4.5 信息技术支持的函数研究（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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4.5信息技术支持的函数研究
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝x2f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．若函数y＝ln（x﹣1）+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝3对称，则实数a的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．函数f（x）＝（x2﹣2x） ex的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数f（x）＝（x+a）（x﹣b）（其中a＞b＞0）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax﹣b的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（　　）
A． B． C． D．
（多选）8．函数y＝（kx2+1）ex的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）9．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10的图象，根据图象判断以下说法正确的是（　　）
A．曲线h（t）在t1附近增加
B．曲线h（t）在t2附近减少
C．曲线h（t）在t1附近比在t2附近增加的缓慢
D．曲线h（t）在t2附近比在t1附近增加的缓慢
三．填空题（共4小题）
10．已知函数y＝g（x）的对应关系如下表所示，函数y＝f（x）的图象如图所示，则g（f（2））的值为　 　 ．
x 1 2 3
g（x） 4 3 ﹣1
11．若函数f（x）＝（ex﹣e）（ex﹣ax2）的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是　 　 ．
12．设曲线C与函数的图像关于直线对称，设曲线C仍然是某函数的图像，则实数t的取值范围是 　 　 ．
13．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）＝f（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个：①；②y＝sin2πt；③y＝sin3πt；④y＝2sin3πt．则S1，S2两种声波的数学模型分别是 　 　 ．（填写序号）
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）在R上是偶函数，且当x≥0时，．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）求f（x）在[﹣4，4]上的值域；
（3）作出y＝|f（x）|在[﹣4，4]上的图象．
15．设函数，且f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的值域和单调区间；
（Ⅲ）直接写出不等式xf（x）＜0的解集．
4.5信息技术支持的函数研究
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝x2f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．
【答案】C
【分析】由函数的性质及函数值的变化趋势分析四个选项得答案．
【解答】解：由函数f（x）的图象可知，f（x）为偶函数，
则函数y＝x2f（x）也是定义域R上的偶函数，
且当x→+∞时，y→+∞，
结合选项可知，函数y＝x2f（x）的图象可能是C．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数的性质及应用，是基础题．
2．若函数y＝ln（x﹣1）+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝3对称，则实数a的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由对称性知函数定义域关于点（3，0）对称，即可得解．
【解答】解：设f（x）＝ln（x﹣1）+ln（a﹣x），
所以，解得1＜x＜a，即函数定义域为（1，a），
因为函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，
所以，解得a＝5，
此时f（x）＝ln（x﹣1）+ln（5﹣x），f（6﹣x）＝ln（5﹣x）+ln（x﹣1）＝f（x），
f（x）的图象关于直线x＝3对称，故a＝5符合．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的对称性的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】A
【分析】直接利用特殊点的位置判断选项即可．
【解答】解：函数，
f（1）0，所以（1，f（1））在第一象限，排除CD．
f（﹣1）0，（﹣1，f（﹣1））在第三象限，排除B．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的变换，图象的判断，利用特殊点判断方便快速解答．
4．函数f（x）＝（x2﹣2x） ex的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】B
【分析】可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）＝0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．
【解答】解：由f（x）＝0可得x＝0或x＝2，排除AC；
因为f'（x）＝（x2﹣2）ex，
令f'（x）＞0，可得x2﹣2＞0，
解得或，此时f（x）单调递增，排除D．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．
5．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，结合函数的单调性，判断即可．
【解答】解：函数是偶函数，排除选项B、C．
