5.3.1　图形的形状变换问题 同步练习（学生版+答案版） 2025-2026学年 北师大版（2024）七年级数学上册

5.3　一元一次方程的应用
第1课时 图形的形状变换问题
一、选择题
1．一个长方形的周长为30 cm，若这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，可列方程为( )
A．x＋1＝(30－x)－2 B．x＋1＝(15－x)－2
C．x－1＝(30－x)＋2 D．x－1＝(15－x)＋2
2．用一根铁丝围成一个边长为12 cm的正方形，如果把它改成一个圆，则圆的半径是(π≈3)( )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3．从一个底面半径是10 cm的凉水杯中，向一个底面半径为5 cm、高为8 cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降( )
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
4．已知半径为5厘米，高为7厘米的圆柱体的体积是直径为4厘米，高为x厘米的圆柱体的体积的5倍，则下列方程正确的是( )
A．5π×42x＝π×102×7 B．π×42x＝5π×102×7
C．5π×()2x＝π×()2×7 D．5π×()2x＝π×52×7
5．班级筹备运动会要做直角边分别为40 cm和30 cm的三角形小旗64面，至少需要长160 cm、宽120 cm的长方形红纸( )
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
6．如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )
A．π×()2x＝π×()2×(x－5) B．π×()2x＝π×()2×(x＋5)
C．π×82x＝π×62×(x＋5) D．π×82x＝π×62×5
7．如图，将一个长方形剪去一个长为4的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形．若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40 cm，50 cm，现将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，根据图中的数据，则隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为( )
A．43 cm B．44 cm C．44.5 cm D．45 cm
二、填空题
9．用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余4尺；把绳子四折来量，井外余1尺，则井深和绳长分别为_________________．
10．一块长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱，则圆柱的高为多少厘米？设圆柱的高为x cm，则可列方程为___________________________．
11．一个长方体形状的游泳池的长为50 m、宽为20 m、池内水深1.2 m．现在用水泵向外排水，若每分钟排水2.5 m3，则　 　小时后游泳池中的水还剩原来的．
12．如图，一个装有半瓶饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20 cm，把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5 cm.已知饮料瓶的容积为30立方分米，则瓶内现有饮料_____立方分米．
13．某玻璃密封器皿如图1所示，测得其底面直径为20 cm、高为20 cm，内装某种溶液若干．若如图2放置时，测得液面高为10 cm；若如图3放置时，测得液面高为16 cm．该玻璃密封器皿的总容量为　 　cm3．(结果保留π)
三、解答题
14．将一个底面半径为6 cm，高为40 cm的“痩长”圆柱形钢材锻压成底面半径为12 cm的“矮胖”圆柱形零件毛坯，请问毛坯的高是多少？
15．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10 cm，容器内水的高度为12 cm，把一根半径为2 cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少厘米？
16．将一个长、宽、高分别为15 cm，12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面为正方形且边长为12 cm的长方体零件钢坯，试问锻造前长方体钢坯表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大，请你计算比较．
17．图①是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，求它的体积是多少立方厘米．
18．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为55 cm.求这两根铁棒长度分别是多少厘米，并求此时木桶中水的深度是多少厘米．
19．计划靠墙围一个长方形的养鸡场，使长方形的一条长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围成．现有35 m长的竹篱笆，小王打算用它围成一个长比宽多5 m的长方形养鸡场；小赵也打算用它围成一个长比宽多2 m的长方形养鸡场．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场面积是多少？
20．如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是2，求这个长方形的面积．
参考答案
一、选择题
1．一个长方形的周长为30 cm，若这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，可列方程为( )
A．x＋1＝(30－x)－2 B．x＋1＝(15－x)－2
C．x－1＝(30－x)＋2 D．x－1＝(15－x)＋2
【答案】D
2．用一根铁丝围成一个边长为12 cm的正方形，如果把它改成一个圆，则圆的半径是(π≈3)( )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
【答案】B
3．从一个底面半径是10 cm的凉水杯中，向一个底面半径为5 cm、高为8 cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降( )
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
【答案】C
