6.4 用样本估计总体的数字特征（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
6.4用样本估计总体的数字特征
一．选择题（共6小题）
1．已知一组数据为8，4，7，6，9，12，11，3，则这组数据的上四分位数为（　　）
A．4 B．5 C．9 D．10
2．已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，方差为，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．无法判断
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
C．数据1，2，3，4，4，5的平均数、众数、中位数相同
D．某单位A、B、C三个部门平均年龄为38岁、24岁和42岁，又A、B两部门人员平均年龄为30岁，B、C两部门人员平均年龄为34岁，则该单位全体人员的平均年龄为35岁
4．一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（　　）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
5．已知样本数据x1，x2， ，x5的平均数为1，方差为2，则2x1，2x2， ，2x5的平均数和方差分别为（　　）
A．2，2 B．2，8 C．1，4 D．2，4
6．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差大于x1，x2，…，x6的极差
二．多选题（共3小题）
（多选）7．某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（　　）
A．该校约有一半学生成绩高于70分
B．该校不及格人数比例估计为25%
C．估计该校学生成绩的中位数为70分
D．估计该校学生的平均成绩超过了70分
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23
B．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜1）＝0.3，则P（2＜X＜3）＝0.2
C．在回归分析中，可用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好
D．在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高
（多选）9．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分，得到如图所示的统计图，则（　　）
A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
三．填空题（共4小题）
10．柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：4，6，6，7，7，7，8，9，9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为　 　 ．
11．某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知2025年9月份第一、四车间生产的零件数分别为73万件和145万件，若四个车间产量随编号增加而增加，且四个车间产量的中位数与平均数相等，则2025年9月份该厂生产的零件总数为 　 　 万件．
12．将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）　 　 ．
13．若某次调查样本数据为1，a，5，y，7，且a，y是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个样本的方差是 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．某沙稻研究中心利用旱直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下：
甲 47 51 49 50 53
乙 44 51 60 58 52
（1）利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价；
（2）产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，CV越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为，根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广？
15．某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和．
A（单位：kg） 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90
B（单位：kg） 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100
（1）求A品种的10棵桃树产量的第80百分位数；
（2）求，，，；
（3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
6.4用样本估计总体的数字特征
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知一组数据为8，4，7，6，9，12，11，3，则这组数据的上四分位数为（　　）
A．4 B．5 C．9 D．10
【考点】百分位数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】应用百分位数的定义求数据的上四分位数即可．
【解答】解：将数据按照从小到大排序3，4，6，7，8，9，11，12，
由8×0.75＝6，第6位与第7位平均数为10，
所以这组数据的上四分位数为10．
故选：D．
【点评】本题考查百分位数的求解，属于基础题．
2．已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，方差为，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．无法判断
【考点】平均数；用样本估计总体的离散程度参数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】先推导两组数据的平均数均为t，再将方差表示为含相同“平方和”的分式，通过比较分式大小确定方差关系．
【解答】解：由x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，得，
即x1+x2+x3+x4+x5＝5t，故x1，x2，x3，x4，x5的平均数为t．
设（因数据互不相等，故m＞0），则，．
因为（m＞0），所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查方差的定义与计算，利用代数变形分析方差大小，属于基础题．
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
C．数据1，2，3，4，4，5的平均数、众数、中位数相同
D．某单位A、B、C三个部门平均年龄为38岁、24岁和42岁，又A、B两部门人员平均年龄为30岁，B、C两部门人员平均年龄为34岁，则该单位全体人员的平均年龄为35岁
