北师大版（2024）七年级上期末检测模拟试卷1（含解析）

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2024北师大版七年级上期末检测模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共12小题）
1．人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，用科学记数法将数据149600000表示为（　　）
A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107
2．2025的相反数是（　　）
A．﹣2025 B． C．2025 D．
3．已知算式9□（﹣9）的值为18，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
4．下列运算正确的是（　　）
A．﹣2﹣1＝﹣3 B．﹣12＝1
C． D．
5．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．从左面看到的这个几何体的形状图是（　　）
A． B． C． D．
6．如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．经过一点有无数条直线
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离
7．图形绕虚线旋转一周得到的几何体是（　　）
A． B． C． D．
8．下列根据等式的基本性质变形不正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝2y，则x﹣3＝2y﹣3
C．若x＝y，则﹣2x＝﹣2y D．若3x＝2，则
9．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A．调查全班观看电影《731》的情况
B．调查某市垃圾分类的情况
C．调查某种西瓜的甜度情况
D．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
10．若方程3xm﹣2＝2m是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
11．八宝粥是由多种食物熬制而成的，为了直观地显示八宝粥各种成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）
A．趋势图 B．折线图 C．扇形图 D．直方图
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．AE＝AC C．DE＝DC D．∠ADE＝∠BDE
二．填空题（共6小题）
13．将多项式5x2y﹣4y2+x3+xy3按字母x降幂排列是 　 　 ．
14．小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是当季新采，盈利了60%；另一盒是库存坚果，只能亏本20%清仓．小松鼠卖出这两盒坚果后，赚了　 　 元．
15．将一个长宽分别为3和4的长方形绕其一边旋转一周，所得几何体体积的最大值为　 　 ．（结果保留π）
16．为了解一组数据的分布情况，我们可以将一个样本的50个数据分成5组，若第1、2、3、4组的频数分别为2、8、15、15，则第5组的频率为 　 　 ．
17．如图，∠AOB＝118°，∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB，则∠AOC的度数为 　 　 ．
18．若a，b互为相反数，c为最大的负整数，则的值为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
19．计算：
（1）24+（﹣8）+（﹣4）+8；
（2）36÷[（﹣3）2﹣（﹣9）]．
20．化简：
（1）．
（2）4ab﹣3b2﹣（3ab+b2）﹣（ab﹣b2）．
21．（1）化简求值：2x2+xy+3y2﹣x2+xy﹣2y2，其中x＝2，y＝1；
（2）化简求值：2（a2b+ab2）﹣（2ab2+a2b﹣1）﹣2，其中（2b﹣1）2+|a﹣3|＝0．
22．如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：3：4：3．
（1）求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形；
（2）若圆的半径为2cm，请求出这四个扇形的面积．
23．某商店出售一种商品，其数量x与售价y之间的关系如表（表中0.2是包装费）：
数量x/件 1 2 3 4 …
售价y/元 2.3+0.2 4.6+0.2 6.9+0.2 9.2+0.2 …
（1）写出用数量x表示售价y的代数式；
（2）求20件这种商品的售价；
（3）若买这种商品花费了23.2元，问买了多少件？
24．一位患者每天下午需要测量一次血压，下表是该患者星期一至星期五收缩压的变化情况，该患者上个星期日的收缩压为160mmHg．（“+”表示收缩压比前一天上升，“﹣”表示收缩压比前一天下降）
星期 一 二 三 四 五
收缩压的变化/mmHg +30 ﹣20 +15 +5 ﹣20
（1）请算出该患者星期五的收缩压（要求先列式后计算）；
（2）以上个星期日的收缩压为O点，请把折线统计图补充完整；
（3）若收缩压大于或等于180mmHg为重度高血压，该患者本周哪几天的血压属于这个范围．
25．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝18cm，C、D两点分别从A、M出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动（C在线段AM上，D在线段BM上）．
（1）当点C、D运动了3s，求CM+BD的长度；
（2）若点C、D运动时，总有BD＝2CM，则AM＝　 　 cm；
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且满足AN﹣BN＝MN，MN与AB的数量关系为　 　 ．
26．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线．
（1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　 ．
