F（x）的最小值；
（3）当a≠3且a≠4时，关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的最值；函数的最值．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣∞，0）；（2）；（3）（1，2]．
【分析】（1）由指数函数与对数函数性质可解；
（2）由指数函数与对数函数的单调性可解；
（3）根据题意得，，x2＝﹣1，x1＝x2，结合对数函数性质，从而可解．
【解答】解：（1）由f（2x）＞1可得1，则，则，则x＜0，
则不等式f（2x）＞1的解集为（﹣∞，0）；
（2）由题意可知F（x）＝f（2x）+log2（2x+1）log2（2），
∵x∈[2，3]，∴2x∈[4，8]，
∴，
∴[，]，
则最小值为；
（3），（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
当a≠3且a≠4时，，x2＝﹣1，x1＝x2，
x1是原方程的解当且仅当，即a＞2，
x2是原方程的解当且仅当，即a＞1，
于是满足题意的a∈（1，2]．
综上，a的取值为（1，2]．
【点评】本题考查指数、对数函数性质，属于中档题．
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