7.1 随机现象与随机事件（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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7.1随机现象与随机事件
一．选择题（共6小题）
1．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件A1＝“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，事件A2＝“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件A3＝“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件A4＝“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（　　）
A．A1与A2为对立事件
B．A2与A4为互斥事件
C．A2与A3为相互独立事件
D．A2与A4为相互独立事件
2．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数．设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件B，“两个点数之和是偶数”为事件C，“两个点数之积是奇数”为事件D，则（　　）
A．事件A与事件B互为对立事件
B．事件C与事件D相互独立
C．事件A与事件C∪D不相互独立
D．事件B与事件C∩D互斥
3．某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（　　）
A．恰有1名同学是女生
B．恰有两名同学是女生
C．至少有1名同学是男生
D．至少有1名同学是女生
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A＝“点数不大于3”，B＝“点数大于4”，C＝“点数为奇数”，D＝“点数为偶数”，下列结论正确的是（　　）
A．A，C为互斥事件 B．B，C为对立事件
C．A，D为互斥事件 D．C，D为对立事件
5．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A1表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，A2表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，A3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，A4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，则（　　）
A．A3与A4为对立事件
B．A1与A3为相互独立事件
C．A2与A4为相互独立事件
D．A2与A4为互斥事件
6．从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（　　）
A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球
C．都是黄球 D．至多1个红球
二．多选题（共3小题）
（多选）7．某公交公司有公交车50辆，按车型大小分为大巴车与中巴车2种，按燃油类型分为汽油车与柴油车2种，其车辆数如表所示．
项目 汽油车 柴油车 合计
大巴车 10 20 30
中巴车 5 15 20
合计 15 35 50
记事件M为“在该公司公交车里随机选一辆，选到大巴车”，事件N为“在该公司公交车里随机选一辆，选到汽油车”．下列说法正确的是（　　）
A．事件M的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”
B．事件M与事件N互斥
C．
D．事件M与事件N相互独立
（多选）8．若，，，则事件A与B的关系是（　　）
A．事件A与B不互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
（多选）9．某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为．若它连续尝试投送两次，则（　　）
A．事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件
B．事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件
C．事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立
D．该机器人至少成功投放一次的概率为
三．填空题（共4小题）
10．已知随机事件A，B相互独立，且，则P（A∪B）的值为　 　 ．
11．已知随机事件A，B，C，A和B互斥，B和C对立，且P（A+B）＝0.7，P（A）＝0.3，则P（C）＝　 　 ．
12．从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方块”，，C＝“抽到红花色”，则P（C）＝　 　 ．
13．已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．美国男子职业篮球联盟（NBA）每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两种类型，其中2名后卫队员（标号为1和2），3名锋线队员（标号为3、4和5），新赛季开始前联盟要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件M＝“第一次抽到后卫队员”，事件N＝“第二次抽到锋线队员”，事件Q＝“抽到的2名队员类型相同”，事件Q的对立事件为．
（1）用集合的形式写出试验的样本空间Ω，并求出；
（2）求P（M+N）和P（M N）．
15．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y．
（1）写出这个试验的样本点；
（2）“x+y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？
（3）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
7.1随机现象与随机事件
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件A1＝“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，事件A2＝“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件A3＝“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件A4＝“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（　　）
A．A1与A2为对立事件
B．A2与A4为互斥事件
C．A2与A3为相互独立事件
D．A2与A4为相互独立事件
【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】确定所有基本事件，结合对立事件、互斥事件、独立事件的概念进而逐项判断即可．
【解答】解：Ω为样本空间，
对于A，A1∪A2≠Ω，
比如第一次第一次抛掷骰子的点数为4，该事件既不在A1中，也不在A2中，
∴A1与A2不为对立事件，故A错误；
对于B，事件A2∩A4为{（2，5）}，∴A2与A4不为互斥事件，故B错误；
对于C，，
∴A2与A3不相互独立，故C错误；
对于D，，
∴A2与A4相互独立，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查基本事件、对立事件、互斥事件、独立事件的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数．设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件B，“两个点数之和是偶数”为事件C，“两个点数之积是奇数”为事件D，则（　　）
A．事件A与事件B互为对立事件
