6.2 抽样的基本方法（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
6.2 抽样的基本方法
一．选择题（共6小题）
1．某地区有大型商铺50家，中型商铺150家．为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则应抽取中型商铺（　　）
A．5家 B．10家 C．15家 D．20家
2．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（　　）
A．40 B．70 C．110 D．150
3．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是（　　）
A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量
4．某班同学身高的平均数为，方差为s2，其中女生身高x1，x2，…，xm的平均数为，方差为，男生身高y1，y2，…，yn的平均数为，方差为，下列说法错误的是（　　）
A．若，则
B．若，则s2
C．若m＝n，则
D．若，则s2
5．某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（　　）
A．60 B．80 C．100 D．120
6．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量n＝（　　）
A．16 B．40 C．80 D．100
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为32
（多选）8．某班有男生30人，女生20人．在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为；方差分别为，该班成绩的均分和方差为，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）9．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径．某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为5：3：2，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若抽到青年旅客40人，则（　　）
A．抽到老年旅客100人
B．抽到中年旅客20人
C．n＝400
D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过200
三．填空题（共4小题）
10．如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在[50，150]内的销售商中抽取　 　 家．
11．某学校有男生800人，女生600人．为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为　 　 ．
12．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 　 　 ．
13．某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A，B，C三所学校抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校分别有180，270，90名教师，则从A学校中应抽取的人数为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量．假设敌军某年生产的战机数量为N，摧毁某年生产的n架战机编号从小到大为x1，x2，x3，…，xn，最大的编号为xn，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号x1，x2，x3，…，xn，相当于从[1，N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0，N]分成（1+n）个小区间（如图），可以用前n个区间的平均长度估计所有（1+n）个区间的平均长度进而得到N的估计值．
已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题．
（1）根据材料估计敌军生产的战机数量；
（2）已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，．
（ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式；
（ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为A，B，C，样本量分别为a，b，c，据此证明：．
15．A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．
（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？
（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；
（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）
6.2 抽样的基本方法
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．某地区有大型商铺50家，中型商铺150家．为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则应抽取中型商铺（　　）
A．5家 B．10家 C．15家 D．20家
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比求出答案．
【解答】解：分层抽样的抽样比为，
用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，应抽取中型商铺家．
故选：C．
【点评】本题考查分层抽样的应用，属于基础题．
2．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（　　）
A．40 B．70 C．110 D．150
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】依题意，求出中卷录取的比率，再根据会试录取人数即可求得中卷录取人数．
【解答】解：因为南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，
可得中卷录取的比率为：，
故会试录取人数为400时，中卷录取人数为．
故选：A．
【点评】本题主要考查分层随机抽样的应用，属于基础题．
3．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是（　　）
A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量
【考点】简单随机抽样．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数据分析．
【答案】C
【分析】根据统计中抽样调查的概念即可得解．
【解答】解：由题意可知，总体是5000名学生的成绩，
个体是每个学生的成绩，
样本是200名学生的成绩，
样本容量为200，
所以抽取的200名学生的成绩是样本．
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单随机抽样中的相关概念，属于基础题．
4．某班同学身高的平均数为，方差为s2，其中女生身高x1，x2，…，xm的平均数为，方差为，男生身高y1，y2，…，yn的平均数为，方差为，下列说法错误的是（　　）
A．若，则
B．若，则s2
C．若m＝n，则
D．若，则s2
【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用分层随机抽样的均值和方差公式判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，因为，
若则，，
即，故A正确；
对于B，若，当，都比较接近于0时，而与相差较大时，
此时s2，故B错误；
对于C，若m＝n，则（），故C正确；
对于D，若，则，
所以s2[]，故D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的均值和方差公式，属于基础题．
5．某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（　　）
A．60 B．80 C．100 D．120
【考点】分层随机抽样．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据分层抽样的性质列式求解即可．
【解答】解：已知从高中部中抽取40名学生，
根据分层抽样可得，解得n＝120．
故选：D．
【点评】本题考查分层抽样相关知识，属于基础题．
6．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量n＝（　　）
A．16 B．40 C．80 D．100
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量．
【解答】解：设出样本容量为n，
∵由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，
∴，
∴n＝40．
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为32
【考点】简单随机抽样；用样本估计总体的离散程度参数；百分位数．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】由简单随机抽样的定义可判断选项A，
由平均数的定义先确定m，再求方差即可；
由百分位数的定义及标准差的定义判断即可．
【解答】解：对于选项A，个体m被抽到的概率是0.1，故正确；
对于选项B，1+2+m+6+7＝4×5，∴m＝4，
故S2[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2+（7﹣4）2]＝5.2，