（2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）．
①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　 ．
②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：149600000＝1.496×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【考点】相反数
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
解：2025的相反数是﹣2025．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
3．【考点】有理数的混合运算
【分析】根据题意，可以写出“□”内应填入的运算符号，然后即可判断哪个选项符合题意．
解：∵式9□（﹣9）的值为18，9﹣（﹣9）＝18，
∴“□”内应填入的运算符号为“﹣”，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．【考点】有理数的混合运算
【分析】根据有理数加法，乘方，乘除法的运算法则进行计算，逐一判断即可．
解：A．原式＝3，故本选项符合题意；
B．原式＝﹣1，故本选项不符合题意；
C．原式＝1，故本选项不符合题意；
D．原式＝﹣10，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图
【分析】根据简单几何体的三视图的画法画出它的左视图即可．
解：这个几何体的左视图为：
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．
6．【考点】线段的性质：两点之间线段最短；直线的性质：两点确定一条直线
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，即可解答．
解：从A地去往B地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短；
故选：B．
【点评】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握这个性质是关键．
7．【考点】点、线、面、体
【分析】根据面动成体进行解答即可．
解：由面动成体可知，选项C中的几何体符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查点、线、面、体，掌握面动成体是正确解答的关键．
8．【考点】等式的性质
【分析】根据等式的性质对各选项进行判断即可．
解：A．若x＝y，则x+1＝y+1，故选项A正确；
B．若x＝2y，则x﹣3＝2y﹣3，故选项B正确；
C．若x＝y，则﹣2x＝﹣2y，故选项C正确；
D．若3x＝2，则，故选项D不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
9．【考点】全面调查与抽样调查
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可．
解：A．选项事件采用全面调查，符合题意；
B．选项事件采用采用抽样调查，不符合题意；
C．选项事件采用采用抽样调查，不符合题意；
D．选项事件采用采用抽样调查，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，掌握全面调查与抽样调查的定义是关键．
10．【考点】一元一次方程的定义
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
解：根据题意可知，m﹣2＝1，
解得m＝3，
∴原方程可化为3x＝2×3，
解方程得x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
11．【考点】统计图的选择；频数（率）分布直方图
【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
解：八宝粥是由多种食物熬制而成的，为了直观地显示八宝粥各种成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形图．
故选：C．
【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，折线统计图，趋势图的概念，根据实际选择合适的统计图，根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键．折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况．
12．【考点】作图—基本作图
【分析】先根据尺规作图痕迹确定AD是∠BAC的角平分线且DE⊥AB，然后通过证明△ACD≌△AED，结合直角三角形的性质对每个选项逐一分析判断．
解：从作图痕迹可知，AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB（因为E在AB上，且作图痕迹显示DE是到AB的垂线，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°．
又∵DE⊥AB，
∴∠BDE+∠B＝90°．
∴∠BDE＝∠BAC，
选项A正确，不符合题意．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD；
又∵∠C＝∠AED＝90°，且AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（AAS）．
由全等三角形的性质，可得AE＝AC，
选项B正确，不符合题意．
由△ACD≌△AED可得DE＝DC，
选项C正确，不符合题意．
要使∠ADE＝∠BDE，需DE是AB的垂直平分线，但从作图和已知条件中，无法推出这一结论．
∴∠ADE≠∠BDE，
选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图痕迹分析出AD是角平分线且DE⊥AB，再结合全等三角形逐一分析选项．
二．填空题（共6小题）
13．【考点】多项式
【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答．
解：多项式5x2y﹣4y2+x3+xy3按字母x降幂排列：x3+5x2y+xy3﹣4y2．