B．事件C与事件D相互独立
C．事件A与事件C∪D不相互独立
D．事件B与事件C∩D互斥
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可．
【解答】解：依题意，可用（x，y）表示掷两枚骰子得到的点数，则Ω＝{（x，y）|x，y∈{1，2，3，4，5，6}}．
对于A，A＝{（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，
而B＝{（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）}，
显然事件A与事件B互斥但不对立，如（1，2）∈Ω，但（1，2） A，（1，2） B，故A错误；
对于B，易得C＝A∪B，故P（C），
因为B＝D，所以P（B）＝P（D），
而CD＝D，则P（CD）＝P（D），
则P（CD）≠P（C）P（D），即C与D不相互独立，故B错误；
对于C，P（A），P（C）＝P（C∪D），
因为A∩（C∪D）＝A，所以，
而，
所以事件A与事件C∪D不相互独立，故C正确；
对于D，C∩D＝B＝D，则B与事件C∩D不互斥，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了互斥事件，相互独立事件的判断，属于基础题．
3．某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（　　）
A．恰有1名同学是女生
B．恰有两名同学是女生
C．至少有1名同学是男生
D．至少有1名同学是女生
【考点】事件的互为对立及对立事件．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知，结合对立事件的定义即可求解．
【解答】解：由对立事件的定义可知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“至少有1名同学是男生”．
故选：C．
【点评】本题考查对立事件的概念，属于基础题．
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A＝“点数不大于3”，B＝“点数大于4”，C＝“点数为奇数”，D＝“点数为偶数”，下列结论正确的是（　　）
A．A，C为互斥事件 B．B，C为对立事件
C．A，D为互斥事件 D．C，D为对立事件
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，由互斥事件、对立事件的定义，依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，A∩C＝“点数为1或3”，A、C不是互斥事件，A错误；
对于B，B∩C＝“点数为5”，B、C不是对立事件，B错误；
对于C，A∩D＝“点数为2”，A、D不是互斥事件，C错误；
对于D，A、D为对立事件，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，注意互斥事件、对立事件的定义，属于基础题．
5．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A1表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，A2表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，A3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，A4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，则（　　）
A．A3与A4为对立事件
B．A1与A3为相互独立事件
C．A2与A4为相互独立事件
D．A2与A4为互斥事件
【考点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即P（AB）＝P（A）P（B）．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，A3∪A4≠Ω，所以A3与A4不为对立事件，A错误；
对于B，，，，则A1与A3为相互独立事件，B正确；
对于C，，，，则A2与A4不是相互独立事件，C错误；
对于D，第一次抛掷骰子的点数为2，第二次抛掷骰子的点数为4时，A2和A4同时发生，A2与A4不为互斥事件，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．
6．从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（　　）
A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球
C．都是黄球 D．至多1个红球
【考点】事件的互为对立及对立事件．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可．
【解答】解：从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，
由题意得若发生“至少有1个红球”，
则取出红球的数量为1个，2个，3个，
由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，
即取到的都是黄球，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．某公交公司有公交车50辆，按车型大小分为大巴车与中巴车2种，按燃油类型分为汽油车与柴油车2种，其车辆数如表所示．
项目 汽油车 柴油车 合计
大巴车 10 20 30
中巴车 5 15 20
合计 15 35 50
记事件M为“在该公司公交车里随机选一辆，选到大巴车”，事件N为“在该公司公交车里随机选一辆，选到汽油车”．下列说法正确的是（　　）
A．事件M的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”
B．事件M与事件N互斥
C．
D．事件M与事件N相互独立
【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断A和B；利用古典概型公式可判断C；根据相互独立事件概率乘法公式判断D．
【解答】解：对于A，事件M的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到的不是大巴车”，
即“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”，故A正确；
对于B，∵存在既是大巴车又是汽油车的车，
∴事件M与事件N可能同时发生，
∴事件M与事件N不是互斥事件，故B错误；
对于C，总车辆数为50，大巴车30辆，汽油车15辆，
则P（M），P（N），故C正确；
对于D，总车辆数为50，既是大巴车又是汽油车的车数为10，
∴P（MN），
结合选项C可知P（MN）≠P（M）P（N），故事件M与事件N不相互独立，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）8．若，，，则事件A与B的关系是（　　）
A．事件A与B不互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
【考点】互斥事件与对立事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据概率即可依次判断．
【解答】解：因为，所以A与B能同时发生，不是互斥事件，故A正确，D错误；
因为，所以，因为，则，所以事件A与B不是互为对立事件，故B错误；
因为，所以事件A与B相互独立，故C正确．
故选：AC．
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题．
（多选）9．某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为．若它连续尝试投送两次，则（　　）
A．事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件
B．事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件
