2025—2026学年九年级上学期期末模拟卷03
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D C A A D C C
1．B
本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解.
解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ，
∴顶点坐标为 .
故选：B
2．C
本题主要考查由频率估算概率，解题的关键是理解题意；通过频率估计概率，合格品的频率即为概率的估计值．
解：∵总检测次数为100次，其中不合格品5次，
∴合格品的次数为次，
∴合格品的概率估计值为；
故选C．
3．C
此题是位似变换，考查了位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．
先求出，然后根据位似三角形的性质求解即可．
解：，
，
∵，
∴
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，
．
的面积为4，
的面积为9．
故选C．
4．D
本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可．
解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
由中，由勾股定理得：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，
∴4次一个循环，
∵，
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同，
∵过点作轴于P，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为，
故选：D．
5．C
本题考查了圆内接四边形的知识，圆周角定理．利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求出，再利用圆周角定理求解即可．
解：∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．A
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，利用勾股定理即可求出．
解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
7．A
本题考查了三角形的垂心的概念及性质，三角形内心的定义，四点共圆的判定及圆的性质，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；
利用三角形的垂心的性质推出，从而有C、D、H、E四点共圆，可得，同理可得，再利用直角三角形的性质和等量替换推出，可得平分，进一步可得点是三内角平分线的交点，所以点是的内心．
点是的垂心，
，，，
由，可得，
，
C、D、H、E四点共圆，
，
同理可证B、D、H、F四点共圆，
，
又，，
，
，
平分，
同理可证平分，平分，
点是三内角平分线的交点，即点是的内心．
故选：A．
8．D
本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
如图，设与直线相切于点，连接，
∴，，
设，
∵，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9．C
本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键．
由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论．
解：由题意可知，，，
则，
，
，，
则，
，
，
则，
，
．
故树的高度为，
故选：C．
10．C
此题主要考查了非负数的性质，等边三角形的判定，特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握非负数的性质，等边三角形的判定，熟记特殊角的锐角三角函数值是解决问题的关键．
根据非负数的性质得且，由，得，则是等腰三角形，由，得锐角，则是等边三角形，由此即可得出答案．
解：，，
又，
且，
由，得：，
是等腰三角形，
由，得：，
锐角，
又是等腰三角形，
是等边三角形．
故选：C．
11．
本题考查了求二次函数解析式．
求出二次函数解析式，将代入计算即可．
解：由表格可知，二次函数经过、、，
则，
解得：，
即，
当时，．
故答案为：．
12．6
本题主要考查利用频率估计概率，设白球个数为x，根据概率公式列出方程求解．
解：设白球的个数有x个，
根据摸到白球的频率稳定于0.6，得：
，
解得：
经检验，是方程的解，
∴估计箱子里白球的个数为6．
故答案为：6．
13．①②④
利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定可判断④．
解：∵点E是的内心，
∴平分，
∴，，故①正确；
∴，
∵点G为的中点，，
∴即，故②正确；
∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
本题考查三角形的内心和外接圆的有关知识、垂径定理的推论、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形的内角和和外角性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14．
本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，根据圆的切线得到，进而求出的度数，结合等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，再利用圆周角定理，求出的度数即可．
解：连接，则：，
∴，
∵的切线交的延长线于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
本题考查了轴对称图形的特征，圆周角与弦、弧之间的关系，解直角三角形，勾股定理，过点作于点，通过轴对称的性质，可证，，然后，不妨设，然后在利用勾股定理求得答案．
解：过点作于点，如图所示：
上一点关于直线对称的点落在上，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
不妨设，
，
，
，
（舍去）或，
．
故答案为：．
16． 4
连结，利用直线平行的性质证明，从而得到，进而可求；作于点，作于点，利用等面积法求出，利用进行求解．
解：如图，连结，
点关于的对称点在上，
，
∵四边形是菱形，
．
，
，
，
．
作于点，作于点，则，
，
，
，
，
，
故答案为：4，．