故答案为：x3+5x2y+xy3﹣4y2．
【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．
14．【考点】一元一次方程的应用
【分析】根据售价﹣进价＝进价×利润率，分别计算出两盒坚果的进价，再根据售价﹣进价＝利润，计算即可求解．
解：设盈利的坚果礼盒进价为x元，亏本的坚果礼盒进价为y元，
60﹣x＝60%x，
解得x＝37.5，
60﹣y＝﹣20%y，
解得y＝75，
60+60﹣37.5﹣75＝7.5元．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据公式列出方程是解决本题的关键．
15．【考点】点、线、面、体
【分析】根据面动成体，分两种情况解答，再比较体积大小即可．
解：将一个长宽分别为3和4的长方形绕其一边旋转一周，
当绕长度为3的边旋转时，得到底面半径为4、高为3的圆柱体，体积为 π×42×3＝48π，
当绕长度为4的边旋转时，得到底面半径为3、高为4的圆柱体，体积为 π×32×4＝36π，
48π＞36π，
最大值为48π，
故答案为：48π．
【点评】本题考查了点、线、面、体，解决本题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．
16．【考点】频数与频率
【分析】先求出第5组的频数，再利用频率＝频数÷总次数，进行计算即可解答．
解：由题意得：
50﹣2﹣8﹣15﹣15＝10，
10÷50＝0.2，
∴第5组的频率为：0.2，
故答案为：0.2．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
17．【考点】角的计算
【分析】根据题意，由∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB，可得出∠DOB的度数，再由∠COD+∠DOB＝∠BOC得出∠BOC的度数，最后结合∠AOB＝118°，根据∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC进行计算即可得出答案．
解：∵∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB，
∴，
∴∠COD+∠DOB＝∠BOC＝28°+14°＝42°，
∵∠AOB＝118°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝118°﹣42°
＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键．
18．【考点】有理数的混合运算；相反数
【分析】根据相反数的定义，得到a+b＝0，最大的负整数c＝﹣1，整体代入计算即可．
解：由条件可知：a+b＝0，c＝﹣1，
∴原式＝0﹣1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
三．解答题（共8小题）
19．【考点】有理数的混合运算
【分析】（1）利用有理数的加法法则计算即可；
（2）先算乘方，再算括号里面的，然后算除法即可．
解：（1）原式＝24+（﹣4）+（﹣8+8）
＝20+0
＝20；
（2）原式＝36÷（9+9）
＝36÷18
＝2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．【考点】整式的加减
【分析】（1）根据合并同类项法则化简即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可．
解：（1）原式
＝6x2；
（2）原式＝4ab﹣3b2﹣3ab﹣b2﹣ab+b2
＝4ab﹣3ab﹣ab﹣3b2﹣b2+b2
＝﹣3b2．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则、合并同类项法则是解题的关键．
21．【考点】整式的加减—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方
【分析】（1）先合并同类项得化简结果，再将x，y的值代入计算即可；
（2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据非负数的性质求出a，b的值，最后将a，b的值代入即可求解．
解：（1）原式＝x2+2xy+y2，
当x＝2，y＝1时，原式＝22+2×2×1+12
＝4+4+1
＝9；
（2）原式＝2a2b+2ab2﹣2ab2﹣a2b+1﹣2
＝a2b﹣1，
因为（2b﹣1）2+|a﹣3|＝0，（2b﹣1）2≥0，|a﹣3|≥0，
所以2b﹣1＝0，a﹣3＝0，
所以，
所以原式．
【点评】本题主要考查了整式的加减—化简求值，绝对值和平方的非负性，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
22．【考点】圆的认识
【分析】（1）根据周角等于360°，一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：3：4：3，从而可以求得各个扇形所对的圆心角，进而可以画出四个扇形．
（2）根据扇形的面积公式即可得出结论．
解：（1）如图所示，
∵一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：3：4：3，
∴它们所对的圆心角分别为：
360°60°，
360°90°，
360°120°，
360°90°．
（2）∵圆的半径为2cm，
∴S1π cm2，S2π cm2，S3π cm2，S4π cm2．
【点评】本题考查圆内扇形与圆的关系，关键是明确题意，进行正确分析，从而得到解答问题的方案．
23．【考点】一元一次方程的应用
【分析】（1）由表格可得数量x表示售价y的代数式；
（2）由销售量与销售单价计算即可；
（3）根据买这种商品花费了23.2元，列出一元一次方程，解方程即可．
解：（1）用数量x表示售价y的代数式为y＝2.3x+0.2；
（2）当x＝20时，y＝2.3×20+0.2＝46.2；
答：20件这种商品的售价为46.2元；
（3）由题意得：2.3x+0.2＝23.2，
解得：x＝10，
答：若买这种商品花费了23.2元，买了10件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．【考点】折线统计图；正数和负数
【分析】（1）根据每天的增长情况计算即可；
（2）根据增长变化的数值，绘制折线统计图即可；
