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浙教版 九年级上册
九年级数学上学期末模拟卷
（测试范围：九上全册九下1-2章）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 把y=ax +bx+c化成顶点式；y=ax +bx+c的最值
2 0.85 列表法或树状图法求概率
3 0.75 投球问题(实际问题与二次函数)
4 0.74 含30度角的直角三角形；三角形内心有关应用；用勾股定理解三角形
5 0.65 用勾股定理解三角形；切线的性质定理；应用切线长定理求解；求角的正弦值
6 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；已知圆内接四边形求角度；特殊三角形的三角函数
7 0.65 利用平行四边形的性质求解；相似三角形的判定与性质综合
8 0.65 正多边形和圆的综合；等边三角形的判定和性质；正多边形的内角问题
9 0.64 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
10 0.64 根据旋转的性质求解；用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半
二、知识点分布
二、填空题 11 0.84 根据二次函数图象确定相应方程根的情况；y=ax +bx+c的图象与性质
12 0.75 相似三角形的判定与性质综合
13 0.65 圆周角定理；三角形内角和定理的应用
14 0.65 根据图形面积求比例系数（解析式）；相似三角形的判定与性质综合；根据特殊角三角函数值求角的度数
15 0.65 已知正切值求边长；用勾股定理解三角形；解直角三角形的相关计算
16 0.64 切线的性质定理；应用切线长定理求解；含30度角的直角三角形
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解分式方程（化为一元一次）；特殊角三角函数值的混合运算；实数的混合运算
18 0.75 相似三角形实际应用；用勾股定理解三角形
19 0.65 角平分线的性质定理；解直角三角形的相关计算
20 0.65 反比例函数与几何综合；相似三角形的判定与性质综合；全等三角形综合问题；用勾股定理解三角形
21 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率；根据一元二次方程根的情况求参数
22 0.64 用勾股定理解三角形；圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
23 0.64 y=ax +bx+c的最值；抛物线与x轴的交点问题
24 0.4 切线的性质定理；相似三角形的判定与性质综合；应用切线长定理求解2025—2026学年九年级上学期期末模拟卷
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B B D D B A B
1．C
本题考查了旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可．
解：根据旋转的性质，得，
又，
故，
故选：C．
2．A
本题考查了二次函数的平移规律．根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”直接计算，即可作答．
解：∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，
则平移后的抛物线的表达式为．
故选：A．
3．B
本题考查二次函数的定义，掌握该知识点是解题的关键．
根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一判断各选项．
解：∵二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数．
选项A：，的次数为1，不符合；
选项B：，的最高次数为2，且二次项系数为，符合；
选项C：，的次数为1，不符合；
选项D：，的次数为，不符合．
故选B．
4．B
根据得，进而得，由旋转得，则，作，根据等腰三角形的性质及解直角三角形得，进而可得答案．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点旋转至，
∴，
∴，
∴，
作，
∴，
∴．
故选：B．
此题考查了圆周角定理、旋转的性质、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，添加适当的辅助线是解答此题的关键．
5．B
本题考查不放回摸球的概率计算，通过列表法列出所有等可能结果，再找出能组成“金明”的结果数，利用概率公式求解即可．
解：设“金”、“明”、“中”、“学”分别用A、B、C、D表示．
列表如下：
A B C D
A (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)
由表可知，共有12种等可能结果．
其中能组成“金明”（即A和B）的结果有2种：(A，B)和(B，A)．
∴ P(组成“金明”)．
故选：B．
6．D
本题考查的是相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质．取的中点，连接，证明，结合，可得，设，则，可得，求解，从而可得答案．
解：如图，取的中点，连接，，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．D
本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理．由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解．
解：∵点为的外心，，
∴，
∴，
∵点为的内心，
∴，
∴，
故选：D．
8．B
题目主要考查切线的性质和旋转的性质，设旋转后与相切于点，连接，则可求得，再利用角的和差可求得结果，理解题意，分两种情况分析是解题关键．
解：如图，设旋转后与相切于点，连接，设与交于点，连接，
，即，
，
∴
∴是等边三角形，
则
又∵，
，
当点在射线上方时，
，
当点在射线下方时，同理可得
，
故选：B．
9．A
本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，求弧长．过点O作于点E，连接，根据垂径定理，可得，在中，利用特殊角锐角函数值可得，从而得到，再由弧长公式计算即可．
解：如图，过点O作于点E，连接，
∴，
∵，，是圆O的直径，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
故选：A
10．B
