7.4 事件的独立性（同步练习.含解析）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

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7.4事件的独立性
一．选择题（共6小题）
1．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M相互独立的事件是（　　）
A．第一次朝上的数字是偶数
B．第一次朝上的数字之和是8
C．两次朝上的数字之和是8
D．两次朝上的数字之和是7
2．如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
4．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图（1），某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图（2）所示的六棱锥P﹣ABCDEF．该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶P﹣ABCDEF的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为0.8，乙每次投中的概率为0.7．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（　　）
A．0.38 B．0.44 C．0.56 D．0.62
6．已知随机事件A、B发生的概率分别为，则下列说法不正确的是（　　）
A．若A与B互斥，则
B．若A与B相互独立，则
C．若，则事件与B相互独立
D．若B A，则
二．多选题（共3小题）
（多选）7．甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（　　）
A．两人都命中的概率为0.56
B．恰好有一人命中的概率为0.38
C．两人都没有命中的概率为0.6
D．至少有一人命中的概率为0.94
（多选）8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
（多选）9．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙对立 B．甲、丙互斥
C．甲、乙相互独立 D．乙、丙相互独立
三．填空题（共4小题）
10．天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 　 　 ；该游客至少游览三个景点的概率为 　 　
11．已知M，N是相互独立事件，且P（M）＝0.4，P（N）＝0.3，则P（M∪N）＝　 　 ．
12．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动．在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为　 　 ．
13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制，已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立．
（1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率；
（2）求第1局乙获胜且第4局甲获胜的概率；
（3）求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率．
15．玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，．
（1）求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；
（2）设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X，求X的分布列及期望．
7.4事件的独立性
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M相互独立的事件是（　　）
A．第一次朝上的数字是偶数
B．第一次朝上的数字之和是8
C．两次朝上的数字之和是8
D．两次朝上的数字之和是7
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】结合相互独立事件的定义及乘法公式检验各选项即可求解．
【解答】解：抛掷骰子两次，共有6×6＝36个基本事件数，
则M＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）}共18个基本事件，
则，
设事件E为第一次朝上面的数字是偶数，则事件M与事件E是对立事件，故A错误；
设事件F为第一次朝上面的数字是1，则F M，故B错误；
设事件N为两次朝上面的数字之和是8，则N＝{（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）}共5个基本事件，则，
且MN＝{（3，5），（5，3）}，则，
P（MN）≠P（M） P（N），所以C错误；
设事件Q为两次朝上面的数字之和是7，则Q＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，
则，且MQ＝{（1，6），（3，4），（5，2）}，则，
因为P（MQ）＝P（M） P（Q），所以事件M与事件Q相互独立．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相互独立事件的判断，属于中档题．
2．如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算．
【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】只要求出元件中的这四个线同时不能正常工作的概率，其对立事件的概率即为所求．
【解答】解：﹣A﹣B﹣这条线不能正常工作的概率为1；
易知A，B，C三个元件不能正常工作的概率分别为：，，，
所以整个电子元件不能正常工作的概率为：，
故该元件能正常工作的概率为1．
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率和对立事件概率的计算，属于中档题．
3．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，举出反例可得A、B、C错误，由相互独立事件的性质分析，可得D正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，
设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，
易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，
依次分析选项：
对于A，A B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；
对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；
对于D，P（B）＝0.6，则P（）＝0.4，
若事件A、B相互独立，则A与也相互独立，则有P（A）＝P（A）P（）＝0.16，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及概率的性质，属于基础题．