当x＞0时，函数x是增函数，排除选项A．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判定，考查函数的单调性以及函数的单调性的应用，是中档题．
6．已知函数f（x）＝（x+a）（x﹣b）（其中a＞b＞0）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax﹣b的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换；指数函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象判断a，b的值，判断函数g（x）＝ax﹣b的图象特征，推出结果即可．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞b＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴a＞1＞b＞0，
函数g（x）＝ax﹣b的是增函数，与y轴的交点为（0，1﹣b）．
函数的图象如图：C．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，注意：二次函数的图象开口向上决定a的正负；二次函数的图象与y轴的交点的位置决定c的正负，指数函数的图象的特征，考查基本知识的应用．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】BCD
【分析】根据函数图象平移的规则进行判断即可．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，需将的图象拉伸2倍，才能得到的图象，无法通过平移得到，所以A错误；
对于B，将的图象向右平移一个单位可得到的图象，所以B正确；
对于C，将的图象向上平移一个单位可得到的图象，所以C正确；
对于D，因为，
所以将的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位可得到的图象，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数的图象变化，注意函数图象变化的规律，属于基础题．
（多选）8．函数y＝（kx2+1）ex的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】ABC
【分析】根据题意，分k＝0，k＜0和k＞0三种情况讨论函数的图象，由此分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于y＝（kx2+1）ex，
分3种情况讨论：
①当k＝0时，y＝ex，是指数函数，与选项A的图象对应，
②当k＜0时，若y＝（kx2+1）ex＝0，解可得：x＝±，
在区间（﹣∞，）上，kx2+1＜0，有y＝（kx2+1）ex＜0，
在区间（，）上，kx2+1＞0，有y＝（kx2+1）ex＞0，
在区间（，+∞）上，kx2+1＜0，有y＝（kx2+1）ex＜0，与选项A的图象对应，
③当k＞0时，kx2+1＞0，有y＝（kx2+1）ex＞0，即函数的图象在x轴的上方，
其导数y′＝（2kx）ex+（kx2+1）ex＝（kx2+2kx+1）ex，
对于kx2+2kx+1＝0，
其中当0＜k≤1时，有Δ＝4k2﹣4k≤0，此时kx2+2kx+1≥0恒成立，
此时y′＝（kx2+2kx+1）ex＞0恒成立，函数y＝（kx2+1）ex有在R上递增，没有选项的图象与之对应，
当k＞1时，Δ＝4k2﹣4k＞0，方程kx2+2kx+1＝0有两个负根，
此时函数y＝（kx2+1）ex有两个极值点，且都在y轴左侧，与选项C的图象对应，
同时选项D的图象不可能成立．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．
（多选）9．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10的图象，根据图象判断以下说法正确的是（　　）
A．曲线h（t）在t1附近增加
B．曲线h（t）在t2附近减少
C．曲线h（t）在t1附近比在t2附近增加的缓慢
D．曲线h（t）在t2附近比在t1附近增加的缓慢
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可．
【解答】解：对于A、B选项，由图象可知，h（t）在t1与t2附近均增加，故A正确，B错误；
对于C、D选项，由图象及二次函数的单调性可知，
t1与t2均在对称轴左侧，函数单调递增，
但增加的趋势逐渐趋于平缓，且h′（t）＝﹣9.8t+6.5，h′（t1）＞h′（t2）＞0，故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查函数图象及其运用，考查数形结合思想，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数y＝g（x）的对应关系如下表所示，函数y＝f（x）的图象如图所示，则g（f（2））的值为　4　 ．
x 1 2 3
g（x） 4 3 ﹣1
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先由图读出f（2），再结合函数y＝g（x）的对应关系表，即可得解．
【解答】解：根据题意，由图可知f（2）＝1，
则g（f（2））＝g（1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查函数的表示方法，涉及函数值的计算，属于基础题．
11．若函数f（x）＝（ex﹣e）（ex﹣ax2）的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是　（﹣∞，0]　 ．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，0]．
【分析】由f（0）＝1﹣e＜0，f（1）＝0，当x→+∞时，f（x）→+∞，可得f（x）必过第一、第三、四象限，问题转化为只需f（x）不经过第二象限，即当x＜0时，f（x）≤0恒成立，分a≤0和a＞0讨论求解．
【解答】解：由题意函数f（x）＝（ex﹣e）（ex﹣ax2）的图象恰好经过三个象限，
可得f（0）＝1﹣e＜0，f（1）＝0，当x→+∞时，f（x）→+∞，故f（x）必过第一、第三、四象限，
所以只需f（x）不经过第二象限，
当x＜0时，ex﹣e＜0，由（ex﹣e）（ex﹣ax2）≤0，可得ex﹣ax2≥0恒成立，
当a≤0时，上式成立，
当a＞0时，取，ex﹣ax2＜1﹣ax2＝0不合题意，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