本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，全等三角形判定定理和性质定理，勾股定理，锐角三角函数定义．
根据、、、四点共圆得出，证，推出，即可判断①；延长到，使，连接，证，推出，，求出，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可判断②；连接，证明，，根据，求出，即可判断③；根据，求出，即可判断④．
解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
在和中，
，
，
，
，
，
①正确．
延长到，使，连接，如图：
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
即，
②正确．
连接，
，，
，
．
，
．
设，则，
，
．
，
，即．
∴③正确
，
，
，
．
．
故．
④正确．
正确的结论为①②④．
故选：B．
11．/31度
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据切线的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解．
解：连接，
∵与相切于点，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
12．4
本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数（解析式），切线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先利用切线的性质说明轴，从而可得出轴，根据的面积为1，得出，进而求得．
解：∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴设，则，，
∴
∴，解得：，
故答案为：4．
13．6
此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长．
在中，，，
∵，，
∴，
解得 ，
故答案为6．
14．
本题考查圆周角定理及勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质求出，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再根据等腰直角三角形的性质计算即可．
解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
故答案为：
15．
本题考查了不放回抽样的概率计算，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率．
利用树状图或列表法求概率即可．
解：画树状图如下：
等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种，
因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为，
故答案为：．
16．②③/③②
该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果．
解：根据函数图象可得：函数图象的开口向上，
故，对称轴为，
，，③符合题意；
函数图象与轴的交点在轴负半轴，
，
∴，①不符合题意；
根据图象可得，函数图象与轴有两个交点，
∴对应方程有两个根，
∴，即，②符合题意；
当时，，故④不符合题意；
故答案为：②③
17．0
本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解．
解：原式．
18．(1)
(2)
本题考查圆周角定理及扇形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得，，然后在中可求出的度数；
（2）阴影部分的面积为：，据此即可解答．
（1）解：为的直径，，
，
，
，
，垂足为点E，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
阴影部分的面积为：．
19．(1)；
(2)
本题主要考查了相似三角形的判定与性质在凸透镜成像中的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，结合凸透镜成像的特点分析线段关系是解题的关键．
（1）①通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求的值．②利用相似三角形的对应边成比例，结合已知条件求虚像的高度．
（2）证明三角形相似，根据相似三角形的性质和已知的像与物的长度关系，结合焦距求解物距的长．
（1）解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
（2）解：∵，蜡烛的长为，
∴，
∵，
∴
∴，
∴即
∴，
∴，
∵，
∴．
∴即，
解得．
20．，证明见解析
本题考查同弧所对圆周角相等，三角形外角的定义与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题点关键．由同弧所对圆周角相等可得，，，推出，再根据三角形外角的性质求出，结合角平分线的定义得到，从而得到，推出，即可得出结论．
解：，证明如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
本题考查了平行四边形的性质，菱形、矩形以及正方形的判定，概率的计算，解决本题的关键是熟练各个形状的判定条件．
（1）根据四个条件得到的形状，由此计算概率即可；
（2）先根据两人转动情况列表，再根据若想得到正方形，则需保证是矩形和菱形的条件，由此计算概率即可．
（1）解：①，可得四边形是矩形；
②，可得四边形是菱形；
③，可得四边形是矩形；
④，可得四边形是菱形．
∴小琴转动一次转盘，求转到的条件能平行四边形变成菱形的概率为；
（2）解：对于两人转动情况可列表：
小琴① 小琴② 小琴③ 小琴④
小娜① ①① ①② ①③ ①④
小娜② ②① ②② ②③ ②④
小娜③ ③① ③② ③③ ③④
小娜④ ④① ④② ④③ ④④
由（1）分析得，同时转到保证是矩形和菱形的条件才能保证是正方形，
所以能够保证是正方形的情况组合有①②，②③，③④，①④
所以两人转到的条件能使平行四边形变成正方形的概率．
22．(1)，
(2)
(3)
本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，解题的关键是熟练运用函数性质、待定系数法及轴对称求最短路径．
（1）分别令直线方程中和，求出、坐标．
（2）设抛物线的交点式，代入点坐标求出解析式．