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数；命题的真假判断与应用；分层随机抽样．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】对于选项A根据分层抽样的定义可判断正误，对于选项B求出乙组数据的方程，与甲组数据的方差比较，可判断正误，对于选项C求出数据的平均数、众数、中位数即可判断正误，对于选项D设A，B，C三个部门的人数为a，b，c，根据题意可得a，c，从而求出该单位全体人员的平均年龄．
【解答】解：对于选项A：如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18，故选项A是假命题，
对于选项B：乙组数据的平均数为7，方差为[（5﹣7）2+（6﹣7）2+（10﹣7）2+（5﹣7）2]，
因为乙组数据的方程比甲组数据的方差小，所以这两组数据中较稳定的是乙，
故选项B得假命题，
对于选项C：数据1，2，3，4，4，5的平均数为、众数为4、中位数为，故选项C为假命题，
对于选项D：设A，B，C三个部门的人数为a，b，c，则有：
，化简得a，
，化简得c，
所以该单位全体人员的平均年龄为35岁，
故选项D是真命题，
故选：D．
【点评】本题主要考查了数据的数字特征，同时考查了学生的计算能力，是基础题．
4．一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（　　）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
【考点】百分位数；中位数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用中位数、第60百分位数的定义求出a，进而求出平均数．
【解答】解：因为这组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，
所以中位数为，
由6×60%＝3.6，得这组数据的第60百分位数为a，
所以，解得a＝6．
所以这组数据的平均数为．
故选：A．
【点评】本题考查百分位数、中位数、平均数的求解，属于基础题．
5．已知样本数据x1，x2， ，x5的平均数为1，方差为2，则2x1，2x2， ，2x5的平均数和方差分别为（　　）
A．2，2 B．2，8 C．1，4 D．2，4
【考点】平均数；方差．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用平均数与方差的意义计算即可得解．
【解答】解：根据题意，，s2＝2，
所以，
，
所以数据2x1，2x2， ，2x5的平均数为2，方差为8．
故选：B．
【点评】本题考查平均数与方差的计算知识，属于基础题．
6．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差大于x1，x2，…，x6的极差
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断．
【解答】解：对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，
则，
因为没有确定2（x1+x6），x5+x2+x3+x4的大小关系，所以无法判断m，n的大小，
例如：1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5；
例如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2，∴m＜n；
例如1，2，2，2，2，2，可得，∴m＞n；故A错误；
对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，
则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，
例如：2，4，6，8，10，12，则平均数，
标准差，
4，6，8，10，则平均数，
标准差，
显然，即s1＞s2；故C错误；
对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，
可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数均为，故B正确；
对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，
则x6﹣x1≥x5﹣x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（　　）
A．该校约有一半学生成绩高于70分
B．该校不及格人数比例估计为25%
C．估计该校学生成绩的中位数为70分
D．估计该校学生的平均成绩超过了70分
【考点】中位数；平均数．
【专题】整体思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】由频率分布直方图求得分数在[40，50）和[80，90）的频率，然后确定分数高于70分的频率，低于60分的频率，从而可判断ABC；由频率分布直方图计算均值判断D．
【解答】解：由频率分布直方图知，
分数在[40，50）和[80，90）的频率为，
因此成绩高于70分的频率为0.35+0.1+0.05＝0.5，则估计该校学生成绩的中位数为70分，
故AC正确；
不及格人数（即分数低于60分）的频率为0.1+0.15＝0.25，故B正确；
估计该校学生的平均成绩为：
45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05＝68.5，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查统计及其有关概念，是基础题．
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23
B．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜1）＝0.3，则P（2＜X＜3）＝0.2
C．在回归分析中，可用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好
D．在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高
【考点】百分位数；样本相关系数；n重伯努利试验与二项分布；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据百分位数知识可判断A，根据正态分布曲线知识可判断B，根据决定系数知识可判断C，根据残差知识可判断D．
【解答】解：对于A，数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
又10×70%＝7，则第70%分位数是，则A错误；
对于B，若随机变量X～N（2，σ2），该正态分布曲线关于X＝2对称，又P（X＜1）＝0.3，
则P（X≥1）＝1﹣0.3＝0.7，则P（2＜X＜3）＝P（1＜X＜2）＝P（X≥1）﹣0.5＝0.2，故B正确；
对于C，由决定系数知识可知，R2越大，模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查百分位数，正态分布曲线，决定系数以及残差相关知识，属于中档题．
（多选）9．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分，得到如图所示的统计图，则（　　）
A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【考点】百分位数；极差．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义即可判断选项．