4．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图（1），某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图（2）所示的六棱锥P﹣ABCDEF．该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶P﹣ABCDEF的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】分类讨论；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】记事件M：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件N：A与C处挂同一种形状的风铃．分三类讨论求出事件M的挂法总数，分两类讨论求出对于事件N的挂法总数，结合条件概率的计算公式计算即可求解．
【解答】解：记事件M：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件N：A与C处挂同一种形状的风铃．
当顶点A与C挂同一种形状的风铃，且相邻两顶点挂不同形状的风铃时，分以下两类：
（1）A，C，E挂同一种形状的风铃，由前面解析可知，此时不同的挂法有108种；
（2）当A，C挂同一种形状的风铃，E挂其他形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种．
综上，总计有108+144＝252种挂法，即n（MN）＝252，
对于事件M，包含的情况可分以下三类：
（1）当A，C，E挂同一种形状的风铃时，有4种挂法，
此时B，D，F各有3种挂法，故不同的挂法共有4×3×3×3＝108种；
（2）当A，C，E挂两种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种；
（3）当A，C，E挂三种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F各有2种挂法，故不同的挂法共有种．
综上，总计有108+432+192＝732种挂法，即n（M）＝732．
故．
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型以及分类讨论思想的运用，属于中档题．
5．甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为0.8，乙每次投中的概率为0.7．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（　　）
A．0.38 B．0.44 C．0.56 D．0.62
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件概率加法公式分别计算．
【解答】解：根据题意，若甲、乙两人各投篮一次，若恰有一人投中，即甲投中而乙没有投中或甲没有投中而乙投中，其概率P＝0.8×（1﹣0.7）+（1﹣0.8）×0.7＝0.38．
故选：A．
【点评】本题考查互斥事件概率的加法公式，涉及相互独立事件的概率性质，属于基础题．
6．已知随机事件A、B发生的概率分别为，则下列说法不正确的是（　　）
A．若A与B互斥，则
B．若A与B相互独立，则
C．若，则事件与B相互独立
D．若B A，则
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据互斥事件概率加法公式计算可判断A，利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B；利用独立事件的概念可判断C；由交事件的定义可判断D．
【解答】解：已知随机事件A、B发生的概率分别为，
对于A，若A与B互斥，则，故A正确；
对于B，若A与B相互独立，则，
所以，，故B正确；
对于C，若，且，
所以，事件与B相互独立，故C正确；
对于D，若B A，则AB＝A∩B＝B，所以，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件概率加法公式，独立事件的概率公式，交事件的定义等相关知识，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（　　）
A．两人都命中的概率为0.56
B．恰好有一人命中的概率为0.38
C．两人都没有命中的概率为0.6
D．至少有一人命中的概率为0.94
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确．
【解答】解：根据题意，设事件A＝“甲投篮一次且命中”，事件B＝“乙投篮一次且命中”．
则事件A，B独立，
依次分析选项：
对于A，若两人都命中，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56，故A正确；
对于B，若恰好有一人命中，则0.3×0.8+0.7×0.2＝0.38，故B正确；
对于C，若两人都没有命中，则0.3×0.2＝0.06，故C错误；
对于D，若至少有一人命中，则，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及互斥事件的性质，属于基础题．
（多选）8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据相互独立事件以及互斥事件概率计算相关知识可逐一判断．
【解答】解：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，A正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为（1﹣β） β （1﹣β）＝β（1﹣β）2，B正确；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝（1﹣α）2（1+2α），
单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1﹣α，而0＜α＜0.5，
因此P﹣P′＝（1﹣α）2（1+2α）﹣（1﹣α）＝α（1﹣α）（1﹣2α）＞0，即P＞P′，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查相互独立事件以及互斥事件概率计算相关知识，属于基础题．
（多选）9．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙对立 B．甲、丙互斥
C．甲、乙相互独立 D．乙、丙相互独立
【考点】由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性；互斥事件与对立事件．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件相关知识可解．
【解答】解：甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，
甲和乙可以同时发生，则不互斥也不对立，故A错误，
若第一次骰子数字为5，则两次数字之积不为12，故甲和丙不能同时发生，则B正确；
根据题意，甲发生的概率为，乙发生的概率为，而甲乙同时发生的概率为，
又，故甲，乙相互独立，故C正确；
丙发生的概率为，而乙丙同时发生的概率为，
