第四章图形的相似单元测试卷（拔尖卷·含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第四章图形的相似单元测试卷（拔尖卷）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．若，则下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若的面积为6，则的面积为（ ）
A．3 B．24 C．12 D．36
3．如图，直线，直线分别交于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，若，，，则线段（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
4．如图所示，中若，，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是的角平分线是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，为对角线上的点，为边上的点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点恰好与点重合，连接交于点．若正方形的边长为，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若，则 ．
10．若，且，则和对应边上的中线比为 ．
11．如图，已知，那么 ．
12．如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E．
(1)求证：；
(2)若，，
①求的长度；②直接写出的面积．
14．如图，在中，，，AD为的中线，过点C作于点E，过点B作交CE的延长线于点H．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
15．如图，在中，的高，交于点，连接．
(1)试说明的理由；
(2)若，求的长．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)以点O为位似中心，将按相似比为放大得到，与位于位似中心异侧；
(2)点P在x轴上，且，则点P的坐标为________．
17．如图，已知中，D是边的中点，E是边上一点，，，连接交于点
(1)求的值；
(2)如图2，若，，求的长；
(3)若，且是等腰三角形，求的长．
18．问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
实践探究：
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
问题解决：
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．D
4．C
5．B
6．B
7．C
8．A
二、填空题
9．
10．
11．
12．18
三、解答题
13．【解】（1）证明：∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，即；
②过点作于点，
∵是的平分线，，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴．
14．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
∴；
（2）解：∵，，AD为的中线，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∵，
∴由等面积法得，
∵，，
∴，
∴，
∴．
15．【解】（1）解：的理由如下：
是的高，
，
．
（2）解：由（1）得出，
，
，
，
．
，
，
．
16．【解】（1）解：根据题意，得，，关于原点O的位似坐标分别是，，，画图如下：
则即为所求．
（2）解：设，
则，，
由，
根据题意，得，
解得或，
故点或，
故答案为：或．
17．【解】（1）解：如图：作交于G，
，，，，
∴，，
，
是的中点，
，
，
，
（2）解：如图2，是的中点，
，
∵，，
∴
，，
，
，
，
，
，即,
，
，
，
设，，则，
，
，
，
，解得：（已舍去负值），
．
（3）解：①如图2，当时，
由（1）得：，
，
，，
，
是的中点，
，
；
②如图3，当时，设，则，作，交于G，
由（1）知，，，
，，，
由得：，
∴，解得：（已舍去负值），
，
③如图4，当时，作于H，
，
，
，
，
，
，
，解得：．
实际上，故此情况不成立，舍去；
综上，或.
18．【解】解：（1）四边形是矩形，
，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
；
（3）过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得，
，
．
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