（3）利用轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为，此时周长最小，通过计算线段长度求和得到最小值．
（1）解：对于直线，
令，得到；令，得到，
则，；
（2） 由，，设抛物线解析式为，
把代入得：，即，
则抛物线解析式为；
抛物线解析式为
（3）连接，与抛物线对称轴交于点，连接，
由对称性得，此时周长最小，
由抛物线解析式，得到对称轴为直线，
设直线解析式为，
将，代入得：，
解得：，，即直线解析式为，
联立得：，
解得：，
即，
根据两点间的距离公式得：
，，
则，
周长为．
周长最小值为
23．(1)见解析
(2)．理由见解析
(3)是等腰直角三角形；证明见解析
（1）根据旋转的性质可得，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据旋转的性质可得，再利用“边边边”证明和全等，然后根据全等三角形对应角相等求出，然后求出，从而得解；
（3）证明，然后根据，可得，再进一步解答即可．
（1）证明：∵绕点A旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：．理由如下，
在和中：
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：是等腰直角三角形，理由如下，
由旋转可得：，，
∵，，
∴，
∴，
由（2）知，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角函数的应用，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．
24．(1)，理由见解析
(2)
（1）由点D是的中点得到，根据，，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）先由勾股定理求得，连接，交于点F，根据轴对称的性质得到，，，根据四边形的面积可求得．过点E作于点G，证明得到，求得．设与直线相切于点N，连接，则，，证明，得到，求得，即可解答．
（1）解：，理由如下：
∵点D是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
连接，交于点F，
∵将沿着边翻折至，
∴，，，
∴，
或，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点E作于点G，则，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∵，，，
∴．
设与直线相切于点N，连接，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与的函数表达式为．
本题考查相似三角形的判定及性质，切线的性质，轴对称的性质，勾股定理，根据相似三角形得到线段之间的关系是解题的关键．2025—2026学年九年级上学期期末模拟卷
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，把绕点顺时针旋转一定角度到的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是的内接四边形，，，，将绕点旋转至，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的中线，是上一点，，的延长线交于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．
9．如图，是圆O的直径，弦，且，已知，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，过作，交于，过作于，若，，则下列结论中：①；②；③；④，其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，为轴上一点，若的面积为1，则 ．
13．已知中，，，，那么的长为 ．
14．如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为 ．
15．已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为 ．
16．对称轴为直线的抛物线（a、b、c为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号有 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
18．如图，内接于，为的直径，交于点F，，垂足为点E，．
(1)求的大小；
(2)求阴影部分的面积．
19．如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是（），点是凸透镜的中心，光线，，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上．
(1)如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若．
①填空：的值为_______；②求此时虚像的高度；
(2)如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长．
20．如图，是的外接圆，延长到，作的平分线交于点，连接．试判断的数量关系，并证明你的结论．
21．已知，通过添加一个或两个条件，可使平行四边形变成菱形、矩形或正方形，小娜和小琴都想通过转转盘游戏来添加条件使平行四边形变成相应的特殊平行四边形，条件是①，②，③，④．
(1)小琴转动一次转盘，求转到的条件能平行四边形变成菱形的概率；
(2)小琴和小娜各转动一次转盘，求两人转到的条件能使平行四边形变成正方形的概率（画树状图或列表）．
22．如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点．
(1)求A、B的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上求一点P，使得的周长最小，并求出最小值．
23．已知在，，D、E是边上的点，将绕点A旋转，得到，连接．
(1)如图1，当，，求证：；
(2)如图2，，与有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由；
(3)在（2）的结论下，当添加“，”条件时，判断形状，并加以证明．
24．如图，在中，，点为上的一个动点，于点．
(1)当点为中点时，求、的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，，将沿着边翻折至（点的对应点为点上有一点，当以为圆心，长为半径的与直线相切时，请写出与的函数表达式．
