甘肃省金昌市2025-2026学年第一学期高一数学第二次月考（含解析）

甘肃省金昌市2025-2026学年第一学期高一第二次月考
数学试题
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
本卷命题范围：湘教版必修第一册第一、二、三章全部，第四章前三节。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
3. “且”是“”
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 不等式的解集为
A.
B.
C.
D.
5. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
6. 已知，，，则
A. B.
C. D.
7. 如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为。如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高。当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ，那么不等式 的解集为
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知实数 ， 满足 ，，则
A. B.
C. D.
10. 已知幂函数 ，且 ，则
A.
B. 的图象过点
C. 的图象关于 轴对称
D. 在 上单调递减
11. 对任意两个实数 ，，定义 若 ，，下列关于函数 ， 的说法正确的是
A. 函数 是偶函数
B. 方程 有三个解
C. 函数 有3个单调区间
D. 函数 有最大值为2，无最小值
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知函数 ，则 。
13. 若 ，则函数 的最小值 。
14. 已知点 在函数 的图象上，且 有最小值，则实数 的取值范围为 。
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.（13分）
计算：
（1） 已知 ，求 的值；
（2） ；
（3） 已知 ，，求 的值。
16.(15分)
已知函数 是一次函数，且满足 。
（1） 求 的解析式；
（2） 求函数 的解析式，并求 的值。
17.(15分)
已知命题 ，，命题 ，。
（1） 当命题 为真命题时，求实数 的取值范围；
（2） 若命题 和 中有且仅有一个是假命题，求实数 的取值范围。
18.(17分)
已知关于 的二次函数 。
（1） 若 的解集为 ，求实数 ， 的值；
（2） 当 时，对任意的 都有 恒成立，求实数 的取值范围；
（3） 若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集。
19.(17分)
设函数 。
（1） 若 为奇函数，求关于 的不等式 的解集；
（2） 若 为偶函数，证明： 在 上单调递增；
（3） 在（2）的条件下，设函数 ，，若 在 上的最小值为 ，求实数 的值。
2025－2026－1第二次月考·高一数学
参考答案、解析及评分细则
1.C命题“，”的否定是“，”. 故选C.
2.C根据题意集合 ， ， 则 . 故选C.
3.A 且 ， 且 ， 故 ， 故充分性成立； 取 ，， 则 ， 满足 ， 但此时 不满足 ， 故必要性不成立. 故“ 且 ”是“”的充分不必要条件. 故选A.
4.B因为 ， 所以 ， 所以 或 解得 或 ， 所以不等式的解集为 . 故选B.
5.B因为 为偶函数， 且在 上单调递增， 对于A， 由 ， 则 ， 不正确； 对于B， 由题意知 ， 且 ， 故 ， 正确； 对于C， 由于 ， ， 故 ， 不正确； 对于D， 由题意知 ， 且 ， ， 所以 ， 不正确. 故选B.
6.A ， ， ， 而 ， 所以 . 故选A.
7.C由题意， 无盖长方体垃圾池的容积为 ， 长为 ， 高为 ， 则宽为 ， ， 则总造价 ， 当且仅当 ， 即 时取等号， 且 ， 所以当垃圾池的高为 时， 垃圾池总造价最低. 故选C.
8.C因为 的定义域为 关于原点对称， 且 ， 所以 为奇函数， 所以 ， 当 时， ， 解得 ， 当 时， ， 无解， 当 时， ， 解得 或 （舍）， 综上所述， 不等式解集为 . 故选C.
9.ABD因为 ， ， 所以 ， 故A正确； 因为 ， ， 所以 ， 故B正确； 因为 ， ， 所以 ， 故C错误； 因为 ， 又 ， 所以 ， 故D正确. 故选ABD.
10.BC因为幂函数 ， 所以 ， 解得 或 ， 当 时， ， ， 满足题意， 当 时， ， ， 不符合题意， 故A错误； 所以 ， ， ， 故B正确； 由 ， 定义域为 ， 关于原点对称， 且 ， 所以 为偶函数， 故C正确； 当 时， 单调递减， 关于 单调递减， 所以 单调递增， 故D错误. 故选BC.
11.ABD当，即或时，；当，即时，。
则画出图象如下。对于A选项，因，且，则函数是偶函数，A正确。对于B选项，由图可得有三个解，B正确。对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误。对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D正确。故选ABD。
12.6令得：。
13.5由于，则，故，当且仅当，即时取到等号，故的最小值为5。
14. 设，，分别绘制，的草图如下：
其中有最小值，且；无最小值，且，。因为函数有最小值，所以；点在的图象上，所以。综上。
15. 解：（1） 由，则，即。 ……………………………………… 4分
（2）
。 ……………………………………………………………… 8分
（3） 因为，，所以，， …………………………………………………………… 10分
所以。 …………………………………………………… 13分
16. 解：（1） 由题意可设，代入，……………………………………… 2分
则， ………………………………………………………………………… 4分
整理可得，
解得 k = 1, b = 0, …………………………………………………………………… 6分
所以。 …………………………………………………………………………………… 7分
（2） 由，则； ………………………………………………………………………… 10分
由，则。 ……………………………………………………… 15分
17. 解：（1）当命题为真命题，，，
当时，， 3分
，即. 5分
故的取值范围为. 6分
（2）命题和中有且仅有一个是假命题，命题和一真一假，
当命题为真命题时，，解得或， 8分
①当命题为真，命题为假时， 解得， 11分
②当命题为真，命题为假时,
解得， 14分
综上，实数的取值范围为. 15分
18. 解：（1）因为的解集为
所以与是方程的两个实数根， 2分
由韦达定理可知：. 4分
（2）当时，在上恒成立. 6分
则必有： 9分
所以实数的取值范围为. 10分
（3）因为，则不等式化为：，
因式分解为：. 12分
当时，化为 (x - 1)^{2}\lt0 ，则解集为； 13分
当时，，解得 ，不等式的解集为； 14分
当时，，解得，不等式的解集为； 15分
当 a0 时，，解得或 ，
不等式的解集为. 16分
综上所述：当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 . 17分
.解：（1）由为奇函数，可得，
整理得，
因为，，则，即，则函数解析式为， 2分
由，可得，则，解得，
即不等式的解集为. 4分
（2）由为偶函数，可得，整理得，
因为，不恒为0，则，即，则函数解析式为， 6分
任取，，且，由
， 8分
因为，则，，，
则，故，所以在上单调递增. 10分
（3）由（2）得，该函数在上单调递增，
设，则， 11分
因为，
则由，可得， 13分
其对称轴为直线，因为，则，
当时，即时，由，解得，符合题意； 15分
当时，即时，由，解得（舍去），
16分
综上可得，实数的值为. 17分