4．已知半径为5厘米，高为7厘米的圆柱体的体积是直径为4厘米，高为x厘米的圆柱体的体积的5倍，则下列方程正确的是( )
A．5π×42x＝π×102×7 B．π×42x＝5π×102×7
C．5π×()2x＝π×()2×7 D．5π×()2x＝π×52×7
【答案】D
5．班级筹备运动会要做直角边分别为40 cm和30 cm的三角形小旗64面，至少需要长160 cm、宽120 cm的长方形红纸( )
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【答案】B
6．如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )
A．π×()2x＝π×()2×(x－5) B．π×()2x＝π×()2×(x＋5)
C．π×82x＝π×62×(x＋5) D．π×82x＝π×62×5
【答案】B
7．如图，将一个长方形剪去一个长为4的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形．若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
8．如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40 cm，50 cm，现将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，根据图中的数据，则隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为( )
A．43 cm B．44 cm C．44.5 cm D．45 cm
【答案】C
二、填空题
9．用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余4尺；把绳子四折来量，井外余1尺，则井深和绳长分别为_________________．
【答案】8尺 36尺
10．一块长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱，则圆柱的高为多少厘米？设圆柱的高为x cm，则可列方程为___________________________．
【答案】π×1.52x＝5×4×3
11．一个长方体形状的游泳池的长为50 m、宽为20 m、池内水深1.2 m．现在用水泵向外排水，若每分钟排水2.5 m3，则　 　小时后游泳池中的水还剩原来的．
【答案】6
12．如图，一个装有半瓶饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20 cm，把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5 cm.已知饮料瓶的容积为30立方分米，则瓶内现有饮料_____立方分米．
【答案】24
13．某玻璃密封器皿如图1所示，测得其底面直径为20 cm、高为20 cm，内装某种溶液若干．若如图2放置时，测得液面高为10 cm；若如图3放置时，测得液面高为16 cm．该玻璃密封器皿的总容量为　 　cm3．(结果保留π)
【答案】1400π
三、解答题
14．将一个底面半径为6 cm，高为40 cm的“痩长”圆柱形钢材锻压成底面半径为12 cm的“矮胖”圆柱形零件毛坯，请问毛坯的高是多少？
解：设毛坯的高为x cm，根据题意，得π×62×40＝π×122x，解得x＝10.答：毛坯的高是10 cm
15．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10 cm，容器内水的高度为12 cm，把一根半径为2 cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少厘米？
解：设容器内的水将升高x cm，依题意得π·102×12＋π·22(12＋x)＝π·102(12＋x)，解得x＝0.5，答：容器内的水将升高0.5 cm
16．将一个长、宽、高分别为15 cm，12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面为正方形且边长为12 cm的长方体零件钢坯，试问锻造前长方体钢坯表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大，请你计算比较．
解：锻造前长方体的表面积为：2×(15×12＋12×8＋15×8)＝792(cm2)，设锻造后的长方体高为x cm，则15×12×8＝12×12x，解得x＝10，所以锻造后的长方体的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝768 (cm2)，所以锻造前长方体钢坯的表面积大
17．图①是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，求它的体积是多少立方厘米．
解：设长方体的高为x cm，则其宽为cm，根据题意得＝2x，解得x＝5，故长方体的宽为10 cm，长为20 cm，则长方体的体积为5×10×20＝1000(cm3)
18．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为55 cm.求这两根铁棒长度分别是多少厘米，并求此时木桶中水的深度是多少厘米．
解：设露出水面的长度为其的铁棒长为x cm，则另一根铁棒的长度为(55－x) cm，依题意得x＝(55－x)，解得x＝30，所以55－x＝55－30＝25，x＝×30＝20，所以两根铁棒的长度分别是30 cm，25 cm，水深为20 cm
19．计划靠墙围一个长方形的养鸡场，使长方形的一条长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围成．现有35 m长的竹篱笆，小王打算用它围成一个长比宽多5 m的长方形养鸡场；小赵也打算用它围成一个长比宽多2 m的长方形养鸡场．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场面积是多少？
解：设小王围成的养鸡场的长为x m，则宽为(x－5)m．
由题意，得x＋2(x－5)＝35，解得x＝15．
因为墙长14 m，所以小王的设计不符合实际．
设小赵围成的养鸡场的长为y m，则宽为(y－2)m．
由题意，得y＋2(y－2)＝35，解得y＝13．
因为墙长14 m，所以小赵的设计符合实际，此时宽为11 m，面积为13×11＝143 m2．
20．如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是2，求这个长方形的面积．
解：设正方形D，E的边长为x，则正方形C的边长为x＋2，正方形B的边长为x＋4，正方形A的边长为x＋6．
根据题意，得x＋x＋(x＋2)＝(x＋4)＋(x＋6)，
解得x＝8，
所以这个长方形的长为8＋8＋(8＋2)＝26，宽为(8＋2)＋(8＋4)＝22，
所以这个长方形的面积为26×22＝572．