（3）根据折线统计图，可直观得出答案．
解：（1）160+30﹣20+15+5﹣20
＝170（mmHg），
答：星期五该病人的收缩压是170mmHg；
（2）根据收缩压的变化情况，绘制折线统计图，
（3）由折线统计图得，若收缩压大于或等于180mmHg为重度高血压，该患者本周的周一、周三、周四的收缩压大于或等于180mmHg，是重度高血压．
【点评】本题考查折线统计图的意义和绘制方法，理解数值的增长变化情况是绘制折线统计图的关键．
25．【考点】两点间的距离；线段的和差
【分析】（1）根据题意，由运动时间和速度分别求出AC、MD的长，再根据AB＝AC+CM+MD+DB＝18cm，进而求出CM+BD的长；
（2）根据C、D的运动速度知，MD＝2AC，再由已知BD＝2CM，进而求得MB＝2AM，再由AM+MB＝AB，即AM+2AM＝18，进而得出答案；
（3）分两种情况分析：①当点N在线段AB上时；②当点N在线段AB的延长线上时，由线段的和差计算即可．
解：（1）根据题意可知，当点C、D运动了3s时，AC＝3cm，MD＝2×3＝6（cm），
∵AB＝18cm，AB＝AC+CM+MD+BD，
∴18＝3+CM+6+BD，
∴CM+BD＝18﹣3﹣6＝9（cm）；
（2）由（1）可知，MD＝2AC，
∵BD＝2CM，
∴BD+MD＝2CM+2AC＝2（CM+AC），即MB＝2AM，
∵AM+MB＝AB，
∴AM+2AM＝18，
∴3AM＝18，
解得：AM＝6（cm）．
故答案为：6；
（3）分两种情况：①如图所示，当点N在线段AB上时，
∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN，
∴AM＝BN＝6cm，
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝18﹣6﹣6＝6（cm），
∴MN；
②如图所示，当点N在线段AB的延长线上时，
∵AN﹣BN＝MN，AN﹣BN＝AB，
∴MN＝AB＝18cm，
综上所述，MN与AB的数量关系为或MN＝AB．
故答案为：或MN＝AB．
【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段法和差计算，两点间的距离，利用分类讨论思想是解题的关键．
26．【考点】角的计算
【分析】（1）根据题意可写出∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°，进而求得∠BOP；
（2）根据题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，①因为∠AOC＝120°，可求得∠POQ＝135°；
②写出∠POQ用α表达的表达式，可以看出α的大小并不影响∠POQ的大小，即∠POQ的大小并不会随着∠AOC的大小变化而变化；
（3）因为OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论，第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，再利用等式∠AOM+∠MON+∠BON＝180°求解．
解：（1）∵由题可得：∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°
∴∠BOP＝30°，∠POA＝15°．
（2）∵由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ
①当∠AOC＝120°时，可求得∠COP＝90°，∠AOP＝30°，∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∠COQ＝45°，∠BOQ＝15°
所以∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°．
②不会发生变化．当∠AOC＝α时，
（3）设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α
∵射线OM、ON分别是∠AOC与∠BOC的5分位线
∴∠COM＝4∠AOM，∠BON＝4∠CON
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°
∵OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论
第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，
①当∠BON＝4∠CON时
设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON＝4（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴4α+87°+4（87°﹣α）＝180°
∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去
②当4∠BON＝∠CON时
设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴4α+87°（87°﹣α）＝180°
∴α＝19°
∴∠AOC＝5α＝5×19°＝95°
第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON
③当∠BON＝4∠CON时
设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON＝4（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴α+87°+4（87°﹣α）＝180°
∴α＝68°
∴∠AOCα+α68°+68°＝85°
④当4∠BON＝∠CON时
设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴α+87°（87°﹣α）＝180°
∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去
综上所述：∠AOC＝85°或95°．
【点评】本题考查了新定义、几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解决此题的关键．
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