C．事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立
D．该机器人至少成功投放一次的概率为
【考点】互斥事件与对立事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义判断ABC；利用对立事件的概率公式求出概率判断D．
【解答】解：某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为，它连续尝试投送两次，
对于A，“两次都成功投放”与“恰好成功一次”不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，“两次都未成功投放”与“至少成功一次”不可能同时发生，
但必有一个发生，是对立事件，故B正确；
对于C，设“第一次成功投放”为事件A，“两次都成功投放”为事件B，
则，
，∴两个事件相互不独立，故C错误；
对于D，“至少成功一次”的对立事件是“两次都未成功投放”，
“两次都未成功”的概率为，
∴“至少成功一次”的概率为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义、对立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知随机事件A，B相互独立，且，则P（A∪B）的值为　　 ．
【考点】事件的并事件（和事件）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】利用P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）求解．
【解答】解：，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查事件的并事件，属于基础题．
11．已知随机事件A，B，C，A和B互斥，B和C对立，且P（A+B）＝0.7，P（A）＝0.3，则P（C）＝　0.6　 ．
【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；事件的互为对立及对立事件．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.6．
【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可．
【解答】解：因为随机事件A和B互斥，所以P（A+B）＝P（A）+P（B），
则P（A+B）＝P（A）+P（B），所以P（B）＝0.7﹣0.3＝0.4．
又因为B和C对立，所以P（C）＝1﹣P（B）＝0.6．
故答案为：0.6．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，属于基础题．
12．从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方块”，，C＝“抽到红花色”，则P（C）＝　　 ．
【考点】事件的并事件（和事件）．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计．
【答案】．
【分析】根据已知，应用互斥事件加法求P（C）．
【解答】解：设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方块”，
则C＝A∪B且A，B为互斥事件，，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了互斥事件，属于基础题．
13．已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为 　　 ．
【考点】事件的并事件（和事件）．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】应用概率的性质列方程求会员喜爱戏曲的概率即可．
【解答】解：根据题意，记事件A＝“该会员喜爱书画”，事件B＝“该会员喜爱戏曲”，
则有，，，
则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B），即，解得，
即要求概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查和事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．美国男子职业篮球联盟（NBA）每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两种类型，其中2名后卫队员（标号为1和2），3名锋线队员（标号为3、4和5），新赛季开始前联盟要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件M＝“第一次抽到后卫队员”，事件N＝“第二次抽到锋线队员”，事件Q＝“抽到的2名队员类型相同”，事件Q的对立事件为．
（1）用集合的形式写出试验的样本空间Ω，并求出；
（2）求P（M+N）和P（M N）．
【考点】样本点与样本空间；对立事件的概率关系及计算；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}，；
（2）．
【分析】（1）利用列举法可以写出样本空间，根据古典概型以及对立事件的概率公式即可得答案；
（2）根据古典概型的概率公式，即可求得答案．
【解答】解：（1）由题设可得，从5名主力队员中依次随机抽取2名队员，抽法总数构成的集合为：
Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}，Ω中共有20个基本事件．
Q中含有的基本事件为：（1，2），（2，1），（3，4），（3，5），（4，3），（4，5），（5，3），（5，4），共8个基本事件，
故P（Q），P（）＝1；
（2）事件M所含抽法为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），
事件N所含抽法为：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，3），
（4，5），（5，3），（5，4），
事件M+N中含有的基本事件为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，3），（4，5），（5，3），（5，4），共14个基本事件，则；
M N中含有的基本事件为：（1，3），（2，3），（1，4），（2，4），（1，5），（2，5），共6个基本事件，
则．
【点评】本题考查样本点及样本空间，考查古典概型及其概率的求法，是基础题．
15．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y．
（1）写出这个试验的样本点；
（2）“x+y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？
（3）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
【考点】随机事件．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
（3）答案见解析．
【分析】用列举法求解（1）（2）（3）．
【解答】解：（1）这个试验的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
（2）“x+y＝5”包含的样本点有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；“x＜3且y＞1”包含的样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）．
（3）“xy＝4”包含的样本点有（1，4），（2，2），（4，1）；“x＝y”包含的样本点有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）．
【点评】本题考查样本空间、样本点的求法，考查样本空间、样本点的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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