【解答】解：甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲 7.0 8.3 8.9 8.9 9.2 9.3
乙 8.1 8.5 8.6 8.6 8.7 9.1
∴甲的中位数为8.9，乙的中位数为8.6，
∴甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故A正确；
甲得分的极差为9.3﹣7.0＝2.3，乙得分的极差为9.1﹣8.1＝1，
∴甲得分的极差大于乙得分的极差，故B正确；
∵6×75%＝4.5，∴第75百分位数是第5个数，
∴甲得分的第75百分位数是9.2，乙得分的第75百分位数是8.7，
∴甲得分的第75百分位数大于乙得分的第75百分位数，故C错误；
由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查极差、中位数、百分位数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：4，6，6，7，7，7，8，9，9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为　2.09　 ．
【考点】百分位数；方差．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】2.09．
【分析】根据百分位数、平均数和方差的定义求解．
【解答】解：因为10×25%＝2.5，
所以该学生的成绩为从小到大排列的第3个，
所以该生的成绩为6，
所以这10名学生的成绩的平均数为，
所以这10名学生的成绩的方差为2.09．
故答案为：2.09．
【点评】本题主要考查了百分位数、平均数和方差的定义，属于基础题．
11．某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知2025年9月份第一、四车间生产的零件数分别为73万件和145万件，若四个车间产量随编号增加而增加，且四个车间产量的中位数与平均数相等，则2025年9月份该厂生产的零件总数为 　436　 万件．
【考点】平均数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】436．
【分析】根据中位数和平均数公式，列等量关系式，即可求解．
【解答】解：设第二、三车间生产的零件数分别为x，y，则73＜x＜y＜145，
四个车间的中位数为，平均数为，
由条件可知，，得x+y＝218，
所以该厂生产的零件总数为73+218+145＝436万件．
故答案为：436．
【点评】本题考查了平均数与中位数的求解，属于基础题．
12．将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）　72　 ．
【考点】平均数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】72．
【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质求出m的值，进而计算的可得答案．
【解答】解：根据题意，由表中的数据，有10×（0.005+0.015+0.02+0.03+m+0.005）＝1，解可得m＝0.025，
故本次物理测试学生成绩的平均分10×0.005×45+10×0.015×55+10×0.02×65+10×0.03×75+10×m×85+10×0.005×95＝72．
故答案为：72．
【点评】本题考查平均数的计算，涉及频率分布直图的应用，属于基础题．
13．若某次调查样本数据为1，a，5，y，7，且a，y是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个样本的方差是 　4　 ．
【考点】方差．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】4．
【分析】先求出方程x2﹣7x+12＝0的两个根，再结合方差的定义求解．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0，得x＝3或4，
不妨a＝3，y＝4，
则样本平均数是4，
所以这个样本的方差是．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了方差的定义，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．某沙稻研究中心利用旱直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下：
甲 47 51 49 50 53
乙 44 51 60 58 52
（1）利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价；
（2）产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，CV越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为，根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广？
【考点】极差；平均数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定；乙品种的产量较高，但波动较大；
（2）甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广．
【分析】（1）根据平均数和极差的定义求解；
（2）利用方差的定义求解．
【解答】解：（1）甲品种产量样本的平均值50，极差为53﹣47＝6，
乙品种产量样本的平均值，极差为60﹣44＝16，
所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定；乙品种的产量较高，但波动较大；
（2）甲品种的样本方差，
所以甲品种产量的变异系数，
乙品种的样本方差，
所以乙品种产量的变异系数，
因为CV1＜CV2，
所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广．
【点评】本题主要考查了平均数、极差和方差的定义，属于基础题．
15．某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和．
A（单位：kg） 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90
B（单位：kg） 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100
（1）求A品种的10棵桃树产量的第80百分位数；
（2）求，，，；
（3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
【考点】百分位数；平均数；方差．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）85；
（2）；；；；
（3）选种A品种，理由见解析．
【分析】（1）根据百分数知识即可求解；
（2）根据平均数和方差公式求解即可求解；
（3）比较平均值和方差的大小即可求解．
【解答】解：（1）由题意将A品种的10棵桃树产量从小到大排列为：40，50，60，60，70，80，80，80，90，90；
且10×80%＝8，则第80百分位数为第8位和第9位数的平均数，即为；
（2）由题意可得A品种的平均数为，
方差为260；
B品种的平均数为，
方差为280；
（3）种植A品种，因为，但是，所以A品种产量较稳定．
【点评】本题考查了百分位数，平均数，方差的求解，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)