7.3 频率与概率（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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7.3频率与概率
一．选择题（共6小题）
1．小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（　　）
A．
B．
C．1
D．介于和1之间的某个实数
2．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组 （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]
频数 4 6 x 10 y 4
已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（　　）
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20
3．抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（　　）
A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49
4．缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（　　）
A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6
5．在一次随机试验中，三个事件A1、A2、A3的概率分别是0.2、0.3、0.5，则下列说法正确的是（　　）
A．A1+A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1+A2+A3是必然事件
C．P（A2+A3）＝0.8
D．P（A1+A2）≤0.5
6．下列说法一定正确的是（　　）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
（多选）8．下列说法不正确的是（　　）
A．随机试验的频率与概率相等
B．如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生
C．只有不确定事件有概率
D．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
（多选）9．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件．则下列说法中不正确的是（　　）
A．事件C发生的概率为
B．事件C发生的频率为
C．事件C发生的概率接近
D．每抽10台电视机，必有1台次品
三．填空题（共4小题）
10．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 　 　 ．
11．天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
3281 9522 0018 7472 0129 3879 5869 2436 8460 3990
9533 7980 2692 8280 0753 8425 8935 3882 7890 5987
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 　 　 ．
12．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　 　 （精确到0.1）．
13．某次围棋比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人进行比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：
432 334 151 314 354 534 443 512 541 125
525 332 152 345 114 453 423 123 425 344
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率．
15．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b C
（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
7.3频率与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（　　）
A．
B．
C．1
D．介于和1之间的某个实数
【考点】概率及其性质．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】A
【分析】根据概率的性质求解．
【解答】解：由题意可知，他踢点球进门的概率是，
所以他第3次踢进门的概率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了概率的定义，属于基础题．
2．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组 （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]
频数 4 6 x 10 y 4
已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（　　）
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20
【考点】频率与概率．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】本题根据频数与频率的概念计算，即可求解．
【解答】解：已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35，
则，解得x＝8，
所以y＝40﹣4﹣6﹣8﹣10﹣4＝8，
所以样本数据在（50，60]范围内的频率为．
故选：D．
【点评】本题考查频率相关知识，属于基础题．
3．抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（　　）
A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49
【考点】频率与概率．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案．
【解答】解：根据题意可知，“正面朝上”的频率为，
每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5．
故选：D．
【点评】本题考查了频率的计算方法以及概率的含义，属于基础题．
4．缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（　　）
A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出模拟产生了20组随机数其中表示三天中至少有两天下雨的随机数，即可求解．
【解答】解：模拟产生了20组随机数其中表示三天中至少有两天下雨的为446，072，021，392，325，405，631，700，305，311，
故三天中至少有两天下雨的概率约为．
故选：B．
【点评】本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
5．在一次随机试验中，三个事件A1、A2、A3的概率分别是0.2、0.3、0.5，则下列说法正确的是（　　）
A．A1+A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1+A2+A3是必然事件
C．P（A2+A3）＝0.8
D．P（A1+A2）≤0.5
【考点】概率及其性质．
【专题】阅读型；数据分析．
【答案】D
【分析】根据三个事件A1、A2、A3不一定是互斥事件，从而P（A1+A2））≤0.5，P（A2+A3）≤0.8，P（A1+A2+A3）≤1即可得到结论．
【解答】解：三个事件A1、A2、A3不一定是互斥事件
故P（A1+A2））≤0.5，P（A2+A3）≤0.8，P（A1+A2+A3）≤1
A1+A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件
故选：D．
【点评】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念，理清互斥事件和对立事件的区别与联系是关键，属于基础题．
6．下列说法一定正确的是（　　）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
【考点】概率及其性质；随机事件．
【专题】应用题；对应思想；分析法；概率与统计；数据分析．
【答案】D
【分析】根据随机事件的相关概念——判定即可．
【解答】解：“百发百中“说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误；
““是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误；
买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，即C错误；
随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查随机事件的性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
【考点】频率与概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误．
【解答】解：从中任取100件，可能有10件，也可能少于10件或多于10件，A错误；
10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确“的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，
但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确．