本题考查了翻折的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、正弦等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
17．(1)
(2)增大
(3)
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键．
（1）根据顶点坐标式即可得出其顶点坐标；
（2）由（1）知抛物线的对称轴方程及开口方向即可求解；
（3）再分别求出，时的函数值，即可求解．
（1）解：
，
∴顶点坐标为
（2）解：由（1）知：抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大；
（3）解：∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
顶点坐标为：，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围为：．
18．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了梯形的性质、 直角三角形的性质、 相似三角形的判定和性质以及比例式的证明， 题目的综合性很强， 难度不小 ．
（1） 首先证明，结合，可以证明，再根据证明是直角三角形，即可得出，由相似的性质可得，得出结论；
（2） 由（1）可知，再证明可得，所以，又因为，所以．
（1）证明：，
∴，
又∵，
，
，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，
，
，
由（1）得，，
∴，
即：．
19．(1)说明见详解
(2)证明见详解
(3)
（1）先由垂径定理得到，再由同弧所对的圆周角相等即可说明；
（2）由（1）中得到，从而由同弧所对的圆周角相等得到，再由圆内接四边形性质得到，等量代换有，即可得证；
（3）先由垂径定理得到，在中，由勾股定理可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，最后，在中，由勾股定理可得．
（1）解：是的直径，弦，
由垂径定理可得，
；
（2）证明：是的直径，弦，
由垂径定理可得，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
即平分；
（3）解：如图所示：
是的直径，弦，
由垂径定理可得，
经过圆心，即为的直径，
，
在中，由勾股定理可得，
，
，
在中，由勾股定理可得，
是的直径，
，
在中，由勾股定理可得．
本题考查圆综合，涉及圆的基本性质、垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质、角平分线定义、勾股定理等知识，熟记圆的基本性质及相关几何性质是解决问题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理.
（1）根据垂径定理得到，则 ，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，等量代换得到，再根据等角对等边即可得解；
（2）根据勾股定理计算即可.
（1）证明：∵为的直径，点E是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵点E是弦的中点，
∴
设半径为，
在中，由勾股定理得，
解得．
21．(1)
；
(2)
游戏不公平，见解析．
本题主要考查了概率公式、画树状图求概率．
根据概率公式可知名学生中，女生有名，则选到女生的概率为；
画树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中和为偶数的有种情况，所以甲参加的概率为，乙参加的概率为，所以游戏不公平．
（1）解：名同学中男生人，女生人，
选到女生的概率为，
故答案为：；
（2）解：游戏不公平，理由如下，
如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中和为偶数的有种情况，
甲参加的概率为，乙参加的概率为，
，
游戏不公平．
22．(1)见解析
(2)
(3)
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据等腰三角形的性质求出，结合，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明；
（2）过点作于点，解直角三角形求出，根据相似三角形的性质求出，根据三角形外角性质及角的和差可得结论；
（3）根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
（1）证明：，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
23．(1)见详解
(2)4
（1）连接，则和，根据题意得，即有，可得，则有即可判定角平分线；
（2）过点O 作于点E，连接，则，判定四边形为矩形，有，结合圆的性质和等腰三角形的性质求得，利用勾股定理求得即可．
（1）证明：连接，如图，
则，，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：过点O 作于点E，连接，如图，
则，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵的直径为10，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查圆的性质、切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、角平分线的判定、矩形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉常规辅助线的做法．
24．(1)
(2)
(3)
（1）先根据直线与轴，轴分别交于、两点，求得，两点的坐标，从而可求得与，再利用正切求得，然后证明是等边三角形，用表示出、、，分别根据，点E的横坐标为， ，求得的范围；
（2）先说明，设，再用分别表示出，
，从而可得，结合，可得出，进而证明，列出比例式求解即可求得；
（3）先证明，列出比例式，从而可得，进而求得，设，用分别表示出、，再利用勾股定理求得，从而可得出，再求．
（1）解：连接，如图，
∵直线与轴，轴分别交于、两点，
当时，；
当时，，
解得：，
，，
，，
，
，
∵与圆切于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得：，
，
∴点E的横坐标为，
，
，
；
（2）如图（2）连结、，
∵是直径，
∴，
，，
，
设，则，
，
，
又，
，
，，
∴，
；
（3）如图，
作于点N，连结，
∵圆M与x轴的交点为D，E，
∴为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
，
，
设，
则，，
，
，