故错误；
对于选项C，∵8×70%＝5.6，
∴数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是从小到大排序的第6个数，即为23，
故正确；
对于选项D，∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为8×2＝16，
故错误；
故选：AC．
【点评】本题考查了数据数字特征的分析，属于基础题．
（多选）8．某班有男生30人，女生20人．在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为；方差分别为，该班成绩的均分和方差为，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数；方差．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用公式计算平均数与标准差判断各个选项．
【解答】解：对于A、B，该班成绩的均分为，所以A正确，B错误；
对于C、D，
，
所以，同理，
该班成绩的方差为
，所以D正确，C错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的平均数和方差公式，属于基础题．
（多选）9．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径．某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为5：3：2，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若抽到青年旅客40人，则（　　）
A．抽到老年旅客100人
B．抽到中年旅客20人
C．n＝400
D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过200
【考点】分层随机抽样．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用分层抽样求出设抽到老年旅客、中年旅客的人数，逐项判断即可．
【解答】解：由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为5：3：2，
现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，抽到青年旅客40人，
设抽到老年旅客、中年旅客的人数分别为a、b，
则a：b：40＝5：3：2，
解得a＝100，b＝60，故n＝a+b+40＝200，
被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和为a+b＝160＜200，
故AD正确，BC错误．
故选：AD．
【点评】本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在[50，150]内的销售商中抽取　7　 家．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】7．
【分析】计算销量在内的频率，再结合分层抽样计算即可．
【解答】解：由题可得：（0.001+0.002+0.003+2a+0.006）×50＝1，得a＝0.004，
故应从销量在[50，150]的销售商中抽20×（0.003+0.004）×50＝7家．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于基础题．
11．某学校有男生800人，女生600人．为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为　1.92　 ．
【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】1.92．
【分析】根据分层抽样的方差计算公式可解．
【解答】解：采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，
总体样本均值为7.4，
则总体方差为{800×[2.1+（7.7﹣7.4）2]+600×[1.4+（7.4﹣7）2]}＝1.92．
故答案为：1.92．
【点评】本题考查分层抽样的方差计算公式，属于中档题．
12．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 　0.94　 ．
【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数；方差．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.94．
【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出．
【解答】解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：．
故答案为：0.94．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的定义，属于基础题．
13．某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A，B，C三所学校抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校分别有180，270，90名教师，则从A学校中应抽取的人数为 　20　 ．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】20．
【分析】根据题意，得到A，B，C三所学校教师的人数比为2：3：1，进而求得A学校中应抽取的人数，得到答案．
【解答】解：由题可得A，B，C三所学校教师的人数比为：180：270：90＝2：3：1，
所以三所学校抽取60名教师，其中A学校中应抽取的人数为人．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查分层随机抽样的应用，考查计算能力，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量．假设敌军某年生产的战机数量为N，摧毁某年生产的n架战机编号从小到大为x1，x2，x3，…，xn，最大的编号为xn，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号x1，x2，x3，…，xn，相当于从[1，N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0，N]分成（1+n）个小区间（如图），可以用前n个区间的平均长度估计所有（1+n）个区间的平均长度进而得到N的估计值．
已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题．
（1）根据材料估计敌军生产的战机数量；
（2）已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，．
（ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式；
（ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为A，B，C，样本量分别为a，b，c，据此证明：．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）24架；
（2）（ⅰ）不能，需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，估计式见解析；
（ⅱ）证明见解析．
【分析】（1）由题设得求参数，即可得；
（2）（i）根据题意需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，进而写出公式；
（ii）按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为a、b、c，得，应用分层等比例性质即可证．
【解答】（1）解：∵可用估计，
∴，解得N＝24．
∴估计敌军生产的战机数量为24架．
（2）（ⅰ）解：不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度，
需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，
估计式为
或．
（ⅱ）证明：∵样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为a，b，c，
∴，
∴，，，
∵样本平均数为：，
∴．
【点评】本题考查分层随机抽样的性质与平均数公式，属于中档题．
15．A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．
（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？
（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；
（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量；由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）男、女生各有170，160名；
（2）；
（3）23.33．
【分析】（1）根据抽样比即可计算出男女生人数；
（2）利用古典概型计算公式可得结果；
（3）根据方差定义，利用方差的计算公式进行整体代换即可计算出结果．
【解答】解：（1）根据题意可知，抽样比为5：1，
所以该校高一学生中男生有34×5＝170名，
女生有32×5＝160名；
（2）从这66名学生中随机抽取两名共有种，
两名都是男生的抽法共有种，
所以这两名都是男生的概率为．
（3）根据题意可设正确的31个数据为x1，x2，…，x31，
易知，可得，
所以原始数据平均值为，
由方差定义可得，
因此，
可得；
原始数据的方差为
，
即原始数据的方差为23.33．
【点评】本题主要考查分层随机抽样，古典概型概率公式，方差的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)