多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误；
做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查概率与频率的定义，属于基础题．
（多选）8．下列说法不正确的是（　　）
A．随机试验的频率与概率相等
B．如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生
C．只有不确定事件有概率
D．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
【考点】概率及其性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据频率与概率关系判断A，由事件、概率的定义及性质判断B、C、D，即可得．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，随机试验的频率与概率不一定相等，A错误；
对于B，如果事件发生的概率为99.9999%，说明此事件发生的概率非常大，但不是必然发生，B错误；
对于C，确定事件也有概率，C错误；
对于D，根据概率的性质知0≤P（A）≤1，D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查概率的定义，注意频率与概率的不同，属于基础题．
（多选）9．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件．则下列说法中不正确的是（　　）
A．事件C发生的概率为
B．事件C发生的频率为
C．事件C发生的概率接近
D．每抽10台电视机，必有1台次品
【考点】概率及其性质；随机事件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】算出样本中的次品率，进而求解结论．
【解答】解：抽出的样本中次品率为，即事件C发生的频率为，
∴多次测得的频率围绕概率上下波动，但抽的样本比较少，不一定概率接近，
概率描述的只是可能性，所以每抽10台电视机，不一定有1台次品，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，属于基础题目．
三．填空题（共4小题）
10．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 　0.75　 ．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率．
【解答】解：由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1﹣0.25＝0.75．
故答案为：0.75．
【点评】本题主要考查用模拟方法估计概率，属于基础题．
11．天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
3281 9522 0018 7472 0129 3879 5869 2436 8460 3990
9533 7980 2692 8280 0753 8425 8935 3882 7890 5987
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 　　 ．
【考点】模拟方法估计概率；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】结合表中数据根据古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意，由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有3281，9522，0018，0129，8460，9533，2692，0753，8425，共9组，
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及模拟方法估算概率，属于基础题．
12．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　0.9　 （精确到0.1）．
【考点】频率与概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.9．
【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得．
【解答】解：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数，在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率，
观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在0.9附近，
所以可估计该植物的种子发芽的概率为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题主要考查了频率与概率的关系，属于基础题．
13．某次围棋比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人进行比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：
432 334 151 314 354 534 443 512 541 125
525 332 152 345 114 453 423 123 425 344
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为 　0.55　 ．
【考点】模拟方法估计概率；求随机数法抽样的样本．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.55．
【分析】根据规则找出甲获胜的数，进而可以求解．
【解答】解：由题意甲获胜的数有432，334，151，314，512，125，332，152，114，423，123共11组，
故估计该场比赛甲获胜的概率为0.55．
故答案为：0.55．
【点评】本题考查了模拟方法估计概率的求解，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率．
【考点】概率及其性质；互斥事件的概率加法公式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，“甲射击一次，命中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，由互斥事件的概率加法公式，能求出甲射击一次，命中不足8环的概率．
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，由此能求出甲射击一次，至少命中7环的概率．
方法2：“甲射击一次，至少命中7环”为事件，由对立事件的概率求法能求出甲射击一次，至少命中7环的概率．
【解答】解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，则P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，
“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P（B）＝0.12，
由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，
故A与B是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，
由互斥事件的概率加法公式，
P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．
答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，
“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，
则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，
∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，
∴1﹣0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法．
15．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b C
（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
【考点】概率及其性质．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计．
【答案】（1）0.05，0.2，0.1；
（Ⅱ）{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}，0.4．
【分析】（I）由频率和为1，利用频率求得a、b、c的值；
（II）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
【解答】解：（I）由频率和为1，得a+0.2+0.45+b+c＝1，即a+b+c＝0.35；
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，所以b0.2；
等级系数为5的恰有2件，所以c0.1；
从而a＝1﹣0.2﹣0.45﹣0.2﹣0.1＝0.05；
所以a＝0.05，b＝0.2，c＝0.1；
（II）从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：
{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为：
{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个，
又基本事件的总数为：10
故所求的概率P（A）0.4．
【点评】本题考查了概率与统计知识的简单应用问题，是基础题．
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