2.8圆锥的侧面积同步训练（知识梳理+同步练习.含解析）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.8 圆锥的侧面积
知识梳理
核心结论：圆锥侧面积计算是重点，需掌握侧面积公式、侧面展开图与圆锥的关系，结合弧长、圆的面积等知识解决实际问题。
一、核心公式
圆锥侧面积公式：侧（ 为底面半径， 为母线长）。
圆锥表面积公式：表侧底（底 为底面圆面积）。
弧长公式：弧（ 为扇形圆心角度数， 为扇形半径，此处扇形半径等于圆锥母线长 ）。
二、关键关系
圆锥侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长。
扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即 （可用于求解底面半径、母线长或扇形圆心角）。
三、常见题型要点
直接计算类：已知底面半径和母线长，直接代入侧面积或表面积公式计算。
展开图相关类：由扇形围成圆锥时，利用弧长与底面周长的关系，求解底面半径或扇形圆心角。
分割与拼接类：圆锥分割后表面积变化，需明确增加的面的形状及相关边长计算；拼接时关注重叠部分的弧长或面积。
最短路径类：将圆锥侧面展开为扇形，利用平面几何中的勾股定理求解表面上两点间的最短距离。
综合应用类：结合网格、梯形、正方形等图形，整合垂径定理、勾股定理、内切圆等知识，解决圆锥相关的半径、弧长等问题。
四、易错点提醒
混淆扇形半径与圆锥底面半径，需明确扇形半径对应圆锥母线长。
计算表面积时遗漏底面圆面积，注意题目是否要求“有底面”的圆锥。
利用弧长公式时，圆心角度数需以“度”为单位代入计算。
同步训练
一、单选题
1．已知一个圆锥的底面半径为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B．20 C． D．40
2．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米．
A． B． C． D．
3．一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米（接缝不计）（　　）
A． B． C． D．
4．如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ）
A． B． C． D．
5．把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
8．若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 ．
9．如图，小张同学用半径，的扇形包装纸恰好能设计成一个圆锥状冰淇淋的侧面外包装，则这个圆锥状冰淇淋的底面半径 ．
10．如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ．
三、解答题
11．用硬纸片制作一个有底面的圆锥，已知圆锥的底面半径为，母线长为．
(1)求出圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数，
(2)求出圆锥的表面积（结果保留）．
12．小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是．
(1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算）
(2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布 （结果中包含，材料包含底部）
13．如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：
(1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点坐标为 ；
(2)连接、，则的半径为 （结果保留根号），的度数为 ；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
14．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？
《2.8 圆锥的侧面积 同步训练 2025-2026学年苏科版数学九年级上册》参考答案
1．A
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
圆锥的侧面积公式为 ，其中 是底面半径， 是母线长，直接代入计算即可．
【详解】解：∵ ，，
∴ ．
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查圆锥的体积计算，掌握 “沿底面直径分割圆锥后增加的表面积是两个三角形的面积” 是解题的关键．圆锥沿底面直径分割后，增加的表面积是两个等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高．据此可求出底面直径，再计算圆锥体积．
【详解】解：∵表面积增加，为两个等腰三角形面积之和，
∴每个三角形面积（平方厘米），
∵圆锥的高是6厘米，
∴截面的三角形的高为6厘米，
∴底面直径为（厘米），
∴底面半径（厘米），
∵圆锥体积（立方厘米），
故圆锥的体积为立方厘米．
故选：B．
3．D
【分析】本题可先明确圆锥侧面积的计算公式，再将题目中给出的母线长和底面半径代入公式进行计算，从而得出做遮阳伞所需布料的面积．本题主要考查了圆锥的侧面积公式，熟练掌握圆锥侧面积公式（其中是底面半径，是母线长）是解题的关键．
【详解】解：∵圆锥的侧面积公式为（其中是底面半径，是母线长），底面半径米，母线长米
∴圆锥侧面积（平方米）
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径．
【详解】解：如图，连接，
则，，
，
设圆锥底面半径为，
，
．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查圆锥的计算和扇形面积的计算，先求出围成圆锥的扇形弧长为，已知扇形的弧长为，可知粘贴部分的弧长为，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面周长为，
∴围成圆锥的扇形弧长为，
∵已知扇形的弧长为，
∴粘贴部分的弧长为，
∴圆锥上粘贴部分的面积是．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．
由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为，
根据题意有：，
解得：，如图，
∴，且为最短路径．
∵，，
∴，
故最短路径长是．
故选：C．
7．1
【分析】本题考查了弧长公式，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键．设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出结果．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面周长为，则：
扇形的弧长为，
∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
∴，
∴，
故答案为：1．
8．/度
【分析】本题考查圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关系是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：∵底面圆的周长是，
∴圆锥侧面展开图的弧长是：，
设圆心角的度数为n度，母线长是，则，
解得：；
故答案为：．
9．6
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长列出方程求解是解题的关键．
【详解】解：解：设圆锥底面圆的半径为，
则：，
解得：，
故答案为：6．
10．
【分析】本题考查了圆锥的有关计算，弧长公式，解题的关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程，然后解方程即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为，
则有
解得，
那么这个圆锥的底面圆半径为；
故答案为：．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆的周长，圆的面积，扇形的面积，圆心角度数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先求得扇形的弧长，以及扇形所在圆的周长，通过计算其比例可以求得圆心角度数；
（2）利用扇形的面积加上底面圆的面积即可得出答案．
【详解】（1）解：
故圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数为．
（2）解：
故圆锥的表面积为．
12．(1)9
(2)至少需要平方米的涤纶布
【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键．
（1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可；
（2）根据题意算出底面积和侧面积即可．
【详解】（1）解：∵底面直径为，
∴半径，
∴底面积为
，
（人），
∴该帐篷估计最多可住9人，
故答案为：9；
（2）解：∵圆锥高，半径，
根据勾股定理得，母线长 ，
∴侧面积为
∴底面积为 ，
，
答：至少需要平方米的涤纶布．
13．(1)画图见解析，
(2)，
(3)
【分析】（1）找到的垂直平分线的交点D，设，由，利用两点间距离公式解方程即可求出y的值，即可得到圆心坐标；
（2）利用勾股定理求出得长，即可得到圆的半径长，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，则扇形的圆心角度数为；
（3）先求得扇形弧长，除以即为圆锥的底面半径．
【详解】（1）解：作的垂直平分线相交于点D．
设．
∵，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
由（1）得，
∴的半径为；
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
故答案为：，；
（3）解：由题意得，该圆锥的底面半径为；
【点睛】本题考查了垂径定理的推论以及圆锥的有关计算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长．
14．(1)证明见解析；
(2)能，理由见解析．
【分析】本题考查了三角形的内切圆性质，圆的切线性质，圆锥的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求出，即可证明；
（2）根据扇形的弧长求出圆锥的底面圆的半径为，作的内切圆，证明四边形是平行四边形，从而得到是等腰直角三角形，设圆的半径为，再利用 ，求出，由于，可以判断出可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．
【详解】（1）证明：过点作于点，如图：
，
，
，
，
∵圆的半径为2，
∴点在圆上，
，
∴与相切；
（2）解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下：
∵，
∴四边形是等腰梯形，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的弧长，
∴圆锥的底面圆的周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，则，
，
过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图：
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
作的内切圆，如图：
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
设圆的半径为，
，
，
解得：，
，
∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．