12．设曲线C与函数的图像关于直线对称，设曲线C仍然是某函数的图像，则实数t的取值范围是 　　 ．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】．
【分析】设l是函数f（x）（0≤x≤t）在点M（t，）的切线，则直线l关于y对称后的直线方程必为x＝a，曲线C才能是某函数的图像，联立方程组结合函数的图像，分析求解即可．
【解答】解：设l是函数 在点 的切线，
因为曲线C与函数 的图像关于直线x对称，
所以直线l关于y对称后的直线方程必为x＝a，曲线C才能是某函数的图像，
如图所示，直线y与x＝a的夹角为30°，所以直线l的倾斜角为30°，
则直线的方程为l：，联立方程组，
可得x3﹣t3﹣8（x﹣t）＝0，则（x﹣t）（x2+xt+t2﹣8）＝0，
即x2+xt+t2﹣8＝0与x﹣t＝0同解，
解得，
所以t的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与抛物线位置关系的应用，反函数定义的理解与应用，函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的理解与应用，属于中档题．
13．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）＝f（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个：①；②y＝sin2πt；③y＝sin3πt；④y＝2sin3πt．则S1，S2两种声波的数学模型分别是 　②③　 ．（填写序号）
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】②③．
【分析】通过函数特殊值，三角函数图象即可求解．
【解答】解：当t＝1时，y＝sin1，y＝sin2π＝0，y＝sin3π＝0，y＝2sin3π＝0，
由图象可知H（1）＝0，∴排除①，
由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（t）与g（t）的周期不同，
而③④的周期相同，∴一定包含②y＝sin2πt，
若②④组合，当t时，，与图象不符，∴排除④
∴只能是②③，
故答案为：②③．
【点评】本题考查三角函数图象性质，分类讨论，属基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）在R上是偶函数，且当x≥0时，．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）求f（x）在[﹣4，4]上的值域；
（3）作出y＝|f（x）|在[﹣4，4]上的图象．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）；
（2）[﹣1，1]；
（3）y＝|f（x）|在[﹣4，4]上的图象，如图所示：
【分析】（1）利用偶函数的定义求解；
（2）分别求出f（x）在[0，4]和[﹣4，0）上的最值，进而得到f（x）在[﹣4，4]上的值域；
（3）利用函数的图象变换规律求解．
【解答】解：（1）当x＜0时，则﹣x＞0，
所以f（﹣x），
又因为函数f（x）在R上是偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x）1，
所以f（x）；
（2）当0≤x≤4时，f（x）1单调递增，
又因为f（0）＝﹣1，f（4）＝1，
所以﹣1≤f（x）≤1，
当﹣4≤x＜0时，f（x）单调递减，
又因为f（﹣4）＝1，f（0）＝﹣1，
所以﹣1＜f（x）≤1，
综上所述，当x∈[﹣4，4]时，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，即函数的值域为[﹣1，1]；
（3）先画出y＝f（x）的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，即可得到y＝|f（x）|的图象，
所以y＝|f（x）|在[﹣4，4]上的图象，如图所示：
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了分段函数的图象和性质，属于基础题．
15．设函数，且f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的值域和单调区间；
（Ⅲ）直接写出不等式xf（x）＜0的解集．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）f（x）；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，如图所示：
所以函数f（x）的值域为（﹣∞，3]，单调递增区间为[﹣2，0），单调递减区间为[﹣4，﹣2]，[0，+∞）；
（Ⅲ）（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）∪（3，+∞）．
【分析】（Ⅰ）根据f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣1得到关于b，c的方程组，求出b，c的值，即可得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据f（x）的解析式画出函数f（x）的图象，由图象直接写出函数f（x）的值域和单调区间；
（Ⅲ）根据f（x）的图象求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数，且f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣1，
所以16﹣4b+c＝3，4﹣2b+c＝﹣1，
联立解得b＝4，c＝3，
所以f（x）；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，如图所示：
所以函数f（x）的值域为（﹣∞，3]，单调递增区间为[﹣2，0），单调递减区间为[﹣4，﹣2]，[0，+∞）；
（Ⅲ）不等式xf（x）＜0，
由图象可知，当x＜0时，f（x）＞0，则x＜﹣3或﹣1＜x＜0，
当x＞0时，f（x）＜0，则x＞3，
综上所述，不等式xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）∪（3，+∞）．
【点评】本题主要考查了分段函数的图象和性质，属于中档题．
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