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浙教版 九年级上册
九年级数学上学期末模拟卷02
（测试范围：九上全册九下1-2章）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
2 0.85 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度
3 0.84 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
4 0.75 根据概率公式计算概率；已知概率求数量
5 0.74 求抛物线与x轴的交点坐标；求抛物线与y轴的交点坐标；把y=ax +bx+c化成顶点式；y=ax +bx+c的图象与性质
6 0.65 应用切线长定理求解；三角形内心有关应用
7 0.65 一次函数图象与坐标轴的交点问题；判断直线和圆的位置关系；用勾股定理解三角形
8 0.65 根据图形面积求比例系数（解析式）；特殊三角形的三角函数；利用矩形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合
9 0.65 相似三角形的判定与性质综合；重心的有关性质
10 0.64 正多边形和圆的综合；尺规作图——正多边形
二、知识点分布
二、填空题 11 0.84 实数的混合运算；特殊角三角函数值的混合运算；求一个数的算术平方根
12 0.75 切线的性质定理；求其他不规则图形的面积；用勾股定理解三角形；解直角三角形的相关计算
13 0.65 根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算
14 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
15 0.65 圆周角定理；根据旋转的性质求解；用勾股定理解三角形；根据矩形的性质求线段长
16 0.64 三角形内角和定理的应用；利用相似三角形的性质求解
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 因式分解法解一元二次方程；特殊角三角函数值的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
18 0.75 y=ax +bx+c的最值；把y=ax +bx+c化成顶点式；y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
19 0.65 方位角问题(解直角三角形的应用)
20 0.65 相似三角形的判定与性质综合；利用矩形的性质证明
21 0.65 用勾股定理解三角形；圆周角定理；等腰三角形的性质和判定；正多边形和圆的综合
22 0.64 全等的性质和HL综合（HL）；同弧或等弧所对的圆周角相等；用勾股定理解三角形；已知圆内接四边形求角度
23 0.64 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
24 0.4 切线的性质定理；由平行判断成比例的线段；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解2025—2026学年九年级上学期期末模拟卷02
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ）
A． B． C． D．
4．一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（）
A．8 B．9 C．7 D．10
5．已知二次函数，则下列说法错误的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是
C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小
6．如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
7．在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
8．已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
10．我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（ ）．
①两等分； ②三等分； ③四等分．
A．② B．①② C．①③ D．①②③
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． ．
12．在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）
13．如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转得到，若，则阴影部分的面积为 ．
14．是的弦，，点是圆上不与，重合的点，则 ．
15．如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ．旋转角为
16．已知和相似，，，那么的最大内角的度数为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
18．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（、是常数）与坐标轴的交点为和．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当时，的取值范围是______．
19．2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，）
(1)求的长度．（结果保留根号）
(2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1）
20．如图，已知矩形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．
(1)求证：．
(2)若，，，求y关于x的函数表达式．
21．正方形的四个顶点都在上，E是上一动点．
(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数；
(2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值．
22．如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分．
(1)求证：；
(2)若点B为的中点，时，求的长．
23．有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3；B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字4，5，小明先从A布袋中随机取出一个小球，再从Ｂ布袋中随机取出一个小球．
(1)请用列表或树状图表示小明取球的所有可能结果．
(2)求两次取出的球数字和大于6的概率．
24．如图1，为正方形边上一点，连接， 在上取一点， 以为半径作圆， 恰好使得经过点且与相切于点．
(1)若正方形的边长为4时，求的半径；
(2)如图2， 将绕点逆时针旋转后，其所在直线与交于点，与边交于点，连接．
①求的度数；
②求证：．2025—2026学年九年级上学期期末模拟卷02
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B B B C D D B
1．D
本题主要考查了顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故答案为：D．
2．B
根据圆的内接四边形对角互补，得到，根据圆周角定理，得，根据直角三角形性质，得，解答即可．
本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
解：根据圆的内接四边形对角互补，，
得到，
根据圆周角定理，得，
根据直角三角形性质，得，
故选：B．
3．A
根据垂径定理，易知、的长；连接，根据勾股定理即可求出的长，进而可求出的值．
此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．
解：如图；连接；
根据垂径定理，得；
中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故选：A．
4．B
本题考查了简单的概率公式，利用互斥概率可简化计算，根据摸出红球的概率为，可得摸出白球的概率为，再结合白球个数求出总球数，进而求出红球个数，掌握相关知识是解题的关键．
解：∵摸出红球的概率为，
∴摸出白球的概率为，
∵白球有3个，
∴总球数为：，
∴红球个数为：，
故选：B．
5．B
本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确；
∵，
∴图象的顶点坐标是，故B错误；
令，则，解得，，
∴图象与轴的交点坐标是，，故C正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随增大而减小，故D正确；
故选：B．
6．B
本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：设，
的内切圆与分别相切于点，
，，，
，，，
，，
，
，
解得：，
即，
故选：B．
7．C
本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．
求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系．
解：如图，直线分别与 轴交于，
