湖北省随州市高中教联体2025年12月高二联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北省随州市高中教联体2025年12月高二联考数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 139.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-08 11:48:26 | ||
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文档简介
湖北省随州市高中教联体2025年12月高二联考数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A.25 B.15 C.30 D.20
4. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离是（ ）
A.1 B.
C.2 D.
5. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（ ）
A.2 B.
C.4 D.
6. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
8. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，
B，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.4
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7
B. 若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为16
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥
D. 若事件A与事件B相互独立，，，则
10. 在平行六面体中，已知，，E为棱的中点，则（ ）
A.
B. 直线与BD所成的角为
C. 平面
D. 已知N为上一点，则最小值为
11. 已知点M在圆上，点P是直线上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（ ）
A. 的最小值为
B. 直线AB必过定点
C. 满足的点有一个
D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若方程表示椭圆，则实数a的取值范围是__________。
13 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年。在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图
是阳马，平面ABCD，，，，则该阳马的外接球的体积为__________。
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，过且垂直于的直线与E
交于、两点，则的周长为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若的面积为，，求．
16．已知点，，以为直径的圆记为圆．
（1）求圆的方程；
（2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积．
17．如图，五面体中，四边形是正方形．
（1）求证：；
（2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小．
18．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组．
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中
年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例
分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动
再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要
负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；
（3）若，求证：直线过定点．
数学答案
1-8.CDDA BABC 9.BD 10.ACD 11.ABD 12. 13. 14.16
11、ABD【详解】圆的圆心为，半径，则到直线的距离 则
，故A正确；设，则的中点为，，以为直径的圆
，又圆，两圆的方程相减得
，即，由，
解得，
因此直线过定点，故B正确；对于直线，令，则，即，
令，则，所以，则的中点为，；
则以为直径的圆的方程为，又，
则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C错误；因为，，设，，则，
，即
又，，所以，
所以，当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故正确.故选：
15.（1） （2）【详解】（1）根据正弦定理，由可得，，，故上式化为，又，，，故化为，即，提公因式，得，又，，，，.（2）的面积为，，由（1）可知，，再根据余弦定理可得，，又，，即，解得.
16.（1） （2）；【详解】（1）因为，，所以中点为，，又因为圆是以为直径的圆，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为.（2）由题意，圆的圆心到点的距离为，故点在圆上，则过点的圆的切线只有一条，因，，则，故切线方程为，即，令，解得，则得，故.
17.【详解】（1）因四边形是正方形，则，又平面，平面，则平面，又平面平面，则，故.（2）因平面平面，，平面平面，则平面，又平面，平面，
则，，因，，则，则，则以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
，，，，则，，，设平面的法向量为，则
令，则，则
，，则直线与平面所成角的正弦值为，又因其夹角取值范围为，故直线与平面所成角为。
18.（1），人（2）；（3）【详解】（1）由直方图知：
，可得，名志愿者中年龄在的人数为人.（2）由频率分布直方图可得众数为，前两个矩形的面积为，又第三个矩形的面积为，所以中位数在内，为.（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，，，，，，则抽取两人的基本事件有
，，，，，，，
，，，，，，，，共15种，恰好来自同一组的基本事件有，，，，共4种，抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概.
19.（1）（2）（3）证明见解析
【详解】（1）由题意得：，解得 ，
椭圆方程为：
（2） 因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在.设直线，代入，可得，设，，则，，因为弦的中点的纵坐标为，所以，即，，到直线的距离，，由，，可得，当即时，取得最大值.（3） ，，即（），，，代入（）式，得，即，化简得，即，或，当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去，当时，则直线，此时直线过定点，当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，，此时，显然成立.直线过定点.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A.25 B.15 C.30 D.20
4. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离是（ ）
A.1 B.
C.2 D.
5. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（ ）
A.2 B.
C.4 D.
6. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
8. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，
B，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.4
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7
B. 若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为16
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥
D. 若事件A与事件B相互独立，，，则
10. 在平行六面体中，已知，，E为棱的中点，则（ ）
A.
B. 直线与BD所成的角为
C. 平面
D. 已知N为上一点，则最小值为
11. 已知点M在圆上，点P是直线上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（ ）
A. 的最小值为
B. 直线AB必过定点
C. 满足的点有一个
D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若方程表示椭圆，则实数a的取值范围是__________。
13 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年。在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图
是阳马，平面ABCD，，，，则该阳马的外接球的体积为__________。
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，过且垂直于的直线与E
交于、两点，则的周长为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若的面积为，，求．
16．已知点，，以为直径的圆记为圆．
（1）求圆的方程；
（2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积．
17．如图，五面体中，四边形是正方形．
（1）求证：；
（2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小．
18．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组．
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中
年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例
分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动
再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要
负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；
（3）若，求证：直线过定点．
数学答案
1-8.CDDA BABC 9.BD 10.ACD 11.ABD 12. 13. 14.16
11、ABD【详解】圆的圆心为，半径，则到直线的距离 则
，故A正确；设，则的中点为，，以为直径的圆
，又圆，两圆的方程相减得
，即，由，
解得，
因此直线过定点，故B正确；对于直线，令，则，即，
令，则，所以，则的中点为，；
则以为直径的圆的方程为，又，
则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C错误；因为，，设，，则，
，即
又，，所以，
所以，当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故正确.故选：
15.（1） （2）【详解】（1）根据正弦定理，由可得，，，故上式化为，又，，，故化为，即，提公因式，得，又，，，，.（2）的面积为，，由（1）可知，，再根据余弦定理可得，，又，，即，解得.
16.（1） （2）；【详解】（1）因为，，所以中点为，，又因为圆是以为直径的圆，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为.（2）由题意，圆的圆心到点的距离为，故点在圆上，则过点的圆的切线只有一条，因，，则，故切线方程为，即，令，解得，则得，故.
17.【详解】（1）因四边形是正方形，则，又平面，平面，则平面，又平面平面，则，故.（2）因平面平面，，平面平面，则平面，又平面，平面，
则，，因，，则，则，则以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
，，，，则，，，设平面的法向量为，则
令，则，则
，，则直线与平面所成角的正弦值为，又因其夹角取值范围为，故直线与平面所成角为。
18.（1），人（2）；（3）【详解】（1）由直方图知：
，可得，名志愿者中年龄在的人数为人.（2）由频率分布直方图可得众数为，前两个矩形的面积为，又第三个矩形的面积为，所以中位数在内，为.（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，，，，，，则抽取两人的基本事件有
，，，，，，，
，，，，，，，，共15种，恰好来自同一组的基本事件有，，，，共4种，抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概.
19.（1）（2）（3）证明见解析
【详解】（1）由题意得：，解得 ，
椭圆方程为：
（2） 因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在.设直线，代入，可得，设，，则，，因为弦的中点的纵坐标为，所以，即，，到直线的距离，，由，，可得，当即时，取得最大值.（3） ，，即（），，，代入（）式，得，即，化简得，即，或，当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去，当时，则直线，此时直线过定点，当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，，此时，显然成立.直线过定点.
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