．
本题主要考查了圆周角定理，一次函数与坐标轴交点，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定和性质等内容，，熟练掌握相关知识是解题的关键．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期末模拟卷03
（测试范围：九上全册九下1-2章）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
2 0.84 由频率估计概率
3 0.75 利用相似三角形的性质求解
4 0.74 正多边形和圆的综合；求绕原点旋转一定角度的点的坐标；根据旋转的性质求解
5 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
6 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解；用勾股定理解三角形
7 0.65 三角形内心有关应用；四点共圆
8 0.65 一次函数与几何综合；切线的性质定理；一次函数图象与坐标轴的交点问题；用勾股定理解三角形
9 0.64 解直角三角形的相关计算
10 0.64 等边三角形的判定；特殊三角形的三角函数；绝对值非负性
二、知识点分布
二、填空题 11 0.75 待定系数法求二次函数解析式
12 0.65 由频率估计概率
13 0.65 圆周角定理；三角形内心有关应用；三角形的外角的定义及性质；垂径定理的推论
14 0.65 切线的性质定理；等腰三角形的性质和判定；圆周角定理
15 0.64 用勾股定理解三角形；利用弧、弦、圆心角的关系求解；根据成轴对称图形的特征进行求解；其他问题（解直角三角形的应用）
16 0.64 根据平行线判定与性质证明；求角的正弦值；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 y=ax +bx+c的图象与性质；把y=ax +bx+c化成顶点式
18 0.75 根据平行线判定与性质证明；相似三角形的判定与性质综合；等边对等角
19 0.74 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求解其他问题；圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
20 0.65 利用垂径定理求值；圆周角定理；用勾股定理解三角形
21 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
22 0.65 相似三角形的判定与性质综合；根据特殊角三角函数值求角的度数；三线合一
23 0.64 根据矩形的性质与判定求线段长；切线的性质定理；三线合一；用勾股定理解三角形
24 0.4 相似三角形的判定与性质综合；解直角三角形的相关计算；一次函数图象与坐标轴的交点问题；切线的性质定理2025—2026学年九年级上学期期末模拟卷03
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测，已知共完成了100次检测，其中有5次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.95 D．0.90
3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．25
4．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．2
7．如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2
9．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为 ．
x 0 1 2 3
y 14 7 2
12．一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.6，估计箱子里白球的个数为 个．
13．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则 ；③连接，，若 ，则 ；④．其中一定正确的是 ．（填序号）
14．如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为 ．
15．如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是 ．
16．如图，在菱形中，点为边上一点，连结，点关于的对称点在上．若，则的长为 ，的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知二次函数．
(1)写出函数顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）；
(3)当时，求y的取值范围．
18．已知：如图，在四边形中，，，点是边的中点，且．
(1)求证：；
(2)以为一边作，交于点，交于点．求证：．
19．如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接．
(1)试说明：；
(2)求证：平分；
(3)若，，且经过圆心，求的长．
20．如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)已知，求的半径．
21．某校年学校运动会中，九年级共有名同学参加志愿者的工作，其中男生人，女生人．
(1)若从这人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；
(2)若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将张牌面数字分别为、、的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取张，记录后放回，乙再从中任取张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
22．如图，在中，，点，分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)若，，求；
(3)若，，求的长．
23．如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接．
(1)求证：平分；
(2)若的直径为10，，求的长．
24．如图，直线y与x轴、y轴分别交于A，B两点，动圆M始终与直线相切，设切点为C，圆心M在线段上，且圆M与y轴至少有一个交点，圆M的半径为r，设圆M与x轴的交点为D，E，点E在点D左侧．若圆M与y轴有两个交点，则分别为点F，G，点F在y轴的正半轴．点H为圆M上半圆一动点，连接交x轴于点P．
(1)求圆M半径r的取值范围；
(2)当，求的值；
(3)若，求．