过作于，
当时，，
，
当时，，
，
，
，
的面积，
，
，
到直线的距离，
的半径，
，
直线与的位置关系是相交．
故选：C．
8．D
本题考查了反比例函数值的几何意义、矩形性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据矩形性质得到，根据条件证明，利用相似三角形性质得到，继而求出值即可．
解：如图，作轴，垂足为，
矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
9．D
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，关键是由，推出．取中点M，连接，由三角形重心的性质得到，E是中点，由三角形中位线定理推出，，判定，推出，得到，求出，即可得到的值．
解：取中点M，连接，
∵点G是的重心，
∴，E是中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10．B
本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题．
通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到．
解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分，
可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，
但无法只用圆规得到四等分点，
∴ ①②可行，③不可行，
故选：B．
11．
本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．先分别计算、和的值，再进行实数的加减运算．
解：，，，
原式．
故答案为：．
12．
本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．设交于点，连接、、，由切线的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则是等边三角形，可证明是等边三角形，求得，则，所以，则，由求得，于是得到问题的答案．
解：设交于点，连接、、，则，
以点为圆心，为半径的圆与相切于点，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
，而，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
此题考查旋转的性质，三角函数，正确理解旋转角的定义，求得的度数是关键．
首先求得的度数，然后利用三角函数求得的长，然后利用三角形面积公式即可求解．
解：如图，
是等腰直角三角形，
，
由旋转的性质得出，．
，
∵等腰直角三角形，，
∴
由旋转的性质得出，
，
．
故答案为：
14．或
本题考查同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，圆内接四边形对角互补，掌握相关知识是解决问题的关键．由题目可知是等边三角形，则，
解：，，
是等边三角形，
，
，
∵
∴，
综上所述，为或．
故答案为：或．
15．
本题考查矩形的性质，圆周角定理，旋转的性质．利用勾股定理求得，即可得到，根据圆周角定理，可求得，根据，即可推出为直角．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵点为中点，
∴，
为所对的圆周角，所对的圆心角为，
，
将线段绕点顺时针旋转至，
，
，
，
∴旋转角为．
故答案为：；．
16．
本题考查三角形相似的性质，三角形内角和定理，根据相似三角形的性质得到是解题的关键．由相似三角形对应角相等，结合已知条件和，推出，从而在中利用三角形内角和定理求出各角，比较得最大内角．
解：∵和相似，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴的最大内角的度数为．
故答案为：．
17．（1）；（2），．
本题考查特殊角的三角形函数值、负指数幂，零指数幂和解一元二次方程；
（1）先计算绝对值，二次根式的性质化简根和幂运算，再合并即可得解；
（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
解：（1）
；
（2），
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
18．(1)；
(2)
本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标，增减性，熟练掌握抛物线的性质，最值是解题的关键．
（1）把点的坐标代入抛物线的解析式中，确定字母系数，得到具体解析式后化成顶点式解答即可；
（2）根据函数的增减性，解答即可．
（1）解：将和代入，
得，，
∴，，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的解析式为，顶点坐标为；
（2）由（1）得函数解析式为，顶点坐标，
∴抛物线开口向上，
∴当时，函数取得最小值，最小值为，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴．
19．(1)米
(2)小陈先到达体育场D处
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解；
（2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解．
，
（1）解：由图可知：，，
作于点H．如图所示：
在中，，
在中，米，
答：的长度为米．
（2）解：由（1）可知：，
∴．
在中，，
，
分，
分；
∵，
∴小陈先到达体育场D处．
20．(1)见解析
(2)
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）先根据矩形的性质得出，进而得出，结合题意可得，再结合即可求证；
（2）先表示出，，再由得出，代入即可求解．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
21．(1)或；
(2)，理由见解析
(3)1．
（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解；
（2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到；
（3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可．
（1）解：连接，
∵正方形，
∴，
当点E在优弧AD上时，，
当点E在劣弧AD上时，，
综上，的度数为或；
（2），理由如下，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点，
∴，
∵四边形与四边形关于直线对称，
∴，，
∴当边上的高最小时，面积取得最小值，
∴当点与点A重合，此时点E与点D重合，
∴边上的高就是的长，
∴面积的最小值为．
本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)6
本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明；
（2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点C作于H，，
设，则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
23．(1)
(2)
本题考查的是用画树状图法求概率，掌握知识点是解题的关键．．
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果；
（2）先求出两次取出的球数字和大于6的结果有3种，再根据概率公式求解即可．
（1）解：画树状图得：
共6种等可能性结果，即．
（2）两次取出的球数字和大于6的结果有3种，即，
∴两次取出的球数字和大于6的概率为．
24．(1)
(2)①；②证明见解析
（1）连接、，如图所示，先证明是的直径，再证明是梯形的中位线，设的半径为，由梯形中位线性质及正方形性质得到，，，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）①连接交于，如图所示，利用正方形性质、旋转性质及圆周角定理得到与重合，即可得到答案；②过点作于，于，如图所示，得到四边形是矩形，进而结合等腰直角三角形的判定、全等的判定与性质、正方形的判定与性质得到相应边的关系，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，即可得到所证等式成立．
（1）解：连接、，如图所示：
，，
，，
在正方形中，，则，，
，则，即，
为的中点，
，
，即是中点，
是梯形的中位线，则，
设的半径为，则，
，，
在中，由勾股定理可得，即，解得；
（2）解：①连接交于，如图所示：
在正方形中，，
是的直径，且将绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，
与重合，则；
② 过点作于，于，如图所示：
四边形是矩形，
由①知，则，
是等腰直角三角形，即，
四边形是正方形，
，
由①知是等腰直角三角形，即，
，
，
设正方形的边长为，，则，，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得，
，
．
本题难度较大，综合性强，涉及圆周角定理、梯形中位线的判定与性质、勾股定理、旋转性质、圆周角定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关几何性质与判定，根据问题作出相应辅助线求解是解决问题的关键．