又，则乙丙不独立，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查互斥事件，对立事件，相互独立事件相关知识，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 　　 ；该游客至少游览三个景点的概率为 　　
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】；．
【分析】利用相互独立事件的概率公式，即可求出该游客只游览一个景点的概率；至少游览三个景点分为游览了三个景点或四个景点，分别求出这两种情况的概率，相加即可．
【解答】解：某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，
只浏览一个景点的概率为：．
游览三个景点的概率为：，
游览四个景点的概率为：，
故至少游览三个景点的概率为：．
故答案为：；．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式，属于中档题．
11．已知M，N是相互独立事件，且P（M）＝0.4，P（N）＝0.3，则P（M∪N）＝　0.58　 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；并事件积事件的概率关系及计算．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.58．
【分析】先根据独立事件的乘法公式求出P（MN），再根据P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN）求解即可．
【解答】解：根据题意可知，因为M，N是相互独立事件，P（M）＝0.4，P（N）＝0.3，
所以P（MN）＝P（M）P（N）＝0.12，
则P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN）＝0.4+0.3﹣0.12＝0.58．
故答案为：0.58．
【点评】本题考查了独立事件的乘法公式，属于基础题．
12．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动．在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为　　 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案．
【解答】解：在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，
甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，
在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
两人在两轮活动中共答对3个问题，
可能甲答对2个、乙答对1个，或甲答对1个、乙答对2个，
∴两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为：
P．
故答案为：．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　0.144　 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.144．
【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则该选手第3和第4个问题都回答正确，第2个问题回答错误，
又因为该选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，
所以该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为（1﹣0.6）×0.6×0.6＝0.144．
故答案为：0.144．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制，已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立．
（1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率；
（2）求第1局乙获胜且第4局甲获胜的概率；
（3）求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）列举出甲、乙各获胜1局的情况，根据独立事件概率计算公式求解；
（2）列举出第1局乙获胜且第4局甲获胜的情况，根据独立事件概率公式求解；
（3）Pi为甲、乙比赛结束时，只进行i（i＝3，4）局比赛的概率，根据独立事件概率公式分别计算得到P3，P4，相加即得结果．
【解答】解：（1）由题意每局比赛乙获胜的概率为1，
设事件Ai＝“第i局比赛甲获胜”，事件Bi＝“第i局比赛乙获胜”，
事件C＝“前2局中，甲、乙各获胜1局”，
∴前2局中，甲、乙各获胜1局的概率为：
P（C）＝P（A1B2）+P（B1A2）．
（2）记事件D＝“第1局乙获胜且第4局甲获胜”，
则D＝B1B2A3A4+B1A2B3A4+B1A2A3A4，
∴第1局乙获胜且第4局甲获胜的概率为：
P（D）＝P（B1B2A3A4）+P（B1A2B3A4）+P（B1A2A3A4）
．
（3）记Pi为甲、乙比赛结束时，只进行i（i＝3，4）局比赛的概率，
则P3＝P（A1A2A3）+P（B1B2B3 ）＝（）3+（）3，
P4＝P（B1A2A3A4）+P（A1B2A3A4）+P（A1A2B3A4）+P（A1B2B3B4）+P（B1A2B3B4）+P（B1B1A3B4）
，
∴甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为：
P3+P4．
【点评】本题考查独立事件概率乘积公式、互斥事件和概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，．
（1）求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；
（2）设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X，求X的分布列及期望．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）分布列为：
X 0 1 2 3
P
．
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式和对立事件概率求解；
（2）由题意得出，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和期望．
【解答】解：（1）设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为Y，则Y≤2的对立事件为Y＝3，
∵，
∴；
（2）∵乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X，乙烧制青花瓷的成品率，
∴，
∵X的可能取值为0，1，2，3，
∴，
，
，
．
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
X的期望．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
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